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219. Evaluez une intégrale qui intervient dans les polynômes de Legendre

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous posez $I_n = \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t.$

Cette intégrale apparaît dans le calcul de la norme des polynômes de Legendre. Pour en savoir davantage, reportez-vous à un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 218.

Calculez $I_0$

\begin{aligned} I_0 &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^0\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^{1} \mathrm{d}t\\ &=2. \end{aligned}

Vous avez $\boxed{I_0 = 2.}$

Trouvez une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$

Soit $n\in\N.$ Partez de $I_{n+1}$ et effectuez une intégration par parties.

\begin{aligned} I_{n+1} &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^{1} 1 \times (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\ &=\left[t \times (t^2-1)^{n+1}\right]_{-1}^{1} – \int_{-1}^{1} t (n+1)\times (t^2-1)^{n} \times 2t \,\mathrm{d}t \\ &= -2(n+1) \int_{-1}^{1} t^2 (t^2-1)^{n} \,\mathrm{d}t \\ &= -2(n+1) \int_{-1}^{1} (t^2-1+1) (t^2-1)^{n} \,\mathrm{d}t \\ &= -2(n+1) \left[\int_{-1}^{1} (t^2-1) (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t +\int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t \right] \\ &= -2(n+1) \left[\int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t + I_n \right] \\ &= -2(n+1) (I_{n+1} + I_n). \end{aligned}

Donc :

(1 + 2(n+1))I_{n+1} = -(2n+2)I_n.

Finalement, $\boxed{\forall n\in\N, I_{n+1} = -\frac{2n+2}{2n+3}I_n.}$

Déduisez-en la valeur de $I_n$ avec une récurrence

L’expression précédente suggère de mener une récurrence. Par souci de commodité, il sera utile de faire appel à la notion de factorielle double.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, notez $(2n)!!$ le produit de tous les entiers pairs compris entre $2$ et $2n\comma$ avec la convention $0!!=1.$

De même, pour tout entier naturel $n\comma$ notez $(2n+1)!!$ le produit de tous les entiers impairs compris entre $1$ et $2n+1\comma$ avec la convention $1!!=1.$

Pour tout entier naturel $n\comma$ notez $\mathscr{P}(n)$ le prédicat :
« $I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ ».

Initialisation. Pour $n=0\comma$ vous avez :

\begin{align*} 2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} &= 2 (-1)^0 \frac{0!!}{(1)!!} \\ &= 2\\ &= I_0. \end{align*}

Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifié.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n).$

\begin{align*} I_{n+1} &= -\frac{2n+2}{2n+3}I_n \\ &=-2(-1)^n\frac{2n+2}{2n+3} \times \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\ &=2(-1)^{n+1} \times \frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!}. \end{align*}

Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifié.

Ainsi, il est établi que $\forall n\in\N, I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

Écrivez $I_n$ avec des factorielles

Soit $n\in\N.$ Vous allez utiliser le fait que le produit des pairs avec les impairs donne le produit de tous les entiers. Autrement dit, $(2n+1)! = (2n+1)!!(2n)!!.$ Du coup :

\begin{align*} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} &= \frac{(2n)!! (2n)!!}{(2n+1)!!(2n)!!} \\ &= \frac{((2n)!!)^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}\\ &= \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!}. \end{align*}

Vous déduisez $\boxed{\forall n\in\N, \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t = (-1)^{n} \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}.}$