Pour tout entier naturel $n$, vous posez $I_n = \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t.$
Cette intégrale apparaît dans le calcul de la norme des polynômes de Legendre. Pour en savoir davantage, reportez-vous au contenu écrit dans l'article 218.
Calculez $I_0$
\begin{aligned}
I_0 &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^0\,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-1}^{1} \mathrm{d}t\\
&=2.
\end{aligned}Vous avez $\boxed{I_0 = 2.}$
Trouvez une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$
Soit $n\in\N.$ Partez de $I_{n+1}$ et effectuez une intégration par parties.
\begin{aligned}
I_{n+1} &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-1}^{1} 1 \times (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\
&=\left[t \times (t^2-1)^{n+1}\right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} t (n+1)\times (t^2-1)^{n} \times 2t \,\mathrm{d}t \\
&= -2(n+1) \int_{-1}^{1} t^2 (t^2-1)^{n} \,\mathrm{d}t \\
&= -2(n+1) \int_{-1}^{1} (t^2-1+1) (t^2-1)^{n} \,\mathrm{d}t \\
&= -2(n+1) \left[\int_{-1}^{1} (t^2-1) (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t +\int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t \right] \\
&= -2(n+1) \left[\int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t + I_n \right] \\
&= -2(n+1) (I_{n+1} + I_n).
\end{aligned}Donc :
$(1 + 2(n+1))I_{n+1} = -(2n+2)I_n.$
Finalement, $\boxed{\forall n\in\N, I_{n+1} = -\frac{2n+2}{2n+3}I_n.}$
Déduisez-en la valeur de $I_n$ avec une récurrence
L’expression précédente suggère la conduction d’une récurrence. Par souci de commodité, il sera utile de faire appel à la notion de factorielle double.
Pour tout entier naturel $n\geq 2$, notez $(2n) ! !$ le produit de tous les entiers pairs compris entre $2$ et $2n$, avec la convention $0 ! !=1$ et $2 ! !=2.$
De même, pour tout entier naturel $n\geq 1$ notez $(2n+1) ! !$ le produit de tous les entiers impairs compris entre $1$ et $2n+1$, avec la convention $1 ! !=1.$
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ le prédicat :
« $I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n) ! !}{(2n+1) ! !}$. »
Initialisation. Pour $n=0$ :
\begin{aligned}
2 (-1)^n \frac{(2n) ! !}{(2n+1) ! !} &= 2 (-1)^0 \frac{0 ! !}{(1) ! !} \\
&= 2\\
&= I_0.
\end{aligned}
Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifié.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n).$
\begin{aligned}
I_{n+1} &= -\frac{2n+2}{2n+3}I_n \\
&=-2(-1)^n\frac{2n+2}{2n+3} \times \frac{(2n) ! !}{(2n+1) ! !}\\
&=2(-1)^{n+1} \times \frac{(2n+2) ! !}{(2n+3) ! !}.
\end{aligned}
Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifié.
Ainsi, il est établi que $\forall n\in\N, I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n) ! !}{(2n+1) ! !}.$
Ecrivez $I_n$ avec des factorielles
Soit $n\in\N.$ Vous allez utiliser le fait que le produit des pairs avec les impairs donne le produit de tous les entiers. Autrement dit, $(2n+1) ! = (2n+1) ! !(2n) ! !.$ Du coup :
\begin{aligned}
\frac{(2n) ! !}{(2n+1) ! !} &= \frac{(2n) ! ! (2n) ! !}{(2n+1) ! !(2n) ! !} \\
&= \frac{((2n) ! !)^2}{(2n+1) !}\\
&= \frac{(2^n n !)^2}{(2n+1) !}\\
&= \frac{2^{2n} (n !)^2}{(2n+1) !}.
\end{aligned}
Vous déduisez $\boxed{\forall n\in\N, \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t = (-1)^{n} \frac{2^{2n+1} (n !)^2}{(2n+1) !}.}$
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