Pour tout entier naturel $n$, vous posez $I_n = \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t.$

Cette intégrale apparaît dans le calcul de la norme des polynômes de Legendre. Pour en savoir davantage, reportez-vous au contenu écrit [yanniswp_article_link nb= »218″ desc= »dans l’article 218″].

Calculez $I_0$

\begin{aligned}
I_0 &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^0\,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-1}^{1} \mathrm{d}t\\
&=2.
\end{aligned}

Vous avez $\boxed{I_0 = 2.}$

Trouvez une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$

Soit $n\in\N.$ Partez de $I_{n+1}$ et effectuez une intégration par parties.

\begin{aligned}
I_{n+1} &= \int_{-1}^{1} (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-1}^{1} 1 \times (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t \\
&=\left[t \times (t^2-1)^{n+1}\right]_{-1}^{1}  - \int_{-1}^{1} t  (n+1)\times (t^2-1)^{n} \times 2t \,\mathrm{d}t \\
&=  -2(n+1)  \int_{-1}^{1} t^2  (t^2-1)^{n}  \,\mathrm{d}t \\
&=  -2(n+1)  \int_{-1}^{1} (t^2-1+1)  (t^2-1)^{n}  \,\mathrm{d}t \\
&=  -2(n+1)  \left[\int_{-1}^{1} (t^2-1)  (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t +\int_{-1}^{1}  (t^2-1)^{n}\,\mathrm{d}t \right]  \\
&=  -2(n+1)  \left[\int_{-1}^{1}   (t^2-1)^{n+1}\,\mathrm{d}t + I_n \right]  \\
&=  -2(n+1)  (I_{n+1} + I_n).
\end{aligned}

Donc :

$(1 + 2(n+1))I_{n+1} = -(2n+2)I_n.$

Finalement, $\boxed{\forall n\in\N, I_{n+1} = -\frac{2n+2}{2n+3}I_n.}$

Déduisez-en la valeur de $I_n$ avec une récurrence

L’expression précédente suggère la conduction d’une récurrence. Par souci de commodité, il sera utile de faire appel à la notion de factorielle double.

Pour tout entier naturel $n\geq 2$, notez $(2n)!!$ le produit de tous les entiers pairs compris entre $2$ et $2n$, avec la convention $0!!=1$ et $2!!=2.$

De même, pour tout entier naturel $n\geq 1$ notez $(2n+1)!!$ le produit de tous les entiers impairs compris entre $1$ et $2n+1$, avec la convention $1!!=1.$

Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ le prédicat :
« $I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$. »

Initialisation. Pour $n=0$ :

$\begin{align*}
2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} &= 2 (-1)^0 \frac{0!!}{(1)!!} \\
&= 2\\
&= I_0.
\end{align*}$

Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifié.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n).$

$\begin{align*}
I_{n+1} &= -\frac{2n+2}{2n+3}I_n \\
&=-2(-1)^n\frac{2n+2}{2n+3} \times \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
&=2(-1)^{n+1} \times \frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!}.
\end{align*}$

Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifié.

Ainsi, il est établi que $\forall n\in\N, I_n = 2 (-1)^n \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

Ecrivez $I_n$ avec des factorielles

Soit $n\in\N.$ Vous allez utiliser le fait que le produit des pairs avec les impairs donne le produit de tous les entiers. Autrement dit, $(2n+1)! = (2n+1)!!(2n)!!.$ Du coup :

$\begin{align*}
\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} &= \frac{(2n)!! (2n)!!}{(2n+1)!!(2n)!!} \\
&= \frac{((2n)!!)^2}{(2n+1)!}\\
&= \frac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}\\
&= \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!}.
\end{align*}$

Vous déduisez $\boxed{\forall n\in\N, \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t = (-1)^{n} \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}.}$