École AVOSZ

Connectez-vous

218. Calculez la norme d’un polynôme de Legendre

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Comme dans un autre article, les polynômes de Legendre sont définis, en utilisant la formule de Rodrigues, par :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 214.

\forall n\in \N, \mathscr{L}_n(X) = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].

L’espace vectoriel $\R[X]$ est muni du produit scalaire suivant :

\forall (P,Q)\in(\R[X])^2, \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t.

La norme associée est définie par :

\forall P\in\R[X], \Vert P \Vert = \sqrt{\langle P, P \rangle}.

L’objectif de ce contenu est de trouver un moyen qui permet de calculer, quand $n\in\N\comma$ le nombre $\Vert \mathscr{L}_n \Vert^2.$

Dans la suite de ce paragraphe, vous fixez $n\in\N.$

Utilisez des notations adaptées

Posez $P(X) = (X^2-1)^n$ et $c = \frac{1}{2^n n!}\comma$ de sorte que $\mathscr{L}_n(X) = cP^{(n)}(X).$

Le calcul de la norme au carré fournit :

\begin{align*} \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 &= \langle \mathscr{L}_n, \mathscr{L}_n \rangle \\ &= c^2 \langle P^{(n)}, P^{(n)} \rangle. \end{align*}

Dérivée d’ordre $2n$

Utilisant la formule du binôme, $P(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^{n-k}X^{2k}.$
Isolant un terme des autres et posant $A(X) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}(-1)^{n-k}X^{2k}$ il vient $P(X) = X^{2n} + A(X).$

En dérivant $2n$ fois, la dérivée $2n$-ième du polynôme $A\comma$ qui a un degré strictement inférieur à $2n\comma$ est nulle.
Il vient donc $\boxed{P^{(2n)}(X) = (2n)!.}$

Évaluation en $1$ et en $-1$ de certaines dérivées

Notez que $P(X) = (X+1)^n(X-1)^n$ ce qui montre que $1$ est racine de $P$ avec une multiplicité égale à $n.$

Ainsi, d’après l’étude des racines multiples effectuée dans un autre article, $\forall k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket , P^{(k)}(1)=0.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 217.

D’autre part, $P(-X) = P(X).$

En dérivant $k$ fois, il vient $(-1)^k P^{(k)}(-X) = P^{(k)}(X)$ donc $P^{(k)}(-1) = (-1)^kP^{(k)}(1)$ et en définitive :

\boxed{\forall k\in \llbracket 0,n-1 \rrbracket, P^{(k)}(-1)=P^{(k)}(1) = 0.}

Utilisez une récurrence limitée

En utilisant des intégrations par parties successives, vous allez intégrer le facteur $P^{(n)}$ de gauche et dériver celui de droite. En intégrant $n$ fois le polynôme $P^{(n)}\comma$ vous allez arriver sur $P.$ En dérivant $n$ fois le polynôme $P^{(n)}$ vous allez tomber sur $P^{(2n)}$ qui est un polynôme constant, puisque $P$ est de degré $2n.$ Cela conduit à la récurrence limitée suivante.

Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n\comma$ vous notez $\mathscr{P}(k)$ le prédicat :
« $\Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 = c^2 (-1)^k\langle P^{(n-k)}, P^{(n+k)} \rangle$ ».

Initialisation. Quand $k = 0\comma$ vous avez :

\begin{align*} c^2 (-1)^k\langle P^{(n-k)}, P^{(n+k)} \rangle &= c^2 (-1)^0\langle P^{(n-0)}, P^{(n+0)} \rangle \\ &= c^2 \langle P^{(n)}, P^{(n)} \rangle \\ &= \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2. \end{align*}

Hérédité. Soit $k$ un entier compris entre $0$ et $n-1.$ Supposez $\mathscr{P}(k).$ Commencez par une intégration par parties :

\begin{align*} \langle P^{(n-k)}, P^{(n+k)} \rangle &= \int_{-1}^{1} P^{(n-k)}(t) P^{(n+k)}(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[P^{(n-k-1)}(t) P^{(n+k)}(t) \right]_{-1}^{1}- \int_{-1}^{1} P^{(n-k-1)}(t) P^{(n+k+1)}(t)\,\mathrm{d}t. \end{align*}

Notez que, comme $0\leq k\leq n-1\comma$ le nombre $n-k-1$ est compris entre $0$ et $n-1\comma$ donc $P^{(n-k-1)}(1) = P^{(n-k-1)}(-1) = 0.$

\begin{align*} \langle P^{(n-k)}, P^{(n+k)} \rangle &= – \int_{-1}^{1} P^{(n-k-1)}(t) P^{(n+k+1)}(t)\,\mathrm{d}t \\ &= – \langle P^{(n-k-1)}, P^{(n+k+1)} \rangle\\ &= – \langle P^{(n-(k+1))}, P^{(n+(k+1))}\rangle. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 &= c^2 (-1)^k\langle P^{(n-k)}, P^{(n+k)} \rangle \\ &= – c^2 (-1)^k \langle P^{(n-(k+1))}, P^{(n+(k+1))}\rangle\\ &= c^2 (-1)^{k+1}\langle P^{(n-(k+1))}, P^{(n+(k+1))}\rangle. \end{align*}

Le prédicat $\mathscr{P}(k+1)$ est vérifié.

D’après ce qui précède, le prédicat $\mathscr{P}(n)$ est vérifié. Donc :

\begin{align*} \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 &= c^2 (-1)^n \langle P, P^{(2n)} \rangle \\ &= (2n)! c^2 (-1)^n \langle P, 1 \rangle \\ &= (2n)! c^2 (-1)^n \int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t. \end{align*}

L’évaluation de l’intégrale $\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t$ est effectuée dans un autre article. Vous avez $\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,\mathrm{d}t = (-1)^{n} \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 219.

\begin{align*} \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 &= (2n)! c^2 (-1)^n (-1)^{n} \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!} \\ &= (2n)! \times \frac{1}{2^{2n} (n!)^2} \times \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)!}\\ &= (2n)! \times \frac{1}{2^{2n} } \times \frac{2^{2n+1} }{(2n+1)!}\\ &= \frac{ (2n)!}{(2n+1)!} \times \frac{2^{2n+1}}{2^{2n} } \\ &= \frac{2}{2n+1}. \end{align*}

Ainsi, $\boxed{\forall n\in\N, \Vert \mathscr{L}_n \Vert^2 = \frac{2}{2n+1}.}$