La formule de Rodrigues, vue dans l'article 214 permet de définir la suite des polynômes de Legendre suivante :
\forall n\in \N, \mathscr{L}_n(X) = \frac{1}{2^n n !}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].Vous déduisez immédiatement que :
\begin{align*}
\mathscr{L}_0(X) &= 1\\
\mathscr{L}_1(X) &= X.
\end{align*}Utilisez une relation de récurrence pour calculer le début des autres polynômes
Il a été établi dans l'article 220 la relation suivante :
\forall n\in\NN, (n+1)\mathscr{L}_{n+1}(X)- (2n+1)X\mathscr{L}_{n}(X)+n\mathscr{L}_{n-1}(X)=0.Pour $n=1$, cela s’écrit :
\begin{align*}
2\mathscr{L}_{2}(X)- 3X\mathscr{L}_{1}(X)+\mathscr{L}_{0}(X)&=0\\
2\mathscr{L}_{2}(X)- 3X^2+1&=0\\
2\mathscr{L}_{2}(X)&=3X^2-1\\
\mathscr{L}_{2}(X)&=\frac{3X^2-1}{2}.
\end{align*}Pour $n=2$, cela s’écrit :
\begin{align*}
3\mathscr{L}_{3}(X)- 5X\mathscr{L}_{2}(X)+2\mathscr{L}_{1}(X)&=0\\
3\mathscr{L}_{3}(X)- 5X\times \frac{3X^2-1}{2}+2X&=0\\
3\mathscr{L}_{3}(X)- \frac{15X^3-5X}{2}+2X&=0\\
6\mathscr{L}_{3}(X)- (15X^3-5X)+4X&=0\\
6\mathscr{L}_{3}(X)&=15X^3-5X-4X\\
6\mathscr{L}_{3}(X)&=15X^3-9X\\
2\mathscr{L}_{3}(X)&=5X^3-3X\\
\mathscr{L}_{3}(X)&=\frac{5X^3-3X}{2}.
\end{align*}Pour $n=3$, cela s’écrit :
\begin{align*}
4\mathscr{L}_{4}(X)- 7X\mathscr{L}_{3}(X)+3\mathscr{L}_{2}(X)&=0\\
4\mathscr{L}_{4}(X)- 7X\times \frac{5X^3-3X}{2} +3\times \frac{3X^2-1}{2}&=0\\
4\mathscr{L}_{4}(X)+ \frac{-35X^4+21X^2}{2} +\frac{9X^2-3}{2}&=0\\
8\mathscr{L}_{4}(X)-35X^4+21X^2 +9X^2-3&=0\\
8\mathscr{L}_{4}(X)-35X^4+30X^2 -3&=0\\
8\mathscr{L}_{4}(X)&=35X^4-30X^2 +3\\
\mathscr{L}_{4}(X)&=\frac{35X^4-30X^2 +3}{8}.\\
\end{align*}Pour $n=4$, cela s’écrit :
\begin{align*}
5\mathscr{L}_{5}(X)- 9X\mathscr{L}_{4}(X)+4\mathscr{L}_{3}(X)&=0\\
5\mathscr{L}_{5}(X)- 9X\times \frac{35X^4-30X^2 +3}{8}+4\times \frac{5X^3-3X}{2}&=0\\
5\mathscr{L}_{5}(X)+ \frac{-315X^5+270X^3 -27X}{8}+2\times (5X^3-3X)&=0\\
40\mathscr{L}_{5}(X)-315X^5+270X^3 -27X+16\times (5X^3-3X)&=0\\
40\mathscr{L}_{5}(X)-315X^5+270X^3 -27X+80X^3-48X&=0\\
40\mathscr{L}_{5}(X)-315X^5+350X^3 -75X&=0\\
8\mathscr{L}_{5}(X)-63X^5+70X^3 -15X&=0\\
8\mathscr{L}_{5}(X)&=63X^5-70X^3 +15X\\
\mathscr{L}_{5}(X)&=\frac{63X^5-70X^3 +15X}{8}.
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