École AVOSZ

214. Normalisation et construction des polynômes de Legendre à partir de la formule de Rodrigues

12 février 2022

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Suivant la formule attribuée à Rodrigues, pour tout entier naturel $n$ vous définissez le polynôme $P_n\comma$ de degré $n\comma$ comme étant la dérivée $n$-ième du polynôme $(X^2-1)^n$ de degré $2n.$

\forall n\in \N, P_n(X) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].

Les premiers calculs montrent que :

\begin{align*} P_0 &= 1\\ P_1 &= 2X\\ P_2 &= 12X^2-4. \end{align*}

Comme $P_1(1) = 2\comma$ et que $P_2(1) = 8\comma$ ces polynômes ne sont pas normalisés.

Par contre, $L_1 = \frac{1}{2}P_1$ et $L_2=\frac{1}{8}P_2$ le sont, puisque $L_1(1) = L_2(1) = 1.$

Les polynômes de Legendre sont ceux construits à partir des polynômes $P_n$ quand ils sont normalisés.

Déterminez la valeur de $P_n(1)$

Soit $n$ un entier naturel.

Accéder à $P_n(1)$ n’est pas chose aisée car le calcul explicite de $P_n\comma$ par la formule du binôme sur $(X^2-1)^n\comma$ aboutit à une somme peu attractive qu’il faudrait dériver $n$ fois. Cette voie mène à une impasse.

Une autre approche possible consiste à utiliser la formule de Taylor.

Posez $Q(X) = (X^2-1)^n = (X-1)^n(X+1)^n\comma$ de sorte que $P_n(X) = Q^{(n)}(X).$

Alors d’une part :

\begin{align*} Q(X) &= Q(1)+Q'(1)(X-1)+\dots+\frac{Q^{(2n)}(1)}{(2n)!}(X-1)^{2n}\\ &=\sum_{i=0}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i!}(X-1)^{i}. \end{align*}

D’autre part, par la formule du binôme :

\begin{align*} (X+1)^n &= ((X-1)+2)^n\\ &=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^{n-k}(X-1)^k. \end{align*}

D’où, après multiplication par $(X-1)^n\comma$ l’égalité suivante :

\begin{align*} Q(X) &= (X-1)^n(X+1)^n \\ &=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^{n-k}(X-1)^{n+k}. \end{align*}

L’écriture de $Q(X)\comma$ scindée en deux, fournit des renseignements intéressants.

\begin{align*} Q(X) &=\sum_{i=0}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i!}(X-1)^{i}\\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{Q^{(i)}(1)}{i!}(X-1)^{i} + \sum_{i=n}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i!}(X-1)^{i}\\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{Q^{(i)}(1)}{i!}(X-1)^{i} + \sum_{k=0}^{n} \frac{Q^{(k+n)}(1)}{(k+n)!}(X-1)^{k+n} \end{align*}

Vous avez obtenu deux décompositions de $Q(X)$ dans la base $(1,(X-1), \dots, (X-1)^{2n})$ du $\R$-espace vectoriel formé par les polynômes dont le degré est inférieur ou égal à $2n.$

Cette famille est bien une base car elle est échelonnée en degré et le nombre de polynômes de cette famille est égal à $2n+1\comma$ qui est la dimension de l’espace vectoriel précité.

Par unicité de la décomposition d’un vecteur dans une base, vous déduisez :

Pour tout entier $i$ compris entre $0$ et $n-1\comma$ $Q^{(i)}(1) = 0$ et $\frac{Q^{(n)}(1)}{n!} = 2^n.$

Vous déduisez que $\boxed{\forall n\in \N, P_n(1) = 2^n n!.}$

Concluez

Pour tout entier naturel $n$ vous posez $\boxed{L_n(X) = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right]}$ appelé $n$-ième polynôme de Legendre.

De ce contenu il résulte que, pour tout entier naturel $n\comma$ $L_n$ est un polynôme de degré $n$ et il est normalisé, autrement dit, $L_n(1)=1.$

Prolongement

Pourriez-vous démontrer que la famille des polynômes de Legendre est orthogonale vis-à-vis du produit scalaire défini sur $\R[X]^2$ par l’intégrale de $-1$ à $1$ du produit $P(t)Q(t)$ ?

Autrement dit, quels que soient les entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n\lt m\comma$ pourriez-vous démontrer que le produit scalaire de $L_n$ et de $L_m$ est nul ?