Suivant la formule attribuée à Rodrigues, pour tout entier naturel $n$ vous définissez le polynôme $P_n$, de degré $n$, comme étant la dérivée $n$-ième du polynôme $(X^2-1)^n$ de degré $2n$.
$\forall n\in \N, P_n(X) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].$
Les premiers calculs montrent que :
\begin{aligned}
P_0 &= 1\\
P_1 &= 2X\\
P_2 &= 12X^2-4.
\end{aligned}
Comme $P_1(1) = 2$, et que $P_2(1) = 8$, ces polynômes ne sont pas normalisés.
Par contre, $L_1 = \frac{1}{2}P_1$ et $L_2=\frac{1}{8}P_2$ le sont, puisque $L_1(1) = L_2(1) = 1.$
Les polynômes de Legendre sont ceux construits à partir des polynômes $P_n$ quand ils sont normalisés.
Déterminez la valeur de $P_n(1)$
Soit $n$ un entier naturel.
Accéder à $P_n(1)$ n’est pas chose aisée car le calcul explicite de $P_n$, par la formule du binôme sur $(X^2-1)^n$, aboutit à un sigma peu attractif, qu’il faudra dériver $n$ fois… ce qui aboutit à une impasse.
Une autre approche possible consiste à utiliser la formule de Taylor.
Posez $Q(X) = (X^2-1)^n = (X-1)^n(X+1)^n$, de sorte que $P_n(X) = Q^{(n)}(X).$
Alors d’une part :
\begin{aligned}
Q(X) &= Q(1)+Q'(1)(X-1)+\dots+\frac{Q^{(2n)}(1)}{(2n) !}(X-1)^{2n}\\
&=\sum_{i=0}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i !}(X-1)^{i}\\
\end{aligned}
D’autre part, par la formule du binôme :
\begin{aligned}
(X+1)^n &= ((X-1)+2)^n\\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^{n-k}(X-1)^k
\end{aligned}
D’où, après multiplication par $(X-1)^n$ :
\begin{aligned}
Q(X) &= (X-1)^n(X+1)^n \\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^{n-k}(X-1)^{n+k}
\end{aligned}
L’écriture de $Q(X)$, scindée en deux, fournit des renseignements intéressants.
\begin{aligned}
Q(X) &=\sum_{i=0}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i !}(X-1)^{i}\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{Q^{(i)}(1)}{i !}(X-1)^{i} + \sum_{i=n}^{2n} \frac{Q^{(i)}(1)}{i !}(X-1)^{i}\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{Q^{(i)}(1)}{i !}(X-1)^{i} + \sum_{k=0}^{n} \frac{Q^{(k+n)}(1)}{(k+n) !}(X-1)^{k+n}\\
\end{aligned}
Vous avez obtenu deux décompositions de $Q(X)$ dans la base $(1,(X-1), \dots, (X-1)^{2n})$ du $\R$-espace vectoriel formé par les polynômes dont le degré est inférieur ou égal à $2n.$
Cette famille est bien une base car les polynômes qui la forment est étagée en degré et le nombre de polynômes de cette famille est égal à $2n+1$, qui est la dimension de l’espace vectoriel précité.
Par unicité de la décomposition d’un vecteur dans une base, vous déduisez :
Pour tout entier $i$ compris entre $0$ et $n-1$, $Q^{(i)}(1) = 0$ et $\frac{Q^{(n)}(1)}{n !} = 2^n.$
Vous déduisez que $\boxed{\forall n\in \N, P_n(1) = 2^n n !.}$
Concluez
Pour tout entier naturel $n$ vous posez $\boxed{L_n(X) = \frac{1}{2^n n !}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right]}$ appelé $n$-ième polynôme de Legendre.
De cet article il résulte que, pour tout entier naturel $n$, $L_n$ est un polynôme de degré $n$ et il est normalisé, autrement dit, $L_n(1)=1.$
Prolongement
Pourriez-vous démontrer que la famille des polynômes de Legendre est orthogonale vis-à-vis du produit scalaire défini par $\forall (P,Q)\in\R[X], \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ ?
Autrement dit, quels que soient les entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n\leq m$, pourriez-vous démontrer que $\langle L_n, L_m \rangle = 0$ ?
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