Votre navigateur n'accepte pas le Javascript.La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

229. Polynômes de Hermite avec des dérivées nulles en certains points (2/2)

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ fixé dans tout cet article.

Soit $(x_i)_{1\leq i \leq n}$ une famille de $n$ réels deux à deux distincts.

L’objectif de cet article est de vous démontrer qu’il est possible de construire petit à petit un polynôme, dit de Hermite et noté $H$, tel que :

\left\{\begin{align*}
H(x_1)&=1 \\
\forall i\in\llbracket 2, n\rrbracket, H(x_i)&=0\\
\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, H'(x_i)&=0.
\end{align*}\right.

Construire directement un tel polynôme n’est a priori pas chose aisée, parce qu’il vous faut rendre la dérivée nulle en $x_1$, alors que la valeur prise en $x_1$ par le polynôme n’est pas nulle. Cela est possible si vous utilisez les formules de Taylor et l’identité remarquable $a^2-b^2$ mais c’est une autre histoire.

Pour parvenir à ce but, vous allez d’abord résoudre une autre question légèrement différente, qui sera très utile pour conclure. Il semble dans cette approche pertinent de partir d’un polynôme dont on connaît bien les racines.

Résolvez d’abord un problème différent

Dans cette section, vous allez construire un polynôme $S$ tel que :

\left\{\begin{align*}
S'(x_1)&=1 \\
\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, S(x_i)&=0\\
\forall i\in\llbracket 2, n\rrbracket, S'(x_i)&=0.
\end{align*}\right.

Il s’agit de trouver un polynôme $S$ qui admet chaque $x_i$, quand $i$ varie de $2$ à $n$, comme racine double.

D’autre part, $x_1$ est racine simple du polynôme $S$ puisque $S(x_1)=0$ alors que $S'(x_1)\neq 0.$

Il semble commode de considérer le polynôme suivant :

T(X)=(X-x_1)\prod_{i=2}^n(X-x_i)^2.

Le calcul du polynôme dérivé $T’$ fournit :

T'(X)=\prod_{i=2}^n(X-x_i)^2 + \sum_{i=2}^n 2(X-x_1)(X-x_i)\prod_{k\neq i} (X-x_k)^2.

L’évaluation en $x_1$ fournit :

T'(x_1) = \prod_{i=2}^n (x_1-x_i)^2.

Pour tout $i\in\llbracket 2, n\rrbracket, x_1\neq x_i$ donc $T'(x_i)\neq 0.$

En définitive, un polynôme satisfaisant est trouvé dès que vous posez :

\boxed{S(X) = \frac{(X-x_1)\displaystyle\prod_{i=2}^n(X-x_i)^2}{ \displaystyle\prod_{i=2}^n (x_1-x_i)^2}.}

Revenez au problème initial

Pour tout $i\in\llbracket 2, n\rrbracket$ le nombre $x_i$ est racine double du polynôme $H.$

Vous allez donc poser $\boxed{Q(X) = \prod_{i=2}^n(X-x_i)^2}$ ce qui construit un polynôme $Q$ tel que :

\left\{\begin{align*}
\forall i\in\llbracket 2, n\rrbracket, Q(x_i)&=0\\
\forall i\in\llbracket 2, n\rrbracket, Q'(x_i)&=0.
\end{align*}\right.

Vous allez maintenant poser $R(X) = Q(X)-Q'(x_1)S(X).$ Alors $R'(X) = Q'(X)-Q'(x_1)S'(X).$

Pour tout $i\in\llbracket 2, n\rrbracket, R(x_i) = Q(x_i)-Q'(x_1)S(x_i) = 0-Q'(x_1)\times 0 = 0.$

D’autre part, $R'(x_1) = Q'(x_1)-Q'(x_1)S'(x_1)=Q'(x_1)-Q'(x_1)\times 1 = 0.$

Le polynôme $R$ satisfait les conditions suivantes :

\left\{\begin{align*}
\forall i\in\llbracket 2, n\rrbracket, R(x_i)&=0\\
\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, R'(x_i)&=0.
\end{align*}\right.

Maintenant, $R(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)S(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)\times 0 = Q(x_1)=\prod_{i=2}^n (x_1-x_i)^2$ qui est non nul.

Le polynôme de Hermite cherché est :

H(X)=\frac{Q(X)-Q'(x_1)S(X)}{Q(x_1)}.

Avec les notations prises sur le polynôme $Q :$

\begin{align*}
S(X) &= \frac{(X-x_1)\prod_{i=2}^n(X-x_i)^2}{ \prod_{i=2}^n (x_1-x_i)^2}\\
 &= \frac{(X-x_1)Q(X)}{Q(x_1)}.
\end{align*}

Du coup vous déduisez :

\begin{align*}
H(X)&=\frac{Q(X)-Q'(x_1)S(X)}{Q(x_1)} \\
H(X)&=\frac{Q(X)-Q'(x_1)\frac{(X-x_1)Q(X)}{Q(x_1)}}{Q(x_1)} \\
H(X) &=\frac{Q(X)Q(x_1)-Q'(x_1)(X-x_1)Q(X)}{Q(x_1)^2} \\
\end{align*}

et finalement :

\boxed{H(X) = \frac{\left[Q(x_1)-Q'(x_1)(X-x_1)\right]Q(X)}{Q(x_1)^2}.}

Vérifiez le résultat construit

En dérivant le polynôme $H$ il vient :

\begin{align*}
H'(X) &= \frac{-Q'(x_1)Q(X)+\left[Q(x_1)-Q'(x_1)(X-x_1)\right]Q'(X)}{Q(x_1)^2}\\
H'(x_1) &=\frac{-Q'(x_1)Q(x_1)+Q(x_1)Q'(x_1)}{Q(x_1)^2}\\
H'(x_1) &=0.
\end{align*}

D’autre part, $H(x_1) = \frac{Q(x_1)^2}{Q(x_1)^2} = 1.$

Pour tout $i\in\llbracket 2, n\rrbracket$ vous observez que $x_i$ est racine double de $Q$, donc de $H$ et donc $H(x_i)=H'(x_i)=0.$

Illustrez ce résultat en visualisant trois polynômes de Hermite

Choisissez $x_1 = 1,$ $x_2=2$ et $x_3=3$ comme points d’interpolation.

Vous posez $Q_1(X) = (X-2)^2(X-3)^2$ et associez le polynôme de Hermite $H_1(X) = \frac{(Q_1(1)-Q’_1(1)(X-1))Q_1(X)}{Q_1(1)^2}.$ Ce polynôme vérifie $H_1(1)=1$ puis $H_1(2)=H_1(3)=0.$ Mieux qu’un polynôme de Lagrange, il vérifie $H’_1(1)=H’_1(2)=H’_1(3)=0$, c’est un polynôme interpolateur avec des dérivées nulles aux points d’interpolation.

11/03/2022 - Polynome de hermite 1 sur 3
Représentation graphique du polynôme de Hermite $H_1$ défini par $H_1(X) = -18 + 57 X – \frac{127}{2} X^2 + \frac{131}{4} X^3 – 8 X^4 + \frac{3}{4} X^5$

Vous posez $Q_2(X) = (X-1)^2(X-3)^2$ et associez le polynôme de Hermite $H_2(X) = \frac{(Q_2(2)-Q’_2(2)(X-2))Q_2(X)}{Q_2(2)^2}.$
Ce polynôme vérifie $H_2(2)=1$ puis $H_2(1)=H_2(3)=0$ avec $H’_2(1)=H’_2(2)=H’_2(3)=0.$

11/03/2022 - Polynome de hermite 2 sur 3
Représentation graphique du polynôme de Hermite $H_2$ défini par $H_2(X) = 9 – 24 X + 22 X^2 – 8 X^3 + X^4$

Vous posez $Q_3(X) = (X-1)^2(X-2)^2$ et associez le polynôme de Hermite $H_3(X) = \frac{(Q_3(3)-Q’_3(3)(X-3))Q_3(X)}{Q_3(3)^2}.$
Ce polynôme vérifie $H_3(3)=1$ puis $H_3(1)=H_3(2)=0$ avec $H’_3(1)=H’_3(2)=H’_3(3)=0.$

11/03/2022 - Polynome de hermite 3 sur 3
Représentation graphique du polynôme de Hermite $H_3$ défini par $H_3(X) = 10 – 33 X + \frac{83}{2} X^2 – \frac{99}{4} X^3 + 7 X^4 – \frac{3}{4} X^5$

Prolongement

Vous pouvez constater l’égalité suivante : $H_1(X)+H_2(X)+H_3(X) =1$ à partir des trois polynômes de Hermite explicités ci-dessus.

Or, il se trouve qu’un tel résultat est général. Il servira à démontrer que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes.

Pour en savoir davantage, n’hésitez pas à consulter le contenu rédigé dans l'article 230.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !