ll s’agit d’une amélioration des polynômes de Lagrange qui ont été utilisés par Fejér au début du XXème siècle.

Pour fixer les idées, fixez trois réels $x_1$, $x_2$ et $x_3$ deux à deux distincts.

Traitez le cas avec trois points

Vous cherchez un polynôme $H$ tel que :

\left\{\begin{align*}
H(x_1) &= 0\\
H(x_2) &= 0\\
H(x_3) &= 0\\
H'(x_1) &= 1\\
H'(x_2) &= 0\\
H'(x_3) &= 0.
\end{align*}\right.

Les réels $x_2$ et $x_3$ sont des racines doubles de $H$ alors que $x_1$ est racine simple.

Il convient de poser $P(X) = (X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3)^2.$

En dérivant il vient :

P'(X) = (X-x_2)^2(X-x_3)^2+2(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)^2+2(X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3).

En substituant $x_1$ il vient :

P'(x_1) = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2.

Comme $x_1-x_2\neq 0$ et $x_1-x_3\neq 0$ il suffit de poser :

H(X) = \frac{(X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3)^2}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2}.

Le polynôme $H$ convient.

Traitez un autre cas avec trois points

Vous cherchez un polynôme $K$ tel que :

\left\{\begin{align*}
K(x_1) &= 1\\
K(x_2) &= 0\\
K(x_3) &= 0\\
K'(x_1) &= 0\\
K'(x_2) &= 0\\
K'(x_3) &= 0.
\end{align*}\right.

Vous constatez que $x_2$ et $x_3$ sont des racines doubles du polynôme $K$.

Il semble judicieux de travailler avec le polynôme $Q$ défini par $Q(X)=(X-x_2)^2(X-x_3)^2.$

Ce polynôme satisfait quatre conditions :

\left\{\begin{align*}
Q(x_2) &= 0\\
Q(x_3) &= 0\\
Q'(x_2) &= 0\\
Q'(x_3) &= 0.
\end{align*}\right.

Vous allez maintenant poser $R(X) = Q(X)-Q'(x_1)H(X)$ où $H$ est le polynôme de Hermite défini dans le paragraphe précédent. En dérivant, $R'(X) = Q'(X)-Q'(x_1)H'(X)$ puis :

\left\{\begin{align*}
R(x_2) &= Q(x_2)-Q'(x_1)H(x_2) = 0-Q'(x_1)\times 0 = 0\\
R(x_3) &= Q(x_3)-Q'(x_1)H(x_3) = 0 - Q'(x_1)\times 0 = 0\\
R'(x_2) &= Q'(x_2)-Q'(x_1)H'(x_2) = 0 - Q'(x_1)\times 0 = 0\\
R'(x_3) &= Q'(x_3)-Q'(x_1)H'(x_3) = 0 - Q'(x_1)\times 0 = 0\\
R'(x_1) &= Q'(x_1)-Q'(x_1)H'(x_1) =  Q'(x_1)-Q'(x_1)\times 1 = 0.
\end{align*}\right.

D’autre part, $R(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)H(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)\times 0 = Q(x_1) = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2$ qui est non nul.

En posant $K(X) = \frac{Q(X)-Q'(x_1)H(X)}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2}$ vous constatez que le polynôme $K$ convient.

Positivité et négativité

Les représentations graphiques précédentes peuvent amener à penser que, si $m$ est le plus petit des $x_i$ et si $M$ le plus grand des $x_i$, alors les polynômes de Hermite seraient positifs sur l’intervalle $[m,M].$

Cette conjecture s’avère erronée.

Par exemple, le polynôme $H$ défini par $H(X) = \frac{(X-9)^2 (X-2)^2 (X+2)^2 (17 X-74)}{364500}$ est un polynôme de Hermite associé aux quatre points d’interpolation suivants : $x_1 = -2, x_2=2, x_3=7$ et $x_4=9.$ La présence du polynôme du premier degré $17X-74$ dans la factorisation de $H$ montre un changement de signe à l’intérieur de l’intervalle $[-2,9].$

La représentation graphique du polynôme $H$ ci-dessous permet de faire état d’un tel revirement.

Prolongement

Le cas général sera traité [yanniswp_article_link nb= »229″ desc= »dans l’article 229″]. De tels polynômes sont utiles dans la démonstration de l’approximation uniforme d’une fonction continue par un polynôme sur un segment. Les polynômes de Lagrange ne suffisent pas à cause du phénomène explicité par Runge.