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228. Polynômes de Hermite avec des dérivées nulles en certains points (1/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Il s’agit d’une amélioration des polynômes de Lagrange, utilisée par Fejér au début du XXe siècle.

Pour fixer les idées, fixez trois réels $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ deux à deux distincts.

Traitez le cas avec trois points

Vous cherchez un polynôme $H$ tel que :

\left\{\begin{align*} H(x_1) &= 0\\ H(x_2) &= 0\\ H(x_3) &= 0\\ H'(x_1) &= 1\\ H'(x_2) &= 0\\ H'(x_3) &= 0. \end{align*}\right.

Les réels $x_2$ et $x_3$ sont des racines doubles de $H$ alors que $x_1$ est racine simple.

Il convient de poser $P(X) = (X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3)^2.$

En dérivant, il vient :

P'(X) = (X-x_2)^2(X-x_3)^2+2(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)^2+2(X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3).

En substituant $x_1\comma$ il vient :

P'(x_1) = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2.

Comme $x_1-x_2\neq 0$ et $x_1-x_3\neq 0\comma$ il suffit de poser :

H(X) = \frac{(X-x_1)(X-x_2)^2(X-x_3)^2}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2}.

Le polynôme $H$ convient.

Traitez un autre cas avec trois points

Vous cherchez un polynôme $K$ tel que :

\left\{\begin{align*} K(x_1) &= 1\\ K(x_2) &= 0\\ K(x_3) &= 0\\ K'(x_1) &= 0\\ K'(x_2) &= 0\\ K'(x_3) &= 0. \end{align*}\right.

Vous constatez que $x_2$ et $x_3$ sont des racines doubles du polynôme $K.$

Il semble judicieux de travailler avec le polynôme $Q$ défini par $Q(X)=(X-x_2)^2(X-x_3)^2.$

Ce polynôme satisfait quatre conditions :

\left\{\begin{align*} Q(x_2) &= 0\\ Q(x_3) &= 0\\ Q'(x_2) &= 0\\ Q'(x_3) &= 0. \end{align*}\right.

Vous allez maintenant poser $R(X) = Q(X)-Q'(x_1)H(X)$ où $H$ est le polynôme de Hermite défini dans le paragraphe précédent. En dérivant, $R'(X) = Q'(X)-Q'(x_1)H'(X)$ puis :

\left\{\begin{align*} R(x_2) &= Q(x_2)-Q'(x_1)H(x_2) = 0-Q'(x_1)\times 0 = 0\\ R(x_3) &= Q(x_3)-Q'(x_1)H(x_3) = 0 – Q'(x_1)\times 0 = 0\\ R'(x_2) &= Q'(x_2)-Q'(x_1)H'(x_2) = 0 – Q'(x_1)\times 0 = 0\\ R'(x_3) &= Q'(x_3)-Q'(x_1)H'(x_3) = 0 – Q'(x_1)\times 0 = 0\\ R'(x_1) &= Q'(x_1)-Q'(x_1)H'(x_1) = Q'(x_1)-Q'(x_1)\times 1 = 0. \end{align*}\right.

D’autre part, $R(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)H(x_1) = Q(x_1)-Q'(x_1)\times 0 = Q(x_1) = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2$ qui est non nul.

En posant $K(X) = \frac{Q(X)-Q'(x_1)H(X)}{(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2}$ vous constatez que le polynôme $K$ convient.

Positivité et négativité

Les représentations graphiques précédentes peuvent amener à penser que, si $m$ est le plus petit des $x_i$ et si $M$ le plus grand des $x_i\comma$ alors les polynômes de Hermite seraient positifs sur l’intervalle $[m,M].$

Cette conjecture s’avère erronée.

Par exemple, le polynôme $H$ défini par $H(X) = \frac{(X-9)^2 (X-2)^2 (X+2)^2 (17 X-74)}{364500}$ est un polynôme de Hermite associé aux quatre points d’interpolation suivants : $x_1 = -2, x_2=2, x_3=7$ et $x_4=9.$ La présence du polynôme du premier degré $17X-74$ dans la factorisation de $H$ montre un changement de signe à l’intérieur de l’intervalle $[-2,9].$

La représentation graphique du polynôme $H$ ci-dessous permet de faire état d’un tel revirement.

Prolongement

Le cas général sera traité dans un autre article. De tels polynômes sont utiles dans la démonstration de l’approximation uniforme d’une fonction continue par un polynôme sur un segment. Les polynômes de Lagrange ne suffisent pas à cause du phénomène explicité par Runge.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 229.