Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$

Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :

Effectuez un changement de variable du second degré

Ne sachant pas pour le moment quel polynôme du second degré en $x\comma$ vous choisissez un polynôme comportant des coefficients petits et posez $y=x^2+x+1$ avant de trouver une équation satisfaite par $y\comma$ espérant qu’elle soit plus simple que celle de départ.

La variable $y$ s’exprime déjà comme un polynôme du second degré en $x.$ Vous allez constater qu’il en est de même pour $y^2$ et $y^3.$

Développez $y^2$ en utilisant l’identité remarquable $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\comma$ ce qui donne :

Afin d’abaisser les degrés $3$ et $4$ en $x$ qui apparaissent, vous utilisez la relation :

Du coup :

Poursuivez :

Éliminez les termes $x$ et $x^2$

Éliminez d’abord $x^2$

Comme :

vous effectuez une soustraction et obtenez :

Comme :

vous effectuez une addition et obtenez :

Éliminez enfin $x$

Comme :

vous effectuez une addition et déduisez que :

Concluez

Vous avez déduit que $y$ est solution de l’équation suivante :

Cependant, cette nouvelle équation semble aussi difficile à résoudre que celle de départ.

Le changement de variable $y=x^2+x+1$ n’est par conséquent pas le bon.

Prolongement

Calculez la valeur du produit $xy$ et déduisez-en une autre façon de procéder pour retrouver l’équation de degré $3$ ci-dessus satisfaite par $y.$

Quel changement de variable de la forme $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer, effectueriez-vous pour obtenir une équation de degré $3$ en $y$ qui soit plus simple que celle trouvée ci-dessus ?