Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$
Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :
x^3+x^2+x+2 = 0.
Effectuez un changement de variable du second degré
Ne sachant pas pour le moment quel polynôme du second degré en $x$, vous choisissez un polynôme comportant des coefficients petits et posez $y=x^2+x+1$ avant de trouver une équation satisfaite par $y$, espérant qu’elle soit plus simple que celle de départ.
La variable $y$ s’exprime déjà comme un polynôme du second degré en $x.$ Vous allez constater qu’il en est de même pour $y^2$ et $y^3.$
Développez $y^2$ en utilisant l’identité remarquable $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ :
\begin{align*}
y^2 &= (x^2+x+1)^2\\
&= x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x\\
&=x^4+2x^3+3x^2+2x+1.
\end{align*}Afin d’abaisser les degrés $3$ et $4$ en $x$ qui apparaissent, vous utilisez la relation :
x^3 = -x^2-x-2.
Du coup :
\begin{align*}
y^2 &=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\\
&= x \times x^3 + 2(-x^2-x-2) +3x^2+2x+1\\
&= x(-x^2-x-2)-2x^2-2x-4+3x^2+2x+1\\
&=-x^3-x^2-2x -2x^2-2x-4+3x^2+2x+1\\
&=-x^3-2x-3\\
&=-(-x^2-x-2)-2x-3\\
&=x^2+x+2-2x-3\\
&=x^2-x-1.
\end{align*}Poursuivez :
\begin{align*}
y^3 &= y\times y^2\\
&=(x^2+x+1)(x^2-x-1)\\
&=x^4-x^3-x^2+x^3-x^2-x+x^2-x-1\\
&=x^4-x^2-2x-1\\
&=x(-x^2-x-2)-x^2-2x-1\\
&=-x^3-x^2-2x-x^2-2x-1\\
&=-x^3-2x^2-4x-1\\
&=-(-x^2-x-2)-2x^2-4x-1\\
&=x^2+x+2-2x^2-4x-1\\
&=-x^2-3x+1.
\end{align*}Eliminez les termes $x$ et $x^2$
Eliminez d’abord $x^2$
Comme :
\begin{align*}
y&=x^2+x+1\\
y^2 &=x^2-x-1
\end{align*}vous effectuez une soustraction et obtenez :
\begin{align*}
y-y^2&=2x+2.
\end{align*}Comme :
\begin{align*}
y&=x^2+x+1\\
y^3 &=-x^2-3x+1
\end{align*}vous effectuez une addition et obtenez :
\begin{align*}
y+y^3&=-2x+2.
\end{align*}Eliminez enfin $x$
Comme :
\begin{align*}
y-y^2&=2x+2 \\
y+y^3&=-2x+2
\end{align*}vous effectuez une addition et déduisez que :
\begin{align*}
y^3-y^2+2y = 4
\end{align*}Concluez
Vous avez déduit que $y$ est solution de l’équation suivante :
y^3-y^2+2y-4=0.
Cependant, cette nouvelle équation semble aussi difficile à résoudre que celle de départ.
Le changement de variable $y=x^2+x+1$ n’est par conséquent pas le bon.
Prolongement
Calculez la valeur du produit $xy$ et déduisez-en une autre façon de procéder pour retrouver l’équation de degré $3$ ci-dessus satisfaite par $y.$
Quel changement de variable de la forme $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer, effectueriez-vous pour obtenir une équation de degré $3$ en $y$ qui soit plus simple que celle trouvée ci-dessus ?
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