Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$
Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :
x^3+x^2+x+2 = 0.
Pour abaisser le degré de cette équation, une idée consiste à poser :
y=x^2+ax+b
où $a$ et $b$ seront deux nombres bien choisis. Cette idée est attribuée à Tschirnhaus.
La difficulté est qu’à ce stade, il est pas permis de choisir $a$ et $b$ au hasard, sous peine de retomber sur une équation de degré $3$ en $y$, qui soit plus difficile à résoudre que celle en $x$.
Pour voir le détail de ce qui peut se passer, vous pouvez aller lire le contenu écrit dans l'article 258.
Abaissez le degré $3$ en degré $2$ en $x$
Comme $y=x^2+ax+b$, en multipliant par $x$, il vient :
\begin{align*}
xy&=x^3+ax^2+bx \\
xy-ax^2-bx&=x^3.
\end{align*}
Comme :
x^3 = -x^2-x-2
vous obtenez :
\begin{align*}
xy-ax^2-bx&=-x^2-x-2 \\
xy-bx+x+2&=ax^2-x^2 \\
xy+(1-b)x+2&=(a-1)x^2.
\end{align*}Abaissez le degré $2$ en degré $1$ en $x$
Comme :
x^2 = y-ax-b
vous obtenez :
\begin{align*}
xy+(1-b)x+2&=(a-1)x^2 \\
xy+(1-b)x+2&=(a-1)(y-ax-b) \\
xy+(1-b)x+2&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b \\
(1-b+y)x+2&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b \\
(1-b+y)x&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b-2 \\
(a^2-a-b+1+y)x&=(a-1)y-ab+b-2.
\end{align*}Déduisez-en une équation de degré $3$ satisfaite par $y$
Partez de la relation $y=x^2+ax+b$ en multipliez le tout par $a^2-a-b+1+y$ de façon à diminuer le degré de $x$ :
\begin{align*}
(a^2-a-b+1+y)y&=(a^2-a-b+1+y)x^2+a(a^2-a-b+1+y)x+b(a^2-a-b+1+y) \\
y^2+(a^2-a-b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+a\left[(a-1)y-ab+b-2\right]+a^2b-ab-b^2+b+by\\
y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+a\left[(a-1)y-ab+b-2\right]+a^2b-ab-b^2+b\\
y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+(a^2-a)y-a^2b+ab-2a+a^2b-ab-b^2+b\\
y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+(a^2-a)y-2a-b^2+b\\
y^2+(1-2b)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x-2a-b^2+b\\
y^2+(1-2b)y&=((a-1)y-ab+b-2)x-2a-b^2+b.
\end{align*}Vous multipliez à nouveau cette ligne par $a^2-a-b+1+y$ de façon à éliminer $x$ définitivement :
\begin{align*}
(a^2-a-b+1+y)\left[y^2+(1-2b)y\right]&=((a-1)y-ab+b-2)\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]\\&\quad+(a^2-a-b+1+y)(-2a-b^2+b) \\
(a^2-a-b+1+y)\left[y^2+(1-2b)y\right]&=((a-1)y-ab+b-2)((a-1)y-ab+b-2)\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
(a^2-a-b+1)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y+y^3+(1-2b)y^2&=((a-1)y-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(a^2-a-3b+2)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y&=(a^2-2a+1)y^2+2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2-a-b+1-2a^2b+2ab+2b^2-2b)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=2(-a^2b+ab-2a+ab-b+2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=(4ab-4a-2b+4-2a^2b)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2+3a-b-3-2ab)y&=(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\
y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab)y&=(-ab+b-2)^2+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b).
\end{align*}Ainsi, le nombre $y$ est solution de l’équation :
\boxed{y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab)y+(a^2-a-b+1)(2a+b^2-b) -(b-2-ab)^2= 0.}Choisissez les nombres $a$ et $b$
Vous souhaitez avoir simultanément :
\begin{align*}
1+a-3b &= 0\\
a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab &=0.
\end{align*}La première équation fournit $a = 3b-1$ que vous utilisez dans la seconde :
\begin{align*}
(3b-1)^2+3b^2+5(3b-1)-2b-3-2(3b-1)b &=0\\
9b^2-6b+1+3b^2+15b-5-2b-3-6b^2+2b &=0\\
6b^2+9b-7 &=0.
\end{align*}Choisissez pour $b$ une des deux solutions réelles de l’équation $6b^2+9b-7=0$. Par exemple vous prenez :
\boxed{b=\frac{-9+\sqrt{249}}{12}.}Alors $6b^2+9b-7$ est nul, donc $(3b-1)^2+3b^2+5(3b-1)-2b-3-2(3b-1)b$ est nul. Vous posez maintenant $a=3b-1$ soit :
\boxed{a=\frac{-13+\sqrt{249}}{4}.}Alors $1+a-3b=0$ et $a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab=0.$
Ainsi, si $x$ est une solution réelle de l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0$ en posant $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont les deux réels choisis ci-dessus, il vient :
y^3 = (b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2).
Comme $y$ est réel, il vient nécessairement :
y = \sqrt[3]{(b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2)}.Déterminez la valeur explicite de $y$
\begin{align*}
a b &= \frac{366-22\sqrt{249}}{48} = \frac{183-11\sqrt{249}}{24}\\
b-2 &= \frac{-33+\sqrt{249}}{12} = \frac{-66+2\sqrt{249}}{24}\\
b-2-ab &= \frac{-249+13\sqrt{249}}{24}\\
(b-2-ab)^2 &= \frac{83(209-13\sqrt{249})}{96}\\
a^2-a-b+1 &=\frac{747-47\sqrt{249}}{24}\\
b-2a-b^2 &=\frac{83-4\sqrt{249}}{24}\\
(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2) &=\frac{83(867-55\sqrt{249})}{288}\\
(b-2-ab)^2 + (a^2-a-b+1)(b-2a-b^2) &= \frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}.
\end{align*}Ainsi : :
\boxed{y=\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}.}Le nombre $y$ est donc strictement positif et numériquement, $y\approx 1,45576.$
Déterminez la valeur explicite de $x$ avec des radicaux
Il a été vu plus haut que $a^2-a-b+1 = \frac{747-47\sqrt{249}}{24}.$ Ainsi, $a^2-a-b+1$ est strictement positif.
Si le nombre $a^2-a-b+1+y$ était nul, alors les nombres $a^2-a-b+1$ et $y$ seraient opposés. Or ils sont tous les deux strictement positifs, ce qui est absurde. Ainsi, $a^2-a-b+1+y$ est non nul.
Au début de cet article, il a été vu que $(a^2-a-b+1+y)x=(a-1)y-ab+b-2$ et vous déduisez $x=\frac{(a-1)y-ab+b-2}{a^2-a-b+1+y}.$
Ainsi :
x=\frac{\frac{-17+\sqrt{249}}{4} \times \sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}} + \frac{-249+13\sqrt{249}}{24} }{\frac{747-47\sqrt{249}}{24} +\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}}.Concluez
L’analyse effectuée montre que, dans $\R$, l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0$ admet au plus une solution.
D’autre part, la fonction polynomiale réelle $x\mapsto x^3+x^2+x+2$ prend la valeur $2$ quand $x=0.$ D’autre part, elle prend la valeur $-4$ quand $x=-2.$ Cette fonction étant continue sur $[-2,0]$ le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer qu’elle prend la valeur $0$ au moins une fois sur cet intervalle.
Du coup, l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0$ admet exactement une seule solution réelle qui est donnée par :
\boxed{x=\frac{\frac{-17+\sqrt{249}}{4} \times \sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}} + \frac{-249+13\sqrt{249}}{24} }{\frac{747-47\sqrt{249}}{24} +\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}}.}Numériquement, $x\approx -1,35321.$
Note. Bien que très calculatoire, cette méthode diffère de celle de Cardan. Son avantage est qu’elle permet de trouver toutes les solutions, y compris complexes de l’équation de degré $3$ en $x$. En effet, l’équation $y^3 = (b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2)$ admet trois solutions distinctes dans $\C$ qui permettent de trouver les trois valeurs de $x$ dans $\C.$
Avec la méthode de Cardan, on construit une seule solution de l’équation du troisième degré en $x$, puis on factorise le polynôme comme produit de deux polynômes, l’un de degré $1$ et l’autre de degré $2.$
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