259. Résolvez algébriquement une équation du troisième degré (2/2)

Soit à résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $x^3+x^2+x+2 = 0.$

Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant qu’il existe un réel $x$ fixé dans toute la suite, tel que :

x^3+x^2+x+2 = 0.

Pour abaisser le degré de cette équation, une idée consiste à poser :

y=x^2+ax+b

où $a$ et $b$ seront deux nombres bien choisis. Cette idée est attribuée à Tschirnhaus.

La difficulté est qu’à ce stade, il n’est pas permis de choisir $a$ et $b$ au hasard, sous peine de retomber sur une équation de degré $3$ en $y\comma$ qui soit plus difficile à résoudre que celle en $x.$

Pour voir le détail de ce qui peut se passer, vous pouvez aller lire un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 258.

Abaissez le degré $3$ en degré $2$ en $x$

Comme $y=x^2+ax+b\comma$ en multipliant par $x\comma$ il vient :

\begin{align*} xy&=x^3+ax^2+bx \\ xy-ax^2-bx&=x^3. \end{align*}

Comme :

x^3 = -x^2-x-2

vous obtenez :

\begin{align*} xy-ax^2-bx&=-x^2-x-2 \\ xy-bx+x+2&=ax^2-x^2 \\ xy+(1-b)x+2&=(a-1)x^2. \end{align*}

Abaissez le degré $2$ en degré $1$ en $x$

Comme :

x^2 = y-ax-b

vous obtenez :

\begin{align*} xy+(1-b)x+2&=(a-1)x^2 \\ xy+(1-b)x+2&=(a-1)(y-ax-b) \\ xy+(1-b)x+2&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b \\ (1-b+y)x+2&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b \\ (1-b+y)x&=(a-1)y+(a-a^2)x-ab+b-2 \\ (a^2-a-b+1+y)x&=(a-1)y-ab+b-2. \end{align*}

Déduisez-en une équation de degré $3$ satisfaite par $y$

Partez de la relation $y=x^2+ax+b$ et multipliez le tout par $a^2-a-b+1+y$ de façon à diminuer le degré de $x\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} (a^2-a-b+1+y)y&=(a^2-a-b+1+y)x^2+a(a^2-a-b+1+y)x+b(a^2-a-b+1+y) \\ y^2+(a^2-a-b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+a\left[(a-1)y-ab+b-2\right]+a^2b-ab-b^2+b+by\\ y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+a\left[(a-1)y-ab+b-2\right]+a^2b-ab-b^2+b\\ y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+(a^2-a)y-a^2b+ab-2a+a^2b-ab-b^2+b\\ y^2+(a^2-a-2b+1)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x+(a^2-a)y-2a-b^2+b\\ y^2+(1-2b)y&=\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]x-2a-b^2+b\\ y^2+(1-2b)y&=((a-1)y-ab+b-2)x-2a-b^2+b. \end{align*}

Vous multipliez à nouveau cette ligne par $a^2-a-b+1+y$ de façon à éliminer $x$ définitivement :

\begin{align*} (a^2-a-b+1+y)\left[y^2+(1-2b)y\right]&=((a-1)y-ab+b-2)\left[(a^2-a-b+1+y)x\right]\\&\quad+(a^2-a-b+1+y)(-2a-b^2+b) \\ (a^2-a-b+1+y)\left[y^2+(1-2b)y\right]&=((a-1)y-ab+b-2)((a-1)y-ab+b-2)\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ (a^2-a-b+1)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y+y^3+(1-2b)y^2&=((a-1)y-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(a^2-a-3b+2)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y&=(a^2-2a+1)y^2+2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(1-2b)(a^2-a-b+1)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2-a-b+1-2a^2b+2ab+2b^2-2b)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=2(a-1)(-ab+b-2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=2(-a^2b+ab-2a+ab-b+2)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2-a-3b+1-2a^2b+2ab)y&=(4ab-4a-2b+4-2a^2b)y+(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+2b^2+3a-b-3-2ab)y&=(-ab+b-2)^2\\&\quad+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b) + (-2a-b^2+b)y\\ y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab)y&=(-ab+b-2)^2+(a^2-a-b+1)(-2a-b^2+b). \end{align*}

Ainsi, le nombre $y$ est solution de l’équation :

\boxed{y^3+(1+a-3b)y^2+(a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab)y+(a^2-a-b+1)(2a+b^2-b) -(b-2-ab)^2= 0.}

Choisissez les nombres $a$ et $b$

Vous souhaitez avoir simultanément :

\begin{align*} 1+a-3b &= 0\\ a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab &=0. \end{align*}

La première équation fournit $a = 3b-1$ que vous utilisez dans la seconde :

\begin{align*} (3b-1)^2+3b^2+5(3b-1)-2b-3-2(3b-1)b &=0\\ 9b^2-6b+1+3b^2+15b-5-2b-3-6b^2+2b &=0\\ 6b^2+9b-7 &=0. \end{align*}

Choisissez pour $b$ une des deux solutions réelles de l’équation $6b^2+9b-7=0.$ Par exemple vous prenez :

\boxed{b=\frac{-9+\sqrt{249}}{12}.}

Alors $6b^2+9b-7$ est nul, donc $(3b-1)^2+3b^2+5(3b-1)-2b-3-2(3b-1)b$ est nul. Vous posez maintenant $a=3b-1$ soit :

\boxed{a=\frac{-13+\sqrt{249}}{4}.}

Alors $1+a-3b=0$ et $a^2+3b^2+5a-2b-3-2ab=0.$

Ainsi, si $x$ est une solution réelle de l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0\comma$ en posant $y=x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont les deux réels choisis ci-dessus, il vient :

y^3 = (b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2).

Comme $y$ est réel, il vient nécessairement :

y = \sqrt[3]{(b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2)}.

Déterminez la valeur explicite de $y$

\begin{align*} a b &= \frac{366-22\sqrt{249}}{48} = \frac{183-11\sqrt{249}}{24}\\ b-2 &= \frac{-33+\sqrt{249}}{12} = \frac{-66+2\sqrt{249}}{24}\\ b-2-ab &= \frac{-249+13\sqrt{249}}{24}\\ (b-2-ab)^2 &= \frac{83(209-13\sqrt{249})}{96}\\ a^2-a-b+1 &=\frac{747-47\sqrt{249}}{24}\\ b-2a-b^2 &=\frac{83-4\sqrt{249}}{24}\\ (a^2-a-b+1)(b-2a-b^2) &=\frac{83(867-55\sqrt{249})}{288}\\ (b-2-ab)^2 + (a^2-a-b+1)(b-2a-b^2) &= \frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{y=\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}.}

Le nombre $y$ est donc strictement positif et numériquement, $y\approx 1{,}45576.$

Déterminez la valeur explicite de $x$ avec des radicaux

Il a été vu plus haut que $a^2-a-b+1 = \frac{747-47\sqrt{249}}{24}.$ Ainsi, $a^2-a-b+1$ est strictement positif.

Si le nombre $a^2-a-b+1+y$ était nul, alors les nombres $a^2-a-b+1$ et $y$ seraient opposés. Or ils sont tous les deux strictement positifs, ce qui est absurde. Ainsi, $a^2-a-b+1+y$ est non nul.

Au début de ce contenu, il a été vu que $(a^2-a-b+1+y)x=(a-1)y-ab+b-2$ et vous déduisez $x=\frac{(a-1)y-ab+b-2}{a^2-a-b+1+y}.$

Ainsi :

x=\frac{\frac{-17+\sqrt{249}}{4} \times \sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}} + \frac{-249+13\sqrt{249}}{24} }{\frac{747-47\sqrt{249}}{24} +\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}}.

Concluez

L’analyse effectuée montre que, dans $\R\comma$ l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0$ admet au plus une solution.

D’autre part, la fonction polynomiale réelle $x\mapsto x^3+x^2+x+2$ prend la valeur $2$ quand $x=0.$ D’autre part, elle prend la valeur $-4$ quand $x=-2.$ Cette fonction étant continue sur $[-2,0]\comma$ le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer qu’elle prend la valeur $0$ au moins une fois sur cet intervalle.

Du coup, l’équation $x^3+x^2+x+2 = 0$ admet exactement une seule solution réelle qui est donnée par :

\boxed{x=\frac{\frac{-17+\sqrt{249}}{4} \times \sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}} + \frac{-249+13\sqrt{249}}{24} }{\frac{747-47\sqrt{249}}{24} +\sqrt[3]{\frac{83(747-47\sqrt{249})}{144}}}.}

Numériquement, $x\approx -1{,}35321.$

Note. Bien que très calculatoire, cette méthode diffère de celle de Cardan. Son avantage est qu’elle permet de trouver toutes les solutions, y compris complexes de l’équation de degré $3$ en $x.$ En effet, l’équation $y^3 = (b-2-ab)^2+(a^2-a-b+1)(b-2a-b^2)$ admet trois solutions distinctes dans $\C$ qui permettent de trouver les trois valeurs de $x$ dans $\C.$
Avec la méthode de Cardan, vous construisez une seule solution de l’équation du troisième degré en $x\comma$ puis vous factorisez le polynôme comme produit de deux polynômes, l’un de degré $1$ et l’autre de degré $2.$