École AVOSZ

268. Toute fonction affine conserve les barycentres

29 mars 2023

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $m$ un nombre réel non nul et soit $p$ un nombre réel. Vous définissez la fonction affine $f$ en posant :

\forall x\in\R, f(x)=mx+p.

Dans toute la suite, vous désignez par $a$ et $b$ deux nombres réels fixés.

Soit $t$ un nombre réel. Le barycentre des réels $a$ et $b$ affectés des coefficients respectifs $t$ et $1-t$ est le réel défini par :

ta+(1-t)b.

Par définition de la fonction $f\comma$ il vient :

\begin{align*} f(a) &= ma+p \\ f(b) &= mb+p. \end{align*}

Soit $t$ un nombre réel. Après multiplication par $t$ de la première ligne et par $1-t$ de la seconde, vous obtenez :

\begin{align*} tf(a) &= mta+tp \\ (1-t)f(b) &= m(1-t)b+(1-t)p. \end{align*}

Par somme, vous déduisez :

\begin{align*} tf(a)+(1-t)f(b) &= mta+m(1-t)b + tp +(1-t)p \\ &= m\left[ta+(1-t)b\right] + tp+p-tp\\ &= m\left[ta+(1-t)b\right] +p\\ &= f(ta+(1-t)b). \end{align*}

Est ainsi démontrée la conservation du barycentre de deux points par une fonction affine $f$.

Autrement dit, si $f$ est une fonction affine :

\boxed{\forall (a,b,t)\in\R^3, f(ta+(1-t)b) =tf(a)+(1-t)f(b).}

Cela se reformule ainsi :

\forall (a,b,\lambda, \mu)\in\R^4, \lambda+\mu = 1 \implies f(\lambda a+\mu b) =\lambda f(a)+\mu f(b).

Une fonction affine se comporte comme une fonction linéaire sous réserve que les scalaires $\lambda$ et $\mu$ aient une somme égale à $1.$

Supposez qu’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4.$

Soit $x$ un nombre réel.

Il s’agit de déterminer $f(x).$

D’après la propriété vue ci-dessus sur les fonctions affines, vous avez :

\begin{align*} \forall t\in\R, f(2t+5(1-t))&=tf(2)+(1-t)f(5)\\ f(2t+5-5t)&=3t+4(1-t)\\ f(-3t+5)&=3t+4-4t\\ f(-3t+5)&=-t+4. \end{align*}

Posez alors $t = \frac{5-x}{3}.$

Vous avez :

\begin{align*} 3t &= 5-x\\ x &= -3t+5. \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} f(x) &= f(-3t+5)\\ &= -t+4\\ &= – \frac{5-x}{3} + 4\\ &= \frac{x-5}{3}+4\\ &= \frac{x-5}{3}+\frac{12}{3}\\ &=\frac{x+7}{3}. \end{align*}

S’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4\comma$ alors elle est unique et elle est définie par :

\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}.

Réciproquement, considérez la fonction $f$ définie par :

\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3} = \frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.

La fonction $f$ est bien affine, avec $m = \frac{1}{3}$ et $p=\frac{7}{3}.$

De plus :

\begin{align*} f(2) &= \frac{2+7}{3} = \frac{9}{3} = 3\\ f(5) &= \frac{5+7}{3} = \frac{12}{3} = 4. \end{align*}

La fonction $f$ convient bien.

Il existe une unique fonction affine $f$ telle que $f(2)=3$ et $f(5)=4.$

Elle est définie par :

\boxed{\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}. }