Soit $m$ un nombre réel non nul et soit $p$ un nombre réel. On définit la fonction affine $f$ en posant :
\forall x\in\R, f(x)=mx+p.
Dans toute la suite, on désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels fixés.
Notion de barycentre de deux réels
Soit $t$ un nombre réel. Le barycentre des réels $a$ et $b$ affecté des coefficients respectifs $t$ et $1-t$ est le réel défini par :
ta+(1-t)b.
Effet de la fonction affine $f$ sur un barycentre
Par définition de la fonction $f$, il vient :
\begin{align*}
f(a) &= ma+p \\
f(b) &= mb+p.
\end{align*}Soit $t$ un nombre réel. Après multiplication par $t$ de la première ligne et par $1-t$ de la seconde, vous obtenez :
\begin{align*}
tf(a) &= mta+tp \\
(1-t)f(b) &= m(1-t)b+(1-t)p.
\end{align*}Par somme vous déduisez :
\begin{align*}
tf(a)+(1-t)f(b) &= mta+m(1-t)b + tp +(1-t)p \\
&= m\left[ta+(1-t)b\right] + tp+p-tp\\
&= m\left[ta+(1-t)b\right] +p\\
&= f(ta+(1-t)b).
\end{align*}
Est ainsi démontré la conservation du barycentre de deux points par une fonction affine $f$.
Autrement dit, si $f$ est une fonction affine :
\boxed{\forall (a,b,t)\in\R^3, f(ta+(1-t)b) =tf(a)+(1-t)f(b).}Cela se reformule ainsi :
\forall (a,b,\lambda, \mu)\in\R^4, \lambda+\mu = 1 \implies f(\lambda a+\mu b) =\lambda f(a)+\mu f(b).
Une fonction affine se comporte comme une fonction linéaire sous réserve que les scalaires $\lambda$ et $\mu$ aient une somme égale à $1.$
Application : déterminez toutes les fonctions affines $f$ telles que $f(2)=3$ et $f(5)=4$
Analyse
Supposez qu’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4.$
Soit $x$ un nombre réel.
Il s’agit de déterminer $f(x).$
D’après la propriété vue ci-dessus sur les fonctions affines, vous avez :
\ \begin{align*}
\forall t\in\R, f(2t+5(1-t))&=tf(2)+(1-t)f(5)\\
f(2t+5-5t)&=3t+4(1-t)\\
f(-3t+5)&=3t+4-4t\\
f(-3t+5)&=-t+4.
\end{align*}Posez alors $t = \frac{5-x}{3}.$
Vous avez :
\begin{align*}
3t &= 5-x\\
x &= -3t+5.
\end{align*}
Ainsi :
\begin{align*}
f(x) &= f(-3t+5)\\
&= -t+4\\
&= - \frac{5-x}{3} + 4\\
&= \frac{x-5}{3}+4\\
&= \frac{x-5}{3}+\frac{12}{3}\\
&=\frac{x+7}{3}.
\end{align*}S’il existe une fonction affine $f$ telle que $f(2) = 3$ et $f(5) = 4$ alors elle est unique et elle est définie par :
\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}. Synthèse
Réciproquement, considérez la fonction $f$ définie par :
\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3} = \frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.La fonction $f$ est bien affine, avec $m = \frac{1}{3}$ et $p=\frac{7}{3}.$
De plus :
\begin{align*}
f(2) &= \frac{2+7}{3} = \frac{9}{3} = 3\\
f(5) &= \frac{5+7}{3} = \frac{12}{3} = 4.
\end{align*}
La fonction $f$ convient bien.
Concluez
Il existe une unique fonction affine $f$ telle que $f(2)=3$ et $f(5)=4.$
Elle est définie par :
\boxed{\forall x\in\R, f(x) = \frac{x+7}{3}. }Partagez maintenant !
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