École AVOSZ

267. Déterminez les racines carrées d’un nombre complexe

19 janvier 2023

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Sur un exemple concret, vous allez voir comment il est possible de trouver tous les nombres complexes $z$ tels que :

z^2 = -3-4i.

Justifiez l’existence d’un tel nombre

L’utilisation de l’artillerie lourde permet de conclure : d’après le théorème de d’Alembert, appelé aussi théorème fondamental de l’algèbre, tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet une racine complexe.

Il en est donc ainsi pour le polynôme du second degré $X^2+3+4i.$

Déterminez la partie réelle et la partie imaginaire

Notez $z$ un nombre complexe tel que $z^2 = -3-4i.$ Il existe un couple $(a,b)\in\R^2$ tel que :

z=a+ib.

Vous élevez au carré :

\begin{align*} z^2 &= (a+ib)^2\\ &= a^2+(ib)^2+2a\times ib\\ &=a^2+i^2b^2+2iab\\ &=a^2-b^2+i(2ab). \end{align*}

En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire de $z^2\comma$ il vient :

\left\{\begin{align*} a^2-b^2 &= -3\\ 2ab &= -4. \end{align*}\right.

Remarquez que la seconde équation se simplifie après division par $2\comma$ ce qui donne :

\left\{\begin{align*} a^2-b^2 &= -3\\ ab &= -2. \end{align*}\right.

Éliminez une inconnue

Partez de la relation :

a^2-b^2=-3.

Souhaitant utiliser $ab=-2\comma$ vous multipliez par $a\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} a^3-ab^2&=-3a\\ a^3-(ab)b &=-3a\\ a^3-(-2)b&=-3a\\ a^3+2b&=-3a. \end{align*}

Vous avez abaissé le degré de $b$ qui est passé de $2$ à $1.$ Poursuivez en multipliant encore par $a\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} a^3+2b&=-3a\\ a^4+2ab&=-3a^2\\ a^4-4&=-3a^2\\ a^4+3a^2-4 &= 0. \end{align*}

Résolvez l’équation bicarrée

L’équation de degré $4$ se ramène à une équation de degré $2\comma$ comme suit :

\begin{align*} a^4+3a^2-4 &= 0\\ (a^2)^2+3a^2-4&=0. \end{align*}

Posez $A = a^2.$ Le réel $A$ est solution de l’équation :

A^2+3A-4 = 0.

Vous constatez que $A=1$ est racine évidente. L’expression du membre de gauche est factorisable par $A-1.$ Cela conduit à écrire ce qui suit :

\begin{align*} (A-1)(A+4) &=0. \end{align*}

Du coup :

A\in\{1, -4\}.

Comme $A$ est un carré, $A$ est nécessairement positif, donc $A = 1.$

Ainsi, $a^2 = 1$ et donc $a\in\{-1,1\}.$

Trouvez les valeurs possibles

Si $a=1$

Comme $ab = -2\comma$ vous déduisez $b=-2$ et donc $z = 1-2i.$

Si $a=-1$

Comme $ab = -2\comma$ vous déduisez $b=2$ et donc $z = -1+2i.$

Si $z$ est une solution de l’équation $z^2 = -3-4i\comma$ alors $z\in\{1-2i, -1+2i\}.$

Effectuez la réciproque

Si $z = 1-2i\comma$ alors :

\begin{align*} z^2 &= (1-2i)^2\\ &= 1^2+(2i)^2-2\times 1\times 2i\\ &= 1-4-4i\\ &=-3-4i. \end{align*}

De même, si $z = -1+2i\comma$ alors :

\begin{align*} z^2 &= (-1+2i)^2\\ &= ((-1)\times (1-2i))^2\\ &=(-1)^2(1-2i)^2\\ &=1\times(-3-4i)\\ &=-3-4i. \end{align*}

Concluez

Pour tout nombre complexe $z\comma$ l’équivalence suivante est vérifiée :

\boxed{z^2 = -3-4i \Longleftrightarrow z\in\{1-2i, -1+2i\}.}