Sur un exemple concret, vous allez voir comment il est possible de trouver tous les nombres complexes $z$ tels que :
z^2 = -3-4i.
Justifiez de l’existence d’un tel nombre
L’utilisation de l’artillerie lourde permet de conclure : d’après le théorème de d’Alembert, appelé aussi théorème fondamental de l’algèbre, tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet une racine complexe.
Il en est donc ainsi pour le polynôme du second degré $X^2+3+4i.$
Déterminez la partie réelle et la partie imaginaire
Notez $z$ un nombre complexe tel que $z^2 = -3-4i.$ Il existe un couple $(a,b)\in\R^2$ tel que :
z=a+ib.
Vous élevez au carré :
\begin{align*}
z^2 &= (a+ib)^2\\
&= a^2+(ib)^2+2a\times ib\\
&=a^2+i^2b^2+2iab\\
&=a^2-b^2+i(2ab).
\end{align*}En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire de $z^2$ il vient :
\left\{\begin{align*}
a^2-b^2 &= -3\\
2ab &= -4.
\end{align*}\right.Remarquez que la seconde équation est simplifiable après division par $2$ :
\left\{\begin{align*}
a^2-b^2 &= -3\\
ab &= -2.
\end{align*}\right.Eliminez une inconnue
Partez de la relation :
a^2-b^2=-3.
Souhaitant utiliser $ab=-2$ vous multipliez par $a$ :
\begin{align*}
a^3-ab^2&=-3a\\
a^3-(ab)b &=-3a\\
a^3-(-2)b&=-3a\\
a^3+2b&=-3a.
\end{align*}
Vous avez abaissé le degré de $b$ qui est passé de $2$ à $1.$ Poursuivez en multipliant encore par $a$ :
\begin{align*}
a^3+2b&=-3a\\
a^4+2ab&=-3a^2\\
a^4-4&=-3a^2\\
a^4+3a^2-4 &= 0.
\end{align*}Résolvez l’équation bicarrée
L’équation de degré $4$ se ramène à une équation de degré $2$ :
\begin{align*}
a^4+3a^2-4 &= 0\\
(a^2)^2+3a^2-4&=0.
\end{align*}
Posez $A = a^2.$ Le réel $A$ est solution de l’équation :
A^2+3A-4 = 0.
Vous constatez que $A=1$ est racine évidente. L’expression du membre de gauche est factorisable par $A-1.$ Cela conduit à écrire ce qui suit :
\begin{align*}
(A-1)(A+4) &=0.
\end{align*}Du coup :
A\in\{1, -4\}.Comme $A$ est un carré, $A$ est nécessairement positif, donc $A = 1.$
Ainsi, $a^2 = 1$ et donc $a\in\{-1,1\}.$
Trouvez les valeurs possibles
Si $a=1$
Comme $ab = -2$ vous déduisez $b=-2$ et donc $z = 1-2i.$
Si $a=-1$
Comme $ab = -2$ vous déduisez $b=2$ et donc $z = -1+2i.$
Si $z$ est une solution de l’équation $z^2 = -3-4i$, alors $z\in\{1-2i, -1+2i\}.$
Effectuez la réciproque
Si $z = 1-2i$, alors :
\begin{align*}
z^2 &= (1-2i)^2\\
&= 1^2+(2i)^2-2\times 1\times 2i\\
&= 1-4-4i\\
&=-3-4i.
\end{align*}
De même, si $z = -1+2i$, alors :
\begin{align*}
z^2 &= (-1+2i)^2\\
&= ((-1)\times (1-2i))^2\\
&=(-1)^2(1-2i)^2\\
&=1\times(-3-4i)\\
&=-3-4i.
\end{align*}Concluez
Pour tout nombre complexe $z$, l’équivalence suivante est vérifiée :
\boxed{z^2 = -3-4i \Longleftrightarrow z\in\{1-2i, -1+2i\}.}