Cet article est le prolongement du contenu se trouvant dans l'article 269.
Il y a été établi que l’application $\varphi$ est un isomorphisme de $\R^3$ vers $\R_2[X]$ qui se déduit de la base $(X^2,X,1)$ choisie pour $\R_2[X].$ Pour rappel, $\varphi$ est définie par :
\forall (a,b,c)\in\R^3, \varphi((a,b,c)) = aX^2+bX+c.
De même, l’application $\psi$ est un isomorphisme de $\R^3$ vers $\R_2[X]$ concernant la base $(X(X-1),X(X-2),(X-1)(X-2)).$ Pour rappel, $\psi$ est définie par :
\forall (a,b,c)\in\R^3, \psi((a,b,c))=aX(X-1)+bX(X-2)+c(X-1)(X-2).
Vous considérez maintenant l’application $f$ suivante :
\begin{array}{cccc}
f: &\R_2[X] & \to & \R_2[X] \\
&P & \mapsto & P+P'
\end{array}et allez représenter celle-ci par des matrices en fonction des bases choisies.
Montrez que $f$ est un endomorphisme
Comme $f$ a le même espace de départ et d’arrivée qui est un espace vectoriel, il suffit de vérifier que $f$ est linéaire.
Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et soit $(P,Q)\in (\R_2[X])^2.$
\begin{align*}
f(\lambda P+\mu Q) &= \lambda P+\mu Q + (\lambda P+\mu Q)'\\
&= \lambda P+\mu Q + \lambda P'+\mu Q'\\
&= \lambda(P+P')+\mu(Q+Q')\\
&= \lambda f(P)+\mu f(Q).
\end{align*}Ainsi :
\forall(\lambda, \mu)\in\R^2, \forall(P,Q)\in (\R_2[X])^2, f(\lambda P + \mu Q) = \lambda f(P)+\mu f(Q).
L’application $f$ est bien un endomorphisme.
Matrice de $f$ dans la base $(X^2, X, 1)$
Il a été déjà vu plus haut que se donner une base de $\R_2[X]$, c’est choisir un isomorphisme de $\R^3$ vers $\R_2[X].$
En effectuant le choix de la base $(X^2,X,1)$ vous mettez $\R^3$ et $\R_2[X]$ en relation via l’isomorphisme $\varphi.$
Comme des matrices vont être utilisées dans la suite, on conviendra exceptionnellement de confondre une ligne avec sa colonne, autrement on s’autorisera à considérer que :
\R^3 = \left\{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, a\in\R, b\in\R, c\in\R\right\}.Soit $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un élément de $\R^3.$
$\varphi\left( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right) \in\R_2[X].$
De même, les parenthèses doubles seront omises afin de simplifier les notations. Vous noterez par exemple :
\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \varphi\left( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right).Il convient de remarquer les résultats suivants.
\begin{align*}
\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in\R_2[X] \\
f\left(\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right) \in\R_2[X] \\
(f\circ \varphi) \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in\R_2[X]
\end{align*}Notez $\varphi^{-1}$ la bijection réciproque de $\varphi$, qui est aussi un isomorphisme (ce résultat est général, une application linéaire bijective a sa bijection réciproque automatiquement linéaire, allez consulter le contenu se trouvant dans l'article 271) :
\forall (a,b,c)\in\R^3, \varphi^{-1} (aX^2+bX+c) = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.Alors :
\begin{align*}
\varphi^{-1}\left((f\circ \varphi) \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\right) \in\R^3\\
(\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi) \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \R^3.
\end{align*}Pour résumer ce processus, si $f$ est un endomorphisme de $\R_2[X]$, l’application $\varphi^{-1}\circ f \circ \varphi$ est un endomorphisme de $\R^3.$
Ce processus est appelé conjugaison.
La matrice $A$ de $f$ dans la base $(X^2,X,1)$ est celle qui va apparaître dans l’écriture matricielle de l’endomorphisme $\varphi^{-1}\circ f \circ \varphi.$
Pour déterminer une telle matrice, il est plus simple de procéder colonne par colonne.
Première colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\varphi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= X^2 \\
f(X^2) &= X^2+2X = 1X^2+2X \\
\varphi^{-1} (X^2+2X) &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \\
(\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}La première colonne de la matrice $A$ est $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.$
Deuxième colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= X \\
f(X) &= X+1 = 1X+1 \\
\varphi^{-1} (X+1) &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
(\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}La deuxième colonne de la matrice $A$ est $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$
Troisième colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= 1 \\
f(X) &= 1+0= 1\\
\varphi^{-1} (1) &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\
(\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}La troisième colonne de la matrice $A$ est $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$
Écriture de $\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi$ sous forme matricielle
Soit $(a,b,c)\in\R^3.$ Utilisant la linéarité de $\varphi$ :
\begin{align*}
\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} &= \varphi \left(a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \\
&= a\ \varphi\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\ \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c\ \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}Utilisez maintenant la linéarité de $f$ :
\begin{align*}
f\left(\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\right)
&= a\ f\left(\varphi\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)+ b\ f\left(\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)+ c\ f\left(\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right).
\end{align*}Finissez avec la linéarité de $\varphi^{-1}$ :
\begin{align*}
\varphi^{-1} \left(f\left(\varphi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\right) \right)
&= a\ \varphi^{-1} \left( f\left(\varphi\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \right) + b\ \varphi^{-1} \left( f\left(\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \right) + c\ \varphi^{-1} \left( f\left(\varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \right).
\end{align*}Cela s’écrit :
\begin{align*}
(\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi) \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} &= a\ (\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\ (\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c\ (\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ b \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} a \\ 2a+b \\ b+c \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix}.
\end{align*}Concluez pour la matrice de $f$
D’après les calculs précédents, vous avez obtenu que la matrice de $f$ dans la base $(X^2,X,1)$ est égale à :
\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix}.}Matrice de $f$ dans la base $(X(X-1),X(X-2),(X-1)(X-2))$
Vous suivez la même démarche que celle initiée.
Par conjugaison, l’application $\psi^{-1}\circ f \circ \psi$ est un endomorphisme de $\R^3.$
Il a été vu dans l'article 269 que :
\forall (a,b,c)\in\R^3, \psi \left(\frac{4a+2b+c}{2},-a-b-c,\frac{c}{2} \right) = aX^2+bX+c.Vous déduisez que :
\forall (a,b,c)\in\R^3, \psi^{-1}(aX^2+bX+c) =\left(\frac{4a+2b+c}{2},-a-b-c,\frac{c}{2} \right).Première colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\psi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= X(X-1) = X^2-X \\
f(X^2-X) &= X^2-X+2X-1 = X^2+X-1 \\
\end{align*}Compte tenu de l’expression de $\psi^{-1}$ il vient :
\begin{align*}
\psi^{-1} (X^2+X-1) &= \left(\frac{4+2-1}{2},-1-1+1,\frac{-1}{2} \right) \\
&=\left(\frac{5}{2},-1,\frac{-1}{2} \right).
\end{align*}
De ce qui précède, la première colonne de la matrice de $f$ est : $\begin{pmatrix} 5/2 \\ -1 \\ -1/2 \end{pmatrix}.$
Deuxième colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\psi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= X(X-2) = X^2-2X \\
f(X^2-2X) &= X^2-2X+2X-2 = X^2-2 \\
\psi^{-1}(X^2-2)&= \left(\frac{4-2}{2},-1+2,\frac{-2}{2} \right) = \left(1,1,-1\right) .
\end{align*}La deuxième colonne de la matrice de $f$ est : $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$
Troisième colonne de la matrice de $f$
\begin{align*}
\psi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= (X-1)(X-2) = X^2-3X+2 \\
f(X^2-3X+2) &= X^2-3X+2+2X-3 = X^2-X-1 \\
\psi^{-1}(X^2-X-1)&= \left(\frac{4-2-1}{2},-1+1+1,\frac{-1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2},1,\frac{-1}{2} \right).
\end{align*}La troisième colonne de la matrice de $f$ est : $\begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{pmatrix}.$
De ce qui précède, la deuxième colonne de la matrice de $f$ est : $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$
Concluez pour la matrice de $f$
Vous avez obtenu que la matrice de $f$ dans la base $(X(X-1),X(X-2),(X-1)(X-2))$ est égale à :
\boxed{B = \begin{pmatrix} 5/2 & 1 & 1/2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1/2 &-1&-1/2 \end{pmatrix}.}Partagez maintenant !
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