Dans cet article, $\K$ désigne un corps. Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels.
Supposez qu’il existe une application bijective $f$ allant de $E$ vers $F$ et qui soit linéaire.
Linéarité et bijectivité de l’application $f$
Rappelez-vous que la linéarité de $f$ se traduit par la propriété suivante :
\forall (\lambda, \mu)\in\K^2, \forall (u,v)\in E^2, f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v).
Vous allez montrer que la bijection réciproque de $f$, qui sera notée $g$, est aussi linéaire.
Rappelez-vous que, comme $f$ est une bijection :
\forall u'\in F, \exists!u\in E, u'=f(u).
Autrement dit, pour tout $u’\in F$, $g(u’)$ désigne l’unique antécédent par $f$ du vecteur $u’.$ Il vient donc :
\forall u'\in F, f(g(u'))=u'.
Linéarité de l’application $g$
Soit $(\lambda, \mu)\in\K^2$ et soit $(x,y)\in F^2.$
Le vecteur $g(x)$ est l’unique antécédent de $x$ par la fonction $f$, donc $f(g(x))=x.$
Il en va de même pour $g(y)$ qui vérifie l’égalité $f(g(y)) = y.$
Utilisant la linéarité de la fonction $f$, vous obtenez :
\begin{align*}
f(\lambda g(x)+\mu g(y)) &= \lambda f(g(x))+\mu f(g(y)) \\
&= \lambda x + \mu y.
\end{align*}
Il est ainsi prouvé que $\lambda x + \mu y$ admet $\lambda g(x) + \mu g(y)$ pour antécédent par $f.$
Or, le vecteur $\lambda x + \mu y$ appartient à $F.$ Via la fonction $g$, le vecteur $g(\lambda x + \mu y)$ est l’unique antécédent par la fonction $f$ du vecteur $\lambda x + \mu y.$
Ainsi les vecteurs $\lambda g(x) + \mu g(y)$ et $g(\lambda x + \mu y)$ sont deux antécédents par $f$ du vecteur $\lambda x + \mu y.$ Il s’ensuit que :
g(\lambda x + \mu y) = \lambda g(x) + \mu g(y).
Concluez
La bijection réciproque d’une application linéaire est elle-même linéaire. Avec le vocabulaire des espaces vectoriels, cela se reformule ainsi : la bijection réciproque d’un isomorphisme est aussi un isomorphisme.
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