Dans ce contenu, $\K$ désigne un corps. Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels.

Supposez qu’il existe une application bijective $f$ allant de $E$ vers $F$ et qui soit linéaire.

Linéarité et bijectivité de l’application $f$

Rappelez-vous que la linéarité de $f$ se traduit par la propriété suivante :

Vous allez montrer que la bijection réciproque de $f\comma$ qui sera notée $g\comma$ est aussi linéaire.

Rappelez-vous que, comme $f$ est une bijection :

Autrement dit, pour tout $u’\in F\comma$ $g(u’)$ désigne l’unique antécédent par $f$ du vecteur $u’.$ Il vient donc :

Linéarité de l’application $g$

Soit $(\lambda, \mu)\in\K^2$ et soit $(x,y)\in F^2.$

Le vecteur $g(x)$ est l’unique antécédent de $x$ par la fonction $f\comma$ donc $f(g(x))=x.$

Il en va de même pour $g(y)$ qui vérifie l’égalité $f(g(y)) = y.$

Utilisant la linéarité de la fonction $f\comma$ vous obtenez :

Il est ainsi prouvé que $\lambda x + \mu y$ admet $\lambda g(x) + \mu g(y)$ pour antécédent par $f.$

Or, le vecteur $\lambda x + \mu y$ appartient à $F.$ Via la fonction $g\comma$ le vecteur $g(\lambda x + \mu y)$ est l’unique antécédent par la fonction $f$ du vecteur $\lambda x + \mu y.$

Ainsi les vecteurs $\lambda g(x) + \mu g(y)$ et $g(\lambda x + \mu y)$ sont deux antécédents par $f$ du vecteur $\lambda x + \mu y.$ Par unicité de l’antécédent, il s’ensuit que :

Concluez

La bijection réciproque d’une application linéaire est elle-même linéaire. Avec le vocabulaire des espaces vectoriels, cela se reformule ainsi : la bijection réciproque d’un isomorphisme est aussi un isomorphisme.