Soient $\K$ un corps et $f$ un endomorphisme d’un $\K$-espace vectoriel noté $E$. Soit $\lambda\in\K$ un scalaire.
Notez :
F=\mathrm{Im} (f-\lambda\mathrm{Id}) = \{f(x)-\lambda x, x\in E\}.Vous allez démontrer que $F$ est stable par $f.$
Ce résultat est si important dans la trigonalisation ou la jordanisation d’un endomorphisme que vous en trouverez deux démonstrations.
Première démonstration
Soit $y\in F.$
Par définition de $F$, il existe $x\in E$ tel que :
y=f(x)-\lambda x.
L’application $f$ étant linéaire, il vient :
\begin{align*}
f(y) &= f(f(x)-\lambda x)\\
&=f(f(x))-\lambda f(x).
\end{align*}
Posez $z = f(x).$
Comme $f$ est un endomorphisme de $E$, il vient $f(x)\in E$ et $z\in E.$
Comme :
f(y) = f(z)-\lambda z
vous déduisez que $f(y)\in F.$
Ainsi :
\boxed{\forall y\in F, f(y)\in F.}Seconde démonstration
Soit $y\in F.$
Il s’agit de montrer que $f(y)$ est encore dans $F$.
Vous remarquez bien entendu que le vecteur $f(y)-\lambda y$ appartient à $F$ puisque $y\in E.$
Comme $F$ est l’image de l’endomorphisme $f-\lambda \mathrm{Id}$, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E.$
Comme $y\in F$, vous déduisez $\lambda y \in F.$
Par somme, vous déduisez $(f(y)-\lambda y) + \lambda y \in F$ et donc $f(y)\in F.$
Ainsi :
\boxed{\forall y\in F, f(y)\in F.}Partagez !
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