École AVOSZ

278. Un espace utile stable par un endomorphisme

2 mai 2023

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soient $\K$ un corps et $f$ un endomorphisme d’un $\K$-espace vectoriel noté $E.$ Soit $\lambda\in\K$ un scalaire.

Notez :

F=\mathrm{Im} (f-\lambda\mathrm{Id}) = \{f(x)-\lambda x, x\in E\}.

Vous allez démontrer que $F$ est stable par $f.$

Ce résultat est si important dans la trigonalisation ou la jordanisation d’un endomorphisme que vous en trouverez deux démonstrations.

Soit $y\in F.$

Par définition de $F\comma$ il existe $x\in E$ tel que :

y=f(x)-\lambda x.

L’application $f$ étant linéaire, il vient :

\begin{align*} f(y) &= f(f(x)-\lambda x)\\ &=f(f(x))-\lambda f(x). \end{align*}

Posez $z = f(x).$

Comme $f$ est un endomorphisme de $E\comma$ il vient $f(x)\in E$ et $z\in E.$

Comme :

f(y) = f(z)-\lambda z

vous déduisez que $f(y)\in F.$

Ainsi :

\boxed{\forall y\in F, f(y)\in F.}

Soit $y\in F.$

Il s’agit de montrer que $f(y)$ est encore dans $F.$

Vous remarquez bien entendu que le vecteur $f(y)-\lambda y$ appartient à $F$ puisque $y\in E.$

Comme $F$ est l’image de l’endomorphisme $f-\lambda \mathrm{Id}\comma$ $F$ est un sous-espace vectoriel de $E.$

Comme $y\in F\comma$ vous déduisez $\lambda y \in F.$

Par somme, vous déduisez $(f(y)-\lambda y) + \lambda y \in F$ et donc $f(y)\in F.$

Ainsi :

\boxed{\forall y\in F, f(y)\in F.}