Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n.$
Note. Dans cet article, le théorème du rang ainsi que les résultats éventuels sur la dualité ne seront volontairement pas utilisés.
Démontrez qu’un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle
Vous fixez dans ce paragraphe un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n-1$ qui sera noté $H.$ Un tel sous-espace est nommé hyperplan de $E.$
Notez $(e_1, \dots, e_{n-1})$ une base de $H$ et complétez la en rajoutant un vecteur $e_n$ de $E$ tel que $(e_1,\dots, e_{n-1}, e_n)$ soit une base de $E.$
Une application linéaire étant déterminée par ses images sur une base, vous notez $\varphi$ l’unique forme linéaire de $E$ qui vérifie :
\left\{\begin{array}{l}
\forall i\in \llbracket 1, n-1 \rrbracket, \varphi(e_i)=0\\
\varphi(e_n)=1.
\end{array}\right.La forme linéaire $\varphi$ est non nulle puisque $\varphi(e_n) \neq 0.$
Soit maintenant $x$ un vecteur de $H.$
Comme $H$ est engendré par la famille de vecteurs $(e_1,\dots,e_{n-1})$ vous déduisez qu’il existe $(\lambda_1,\dots, \lambda_{n-1})\in\K^{n-1}$ tel que :
x = \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i e_i.Par linéarité de $\varphi$ :
\begin{align*}
\varphi(x) &= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i \varphi(e_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i \times 0\\
&=0.
\end{align*}Ainsi $H$ est inclus dans le noyau de $\varphi.$
Soit maintenant $x$ un vecteur de $E$ tel que $x\in \ker \varphi.$
Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1},\lambda_n)\in \K^n$ tel que :
x = \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i e_i + \lambda_n e_nD’autre part, $\varphi(x) = 0.$
Ainsi, en appliquant $\varphi$ vous déduisez :
\begin{align*}
\varphi(x) & = \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i \varphi(e_i) + \lambda_n \varphi(e_n) \\
0 &= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i \times 0 + \lambda_n \times 1 \\
0 &= \lambda_n.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
x &= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i e_i + 0\times e_n\\
&= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i e_i.
\end{align*}
Ainsi :
\begin{array}{l}
x\in\mathrm{Vect}(e_1,\dots, e_{n-1})\\
x\in H.
\end{array} Vous déduisez l’égalité :
\boxed{H = \ker \varphi.}Démontrez qu’une forme linéaire est proportionnelle à une autre quand le noyau de la seconde est inclus dans le noyau de la première
Soient $\psi$ et $\varphi$ deux formes linéaires quelconques de $E$ telles que $\ker \varphi \subset \ker \psi.$
Cas où $\varphi = 0$
Si la forme linéaire $\varphi$ est entièrement nulle, alors $\ker \varphi = E$ et l’inclusion $\ker \varphi \subset \ker \psi$ fournit $\ker \psi = E$ et donc $\psi = 0.$ Ainsi $\varphi = \psi$ et les deux formes linéaires $\psi$ et $\varphi$ sont bien proportionnelles.
Cas où $\varphi \neq 0$
Supposez maintenant que $\varphi \neq 0.$ Il existe un vecteur $e_n$ tel que $\varphi(e_n) \neq 0.$ Notez $H = \ker \varphi.$
Démontrez que $E = H\oplus \mathrm{Vect}(e_n).$
Soit $x$ un vecteur de $E.$
Comme $\varphi(x)\in\K$ vous avez :
\varphi(x) = \frac{\varphi(x)}{\varphi(e_n)} \times \varphi(e_n)Posez $t = \frac{\varphi(x)}{\varphi(e_n)}.$ Alors :
\begin{align*}
\varphi(x) &= t \times \varphi(e_n) \\
\varphi(x)&= \varphi(t e_n) \\
\varphi(x) - \varphi(t e_n) &= 0\\
\varphi(x-te_n)&=0\\
x-te_n \in H.
\end{align*}
Comme :
x= (x-te_n)+te_n
il apparaît que $x\in H + \mathrm{Vect}(e_n).$
Donc
E = H+\mathrm{Vect}(e_n).Soit maintenant $x\in H\cap \mathrm{Vect}(e_n).$
D’une part, il existe $t\in\K$ tel que $x = te_n$ et d’autre part $\varphi(x) = 0.$
Ainsi $t\varphi(e_n) = 0.$ Or $\varphi(e_n)\neq 0$ donc $t = 0$ et par suite $x=0.$
Donc
H\cap \mathrm{Vect}(e_n) = \{0\}.Ainsi :
\boxed{E = H \oplus \mathrm{Vect}(e_n).}Démontrez que la forme $\psi$ est un multiple de $\varphi$
Le vecteur $e_n$ ne peut être nul, sinon $\varphi(e_n)$ serait nul aussi, ce qui est absurde. Donc $\dim \mathrm{Vect(e_n)}=1.$
Comme :
\dim E = \dim H + \dim \mathrm{Vect}(e_n)vous déduisez que :
\dim H = n-1.
Donc $H$ est un hyperplan de $E.$ Il existe donc $(e_1,\dots, e_{n-1})\in E^{n-1}$ tel que $H$ admette la famille $(e_1,\dots, e_{n-1})$ comme base.
L’égalité $E = H \oplus \mathrm{Vect}(e_n)$ fournit alors le résultat suivant : $(e_1,\dots, e_{n-1}, e_n)$ est une base de $E.$
Les formes linéaires $\psi$ et $\varphi$ s’annulent simultanément lorsqu’elles sont restreintes à $H.$
Via un scalaire $t$ bien choisi, vous allez montrer que $\psi$ et $t \varphi$ coïncident sur $E$ tout entier.
Pour cela intéressez-vous encore au vecteur $e_n.$ Comme $\psi(e_n)\in \K$ il suffit de poser $t = \frac{\psi(e_n)}{\varphi(e_n)}.$
Tout d’abord :
\begin{align*}
(t\varphi)(e_n) &= t\times \varphi(e_n)\\
&=\frac{\psi(e_n)}{\varphi(e_n)} \times \varphi(e_n)\\
&=\psi(e_n).
\end{align*}Soit maintenant $x\in E.$
Il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\in\K^n$ tel que :
x = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i e_i.D’une part :
\begin{align*}
(t\varphi)(x) &= t\times \varphi(x)\\
&=t \times \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi(e_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n} (t\lambda_i) \varphi(e_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n-1} (t\lambda_i) \varphi(e_i) + t\lambda_n \varphi(e_n) \\
&= \sum_{i=1}^{n-1} (t\lambda_i) \times 0 + \lambda_n \times (t\varphi)(e_n) \\
&= \lambda_n \psi(e_n).
\end{align*}D’autre part :
\begin{align*}
\psi(x) &= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \psi(e_i)\\
&= \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \psi (e_i) + \lambda_n \psi(e_n) \\
&= \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \times 0 + \lambda_n \psi(e_n) \\
&= \lambda_n \psi(e_n)\\
&=(t\varphi)(x).
\end{align*}Concluez
Si $\varphi$ et $\psi$ sont deux formes linéaires telles que $\ker \varphi \subset \ker \psi$, alors la forme linéaire $\psi$ est un multiple de la forme linéaire $\varphi.$
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