Dans $\R^3$ vous posez :
\left\{\begin{align*}
\alpha_1 &= (1,0,1)\\
\alpha_2 &= (0,1,-2)\\
\alpha_3 &= (-1,-1,0).
\end{align*}\right.Exprimez les vecteurs de la base canonique de $\R^3$ en fonction des vecteurs $\alpha_1$ $\alpha_2$ et $\alpha_3.$
Vous adoptez les notations suivantes pour les vecteurs de la base canonique de $\R^3$ :
\left\{\begin{align*}
\e_1 &= (1,0,0)\\
\e_2 &= (0,1,0)\\
\e_3 &= (0,0,1).
\end{align*}\right.Votre objectif est de triangulariser le système suivant :
\left\{\begin{array}{llll}
\alpha_1 &= &\hphantom{-}e_1&&+\hphantom{-}e_3\\
\alpha_2 &= & &\hphantom{-}e_2&-2e_3\\
\alpha_3 &= &-e_1&-e_2&\\
\end{array}\right.\left\{\begin{array}{llll}
\alpha_1 &= &\hphantom{-}e_1&&+\hphantom{-}e_3\\
\alpha_2 &= & &\hphantom{-}e_2&-2e_3\\
\alpha_1 + \alpha_3 &= &&-e_2&+\hphantom{-}e_3\\
\end{array}\right.\left\{\begin{array}{llll}
\alpha_1 &= &\hphantom{-}e_1&&+\hphantom{-}e_3\\
\alpha_2 &= & &\hphantom{-}e_2&-2e_3\\
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 &= &&&-\hphantom{-}e_3\\
\end{array}\right.Puis par remontée vous obtenez :
\left\{\begin{array}{llll}
e_3 &= &-\alpha_1&-\hphantom{2}\alpha_2&-\alpha_3\\
e_2 &= &\hphantom{-}\alpha_2&+2e_3\\
e_1 &= &\hphantom{-}\alpha_1&-\hphantom{-}e_3
\end{array}\right.\left\{\begin{array}{llll}
e_3 &= &-\alpha_1&-\hphantom{2}\alpha_2-\alpha_3\\
e_2 &= &\hphantom{-}\alpha_2&+2(-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)\\
e_1 &= &\hphantom{-}\alpha_1&-(-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)
\end{array}\right.\left\{\begin{array}{llll}
e_3 &= &-\hphantom{2}\alpha_1&-\alpha_2&-\hphantom{2}\alpha_3\\
e_2 &= &-2\alpha_1&-\alpha_2&-2\alpha_3\\
e_1 &= &\hphantom{-}2\alpha_1&+\alpha_2&+\hphantom{2}\alpha_3.
\end{array}\right.Vous allez maintenant pouvoir déterminer les expressions de certaines formes linéaires vérifiant des conditions sur les vecteurs $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3.$
Exemple : déterminez une forme linéaire $f$ telle que $f(\alpha_1) = 1$, $f(\alpha_2) = -1$ et $f(\alpha_3) = 3$
Analyse. Supposez qu’il existe une forme linéaire $f$ telle que $f(\alpha_1) = 1$, $f(\alpha_2) = -1$ et $f(\alpha_3) = 3.$
Soit $(x,y,z)$ un vecteur de $\R^3.$ Vous obtenez :
\begin{align*}
f(x,y,z) &= f(xe_1+ye_2+ze_3)\\
&=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)\\
&=xf(2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)+yf(-2\alpha_1-\alpha_2-2\alpha_3)+zf(-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)\\
&=x(2f(\alpha_1)+f(\alpha_2)+f(\alpha_3))\\
&\qquad +y(-2f(\alpha_1)-f(\alpha_2)-2f(\alpha_3))\\
&\qquad +z(-f(\alpha_1)-f(\alpha_2)-f(\alpha_3))\\
&=x(2+(-1)+3)+y(-2-(-1)-6)+z(-1-(-1)-3)\\
&=4x-7y-3z.
\end{align*}Synthèse. Quel que soit $(x,y,z)\in\R^3$ vous posez $f(x,y,z)=4x-7y-3z.$ Alors :
\begin{align*}
f(\alpha_1) &= f(1,0,1)\\
&=4\times 1 - 7\times 0 - 3\times 1\\
&=4-0-3\\
&=1.
\end{align*}De même :
\begin{align*}
f(\alpha_2) &= f(0,1,-2)\\
&=4\times 0 - 7\times 1 - 3\times (-2)\\
&=0-7+6\\
&=-1.
\end{align*}Enfin :
\begin{align*}
f(\alpha_3) &= f(-1,-1,0)\\
&=4\times (-1) - 7\times (-1) - 3\times 0\\
&=-4+7-0\\
&=3.
\end{align*}La forme linéaire $f$ convient.
Conclusion. Il existe une et une seule forme linéaire $f$ définie sur $\R^3$ telle que $f(\alpha_1) = 1$, $f(\alpha_2) = -1$ et $f(\alpha_3) = 3.$ Elle est définie par :
\boxed{\forall (x,y,z)\in\R^3, f(x,y,z)=4x-7y-3z.}Partagez !
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