292. Inversez la matrice de Hilbert d’ordre 4

L’utilisation des blocs matriciels va vous permettre d’inverser cette matrice.

La méthode explicitée dans le contenu rédigé dans l'article 291 va être reconduite.

Pour rappel, la matrice de Hilbert d’ordre $3$ est définie par :

H_3 = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}.

La matrice $H_3$ est inversible et son inverse est égale à :

H_3^{-1} = \begin{pmatrix} 9 & -36 & 30\\ -36 & 192 & -180\\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix}.

Ecrivez la matrice de Hilbert d’ordre $4$

Par définition, la matrice de Hilbert d’ordre $4$ est définie par :

H_4 = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{pmatrix}.

Vous constatez que celle-ci fait apparaître la matrice $H_3$ dans une écriture par blocs puisque :

H_4 = \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \hline \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{array} \end{pmatrix}.

Vous posez donc :

\left\{ \begin{align*} C = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}\\ \frac{1}{6}\\ \end{pmatrix} \\ a = \frac{1}{7}. \end{align*} \right.

Ainsi :

H_4 = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} H_3 & C\\ \hline {}^{t}C & a \end{array} \end{pmatrix}.

Déterminez la matrice candidate pour inverser la matrice de Hilbert d’ordre $4$

Tout d’abord, suivant les notations utilisées dans l'article 291, vous calculez :

\begin{align*} H_3^{-1}C &= \begin{pmatrix} 9 & -36 & 30\\ -36 & 192 & -180\\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}\\ \frac{1}{6}\\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 9\\ -36\\ 30\\ \end{pmatrix} + \frac{1}{5}\begin{pmatrix} -36\\ 192\\ -180\\ \end{pmatrix} + \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 30\\ -180\\ 180\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 9/4\\ -9\\ 15/2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -36/5\\ 192/5\\ -36\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\ -30\\ 30\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 45/20\\ -45/5\\ 15/2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -144/20\\ 192/5\\ -72/2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 100/20\\ -150/5\\ 60/2\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1/20\\ -3/5\\ 3/2\\ \end{pmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} u &= a - {}^{t}CH_3^{-1}C\\ &= \frac{1}{7}-\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/20\\ -3/5\\ 3/2\\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{7}-\frac{1}{80}+\frac{3}{25}-\frac{1}{4}. \end{align*}

Pour ajouter toutes ces fractions, il est possible de calculer le PPCM des quatre dénominateurs. Comme :

\begin{align*} 80 &= 8\times 10\\ &= 16\times 5\\ &=2^4\times 5 \end{align*}

vous déduisez :

\begin{align*} \mathrm{PPCM}(7, 80, 25, 4) &= 2^4\times 5^2\times 7 \\ &= 80\times 35\\ &= 40 \times 70\\ &=2800. \end{align*}

Vous obtenez :

\begin{align*} u &=\frac{400}{2800}-\frac{35}{2800}+\frac{336}{2800}-\frac{700}{2800}\\ &= \frac{1}{2800} .\end{align*}

Ainsi :

\boxed{b = \frac{1}{u} = 2800.}

Vous poursuivez avec :

\begin{align*} D &= -b H_3^{-1}C\\ &=-2800\begin{pmatrix} 1/20\\ -3/5\\ 3/2\\ \end{pmatrix}. \end{align*}

Vous déduisez :

\boxed{D = \begin{pmatrix} -140\\ 1680\\ - 4200\\ \end{pmatrix}.}

Enfin, vous calculez ce qui suit :

\begin{align*} K &= H_3^{-1} - (H_3^{-1}C){}^{t}D \\ &= H_3^{-1}- \begin{pmatrix} 1/20\\ -3/5\\ 3/2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -140 & 1680 & -4200 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 9 & -36 & 30\\ -36 & 192 & -180\\ 30 & -180 & 180 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 7 & -84 & 210 \\ - 84 & 1008 & -2520\\ 210 & -2520 & 6300 \end{pmatrix}. \end{align*}

D’où :

\boxed{K= \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240\\ -120 & 1200&-2700\\ 240 & -2700 & 6480 \end{pmatrix}.}

La matrice candidate pour inverser $H_4$ est :

L = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} K & D\\ \hline {}^{t}D & b \end{array} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240 & -140\\ -120 & 1200&-2700 & 1680\\ 240 & -2700 & 6480 & -4200\\ -140 & 1680 & -4200 & 2800 \end{pmatrix}.

Vérifiez que la matrice candidate convient

Calculez la première colonne du produit $H_4L$ :

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16\\ -120\\ 240\\ -140 \end{pmatrix} &=16\begin{pmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4} \end{pmatrix} -120\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} +240\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}\\ \frac{1}{6} \end{pmatrix} -140\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{7} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 16\\ 8\\ 16/3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -60\\ -40\\ -30\\ -24 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 80\\ 60\\ 48\\ 40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -35\\ -28\\ -70/3\\ -20 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -54/3+18\\ 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Calculez la deuxième colonne du produit $H_4L$ :

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -120\\1200\\-2700\\1680 \end{pmatrix} &=-120\begin{pmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4} \end{pmatrix} +1200\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5} \end{pmatrix} -2700\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6} \end{pmatrix} +1680\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6}\\\frac{1}{7} \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} -120\\ -60 \\-40 \\-30 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 600\\400\\300\\240 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -900\\-675\\-540\\-450 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 420\\336\\280\\240 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Calculez la troisième colonne du produit $H_4L$ :

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 240\\-2700\\6480\\-4200 \end{pmatrix} &= 240\begin{pmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4} \end{pmatrix} -2700\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5} \end{pmatrix} +6480\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6} \end{pmatrix} -4200\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6}\\\frac{1}{7} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 240\\120\\80\\60 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1350\\-900\\-675\\-540 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2160\\ 1620\\1296\\1080 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1050\\-840\\-700\\-600 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

Calculez la quatrième colonne du produit $H_4L$ :

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5}& \frac{1}{6}& \frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -140\\1680\\-4200\\2800 \end{pmatrix} &= -140\begin{pmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4} \end{pmatrix} +1680\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5} \end{pmatrix} -4200\begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6} \end{pmatrix} +2800\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\\\frac{1}{6}\\\frac{1}{7} \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} -140\\-70\\-140/3\\-35 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 840\\560\\420\\336 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -1400\\-1050\\-840\\-700 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 700\\560\\1400/3\\400 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1260/3-420\\ 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Concluez

D’après les calculs effectués, si vous notez $I_4$ la matrice identité d’ordre $4$ :

H_4L = I_4.

En transposant cette égalité, vous obtenez :

{}^{t}L{}^{t}H_4 = I_4.

Or, les matrices $L$ et $H_4$ sont symétriques donc ${}^{t}L = L$ et ${}^{t}H_4 = H_4$ d’où finalement :

H_4L = LH_4 = I_4.

Ce résultat montre que la matrice $H_4$ est inversible et que son inverse est la matrice $L.$

En définitive :

\boxed{H_4^{-1} = \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240 & -140\\ -120 & 1200&-2700 & 1680\\ 240 & -2700 & 6480 & -4200\\ -140 & 1680 & -4200 & 2800 \end{pmatrix}.}

Prolongement

Il rappelé que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, la matrice de Hilbert d’ordre $n$ est la matrice réelle carrée notée $H_n$ qui est définie par :

\forall (i,j)\in\llbracket1, n\rrbracket, (H_n)_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}.

Pourriez-vous démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, la matrice $H_n$ est inversible et que son inverse $H_n^{-1}$ est à coefficients entiers ?

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