297. Existence et unicité de la racine carrée entière et du reste d’un entier naturel (1/3)

Soit $a$ un nombre entier naturel. L’objectif de ce contenu est de démontrer qu’il existe un unique couple $(b,r)$ avec $b\in\N$ et $r\in\llbracket 0, 2b\rrbracket$ tel que :

a = b^2+r.

L’entier $b$ est appelé racine carrée entière de $a$ et l’entier $r$ est appelé le reste.

Preuve de l’existence

Vous considérez l’ensemble $A$ défini par :

A=\{k\in\NN, k^2 \gt a\}.

Montrez que cet ensemble est non vide

Subdivisez cette question en trois cas.

Cas n°1. Si $a=0$ vous posez $k=1$ et remarquez que $k^2\gt a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.

Cas n°2. De même, si $a=1\comma$ vous posez $k=2.$ Alors $k^2\gt a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.

Cas n°3. Si $a\geq 2$ vous posez $k=a$ et remarquez que :

\begin{align*} k^2-a &= a^2-a\\ &=a(a-1). \end{align*}

Comme $a\geq 2\comma$ vous avez $a\in\NN$ et $a-1\geq 1\comma$ puis par produit $a(a-1)\geq 2\comma$ donc $a(a-1)\gt0.$ Par suite, $k^2\gt a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.

Il vient d’être vu que l’ensemble $A$ est non vide, comme annoncé.

Déduisez-en l’existence

L’ensemble $A$ étant une partie de $\N$ non vide, il admet un plus petit élément, qui sera noté $B.$

Comme $B\in A$ vous avez $B \geq 1.$

Dans la suite, vous posez $b = B-1.$ Il convient de remarquer que $B\in\N$ et que $B\geq 1$ donc $b\in \N.$

Comme $B\in A$ vous déduisez $B^2\gt a$ donc $(b+1)^2\gt a.$ En développant, et comme il s’agit d’entiers, vous déduisez :

\begin{align*} a&\lt b^2+2b+1\\ a&\leq b^2+2b\\ a-b^2&\leq 2b. \end{align*}

D’autre part, vous montrez que $b^2\leq a.$ Si $b = 0\comma$ c’est immédiat puisque $a$ est un entier naturel. Si $b\geq 1\comma$ alors $b\in\NN$ et $b\lt B.$ Comme $B$ est le minimum de $A\comma$ vous avez $b\notin A\comma$ ce qui signifie que $b^2\leq a.$

Vous déduisez que :

0\leq a-b^2\leq2b.

Concluez

Vous posez :

\boxed{ \begin{align*} B &= \min \{k\in\NN, k^2\gt a\}\\ b &= B-1\\ r &=a-b^2. \end{align*} }

Alors :

\left\{\begin{align*} a &= b^2+r\\ b&\in\N\\ r&\in\llbracket 0, 2b\rrbracket. \end{align*} \right.

Preuve de l’unicité

Supposez qu’il existe un couple $(b’,r’)$ tel que :

\left\{\begin{align*} a &= b'^2+r'\\ b'&\in\N\\ r'&\in\llbracket 0, 2b'\rrbracket. \end{align*} \right.

D’une part, vous remarquez que $r\lt 2b+1$ donc :

\begin{align*} a&\lt b^2+(2b+1)\\ a &\lt (b+1)^2. \end{align*}

Comme $a = b’^2+r’$ avec $r’$ positif, vous déduisez :

a\geq b'^2.

Mis bout à bout, il vient :

\begin{align*} &b'^2\leq a \lt (b+1)^2\\ &b'^2\lt(b+1)^2\\ &0\lt (b+1)^2-b'^2\\ &0\lt (b+1+b')(b+1-b'). \end{align*}

Comme $b$ et $b’$ sont positifs, vous déduisez que $b+b’\geq 0$ et donc $b+b’+1$ est strictement positif. Du coup :

\begin{align*} &0 \lt b+1-b'\\ &b'\lt b+1\\ &b' \leq b. \end{align*}

D’autre part, vous partez de l’inégalité $r’\lt 2b’+1$ donc :

\begin{align*} a&\lt b'^2+(2b'+1)\\ a &\lt (b'+1)^2. \end{align*}

Comme $a = b^2+r$ avec $r$ positif, vous déduisez :

a\geq b^2.

Du coup, les nombres $b$ et $b’+1$ étant positifs, et la fonction carré étant strictement croissante sur $[0,+\infty[\comma$ il vient :

\begin{align*} &b^2\leq a \lt (b'+1)^2\\ &b^2\lt (b'+1)^2\\ &b \lt b'+1\\ &b\leq b'. \end{align*}

Ainsi :

b=b'.

Ensuite :

\begin{align*} r &= a-b^2\\ &=a-b'^2\\ &=r'. \end{align*}

L’unicité est ainsi démontrée.

Exemple

Considérez le cas où $a = 180.$

Il s’agit de trouver le minimum de l’ensemble $A =\{k\in\NN, k^2\gt 180\}.$

Vous testez successivement :

\begin{array}{|c|c|} \hline k & k^ 2\\ \hline 1 & 1\\ 2 & 4\\ 3 & 9\\ 4 & 16\\ 5 & 25\\ 6 & 36\\ 7 & 49\\ 8 & 64\\ 9 & 81\\ 10 & 100\\ 11 & 121\\ 12 & 144\\ 13 & 169 \\ 14 & 196\\ \hline \end{array}

Vous constatez que :

\forall k\in\llbracket1, 13\rrbracket, k\notin A.

Comme $14\in A$ vous déduisez que :

\min A = 14.

Ainsi $b = 14-1 = 13.$

Ensuite :

\begin{align*} r &= 180-13^2\\ &=180-169\\ &=11. \end{align*}

Vous remarquez que vous avez bien $r\in\llbracket 0, 26\rrbracket$ soit $0\leq r\leq 2b.$

En conclusion, le nombre $180$ a pour racine carrée entière $13$ et pour reste $11.$

\left\{\begin{align*} 180 &= 13^2+11\\ 11&\in\llbracket 0, 26\rrbracket. \end{align*} \right.

Prolongement

L’approche qui a été utilisée pour trouver la racine carrée entière de $180$ est assez calculatoire : tous les carrés des nombres allant de $1$ à $14$ ont été déterminés afin d’en déduire le minimum de l’ensemble $A$ et donc $b.$

Une approche utilisant des nombres impairs et des soustractions permet de déterminer le reste $r$ ainsi que $b.$ Elle est traitée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 298.