Soit $a$ un nombre entier naturel. L’objectif de cet article est de démontrer qu’il existe un unique couple $(b,r)$ avec $b\in\N$ et $r\in\llbracket 0, 2b\rrbracket$ tel que :
a = b^2+r.
Preuve de l’existence
Vous considérez l’ensemble $A$ défini par :
A=\{k\in\NN, k^2 >a\}.Montrez que cet ensemble est non vide
Subdivisez cette question en trois cas.
Cas n°1. Si $a=0$ vous posez $k=1$ et remarquez que $k^2>a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.
Cas n°2. De même, si $a=1$, vous posez $k=2.$ Alors $k^2>a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.
Cas n°3. Si $a\geq 2$ vous posez $k=a$ et remarquez que :
\begin{align*}
k^2-a &= a^2-a\\
&=a(a-1).
\end{align*}Comme $a\geq 2$, $a\in\NN$ et vous obtenez $a-1\geq 1$ et par produit $a(a-1)\geq 2$ donc $a(a-1)>0.$ Par suite, $k^2>a$ donc $k\in A$ et $A$ est non vide.
Il vient d’être vu que l’ensemble $A$ est non vide, comme annoncé.
Déduisez-en l’existence
L’ensemble $A$ étant une partie de $\N$ non vide, il admet un plus petit élément, qui sera noté $B.$
Comme $B\in A$ vous avez $B \geq 1.$
Dans la suite, vous posez $b = B-1.$ Il convient de remarquer que $B\in\N$ et que $B\geq 1$ donc $b\in \N.$
Comme $B\in A$ vous déduisez $B^2>a$ donc $(b+1)^2>a.$ En développant vous déduisez :
\begin{align*}
a&< b^2+2b+1\\
a&\leq b^2+2b\\
a-b^2&\leq 2b.
\end{align*}
Or, $B-1<B$ et $B$ est le minimum de $A.$ Donc $B-1\notin A$ donc $b\notin A.$ Or $b\in\N$ donc $b^2\leq a.$
Vous déduisez que :
0\leq a-b^2\leq2b.
Concluez
Vous posez :
\boxed{
\begin{align*}
B &= \mathrm{Min} \{k\in\NN, k^2>a\}\\
b &= B-1\\
r &=a-b^2.
\end{align*}
}Alors :
\left\{\begin{align*}
a &= b^2+r\\
b&\in\N\\
r&\in\llbracket 0, 2b\rrbracket.
\end{align*}
\right.Preuve de l’unicité
Supposez qu’il existe un couple $(b’,r’)$ tel que :
\left\{\begin{align*}
a &= b'^2+r'\\
b'&\in\N\\
r'&\in\llbracket 0, 2b'\rrbracket.
\end{align*}
\right.D’une part, vous remarquez que $r< 2b+1$ donc :
\begin{align*}
a< b^2+(2b+1)\\
a < (b+1)^2.
\end{align*}Comme $a = b’^2+r’$ avec $r’$ positif, vous déduisez :
a\geq b'^2.
Mis bout à bout, il vient :
\begin{align*}
b'^2\leq a < (b+1)^2\\
b'^2<(b+1)^2\\
0< (b+1)^2-b'^2\\
0< (b+1+b')(b+1-b').
\end{align*}
Comme $b$ et $b’$ sont positifs, vous déduisez que $b+b’\geq 0$ et donc $b+b’+1$ est strictement positif. Du coup :
\begin{align*}
0 < b+1-b'\\
b'< b+1\\
b' \leq b.
\end{align*}D’autre part, vous partez de l’inégalité $r'< 2b’+1$ donc :
\begin{align*}
a< b'^2+(2b'+1)\\
a < (b'+1)^2.
\end{align*}Comme $a = b^2+r$ avec $r$ positif, vous déduisez :
a\geq b^2.
Du coup :
\begin{align*}
b^2\leq a < (b'+1)^2\\
b^2< (b'+1)^2\\
b < b'+1\\
b\leq b'.
\end{align*}Ainsi :
b=b'.
Ensuite :
\begin{align*}
r &= a-b^2\\
&=a-b'^2\\
&=r'.
\end{align*}
L’unicité est ainsi démontrée.
Exemple
Considérez le cas où $a = 180.$
Il s’agit de trouver le minimum de l’ensemble $A =\{k\in\NN, k^2> 180\}.$
Vous testez successivement :
\begin{array}{|c|c|}
\hline
k & k^ 2\\ \hline
1 & 1\\
2 & 4\\
3 & 9\\
4 & 16\\
5 & 25\\
6 & 36\\
7 & 49\\
8 & 64\\
9 & 81\\
10 & 100\\
11 & 121\\
12 & 144\\
13 & 169 \\
14 & 196\\ \hline
\end{array}Vous constatez que :
\forall k\in\llbracket1, 13\rrbracket, k\notin A.
Comme $14\in A$ vous déduisez que :
\mathrm{Min} A = 14.Ainsi $b = 14-1 = 13.$
Ensuite :
\begin{align*}
r &= 180-13^2\\
&=180-169\\
&=11.
\end{align*}
Vous remarquez que vous avez bien $r\in\llbracket 0, 26\rrbracket$ soit $0\leq r\leq 2b.$
Conclusion : $180$ a pour racine carrée entière $13$ et a pour reste $11.$
\left\{\begin{align*}
180 &= 13^2+11\\
11&\in\llbracket 0, 26\rrbracket.
\end{align*}
\right.Prolongement
L’approche qui a été utilisée pour trouver la racine carrée entière de $180$ est assez calculatoire : tous les carrés des nombres allant de $1$ à $14$ ont été déterminés afin d’en déduire le minimum de l’ensemble $A$ et donc $b.$
Une approche utilisant des nombres impairs et des soustractions permettra de déterminer le reste $r$ ainsi que $b.$ Cela est traité dans le contenu rédigé dans l'article 298.
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