Cet article constitue le prolongement du contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »297″ desc= »dans l’article 297″].

Soit $a$ un entier naturel. Alors il existe un unique entier naturel $b$ et un unique entier positif $r$ inférieur ou égal à $2b$, tels que :

\boxed{a=b^2+r.}

Exemple avec le nombre $180$

Vous allez constater que les identités remarquables font apparaître des nombres impairs consécutifs.

En effet, partez de :

180 = 0^2 + 180.

Vous posez $u_0 = 180$ de sorte que :

180 = 0^2+u_0.

Vous cherchez à faire apparaître $1^2.$

\begin{align*}
180 &= 1^2  + u_0 + 0^2 -1^2\\
&=1^2+u_0+(0-1)(0+1)\\
&=1^2 +u_0-1.
\end{align*}

Vous posez donc $u_1 = u_0-1$, de sorte que :

180 = 1^2 + u_1.

Comme $u_1 \notin \llbracket 0, 2\rrbracket$ vous déduisez que $u_1$ n’est pas le reste de la racine carrée entière de $180.$

Vous poursuivez.

\begin{align*}
180 &=1^2 + u_1\\
&=2^2+u_1+1^2-2^2\\
&=2^2+u_1+(1-2)(1+2)\\
&=2^2+u_1-3.
\end{align*}

Vous posez $u_2 = u_1-3$ pour obtenir :

180 = 2^2+u_2.

Le calcul de $u_2$ fournit :

\begin{align*}
u_2 &= u_1-3\\
&= u_0-1-3\\
&= 180-1-3\\
&=176.
\end{align*}

Comme $u_2 \notin \llbracket 0, 4\rrbracket$ vous déduisez que $u_2$ n’est pas le reste de la racine carrée entière de $180.$

Vous poursuivez.

\begin{align*}
180  &=2^2+u_2\\
&= 3^2+u_2+2^2-3^2\\
&=3^2+u_2+(2-3)(2+3)\\
&=3^2+u_2-5
\end{align*}

En posant $u_3 = u_2-5$ vous avez obtenu :

180 = 3^2+u_3.

Compte tenu de ce qui précède, une idée consiste à définir la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ de la façon suivante. Vous posez $u_0=180$ et pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = u_n - (2n+1).

Alors il semblerait que, pour tout entier naturel $n$, $180 = n^2+u_n.$

Cas général

Soit $a$ un entier naturel fixé.

Vous définissez une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ en posant $u_0=a$ et pour tout entier naturel $n$ :

\boxed{u_{n+1} = u_n - (2n+1).}

Pour tout entier naturel $n$, vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $a = n^2+u_n$ ».

Initialisation. Puisque :

\begin{align*}
0^2+u_0 &= 0+a\\
&=a
\end{align*}

vous déduisez que $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $\mathscr{P}(n)$ soit vérifiée.

Alors :

\begin{align*}
a &= n^2+u_n\\
&=(n+1)^2+u_n+n^2-(n+1)^2\\
&=(n+1)^2+u_n+(n-n-1)(n+n+1)\\
&=(n+1)^2+u_n-(2n+1)\\
&=(n+1)^2+u_{n+1}.
\end{align*}

Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Conclusion. Il a été établi par récurrence que :

\boxed{\forall n\in\N, a = n^2+u_n.}

Changement de signe de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$

Soit $n$ un entier naturel.

\begin{align*}
u_{n+1}-u_n = -(2n+1).
\end{align*}

Comme $2n+1 \geq 1$ vous déduisez que $u_{n+1}-u_n$ est strictement négatif.

La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est strictement décroissante.

D’une part, $u_0 = a$ donc $u_0\geq 0.$

Le premier terme de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est positif.

Supposez, en raisonnant par l’absurde, que, pour tout entier $n\geq 1$ vous ayez $u_n\geq 0.$

L’ensemble

A = \{u_n, n\in\NN\}

est non vide puisqu’il contient $u_1.$

A cause de l’hypothèse, $(u_n)_{n\geq 1}$ est une suite d’entiers positifs.

Donc $A$ est une partie de $\N$ non vide. Notez $m$ le minimum de $A.$

Comme $m\in A$ il existe $n\in\NN$ tel que $m = u_n.$

Comme $n+1\in\NN$ vous déduisez $u_{n+1}\in A.$ Par définition du minimum de $A$, $u_{n+1}\geq m.$

Vous déduisez qu’il existe un entier $n$ tel que $u_{n+1}\geq u_n.$ Or cela est impossible puisque $u_{n+1}< u_n$ par stricte décroissance de la suite $(u_n)_{n\geq 1}.$

Vous déduisez donc qu’il existe un entier $p$ non nul tel que $u_p < 0.$

Par conséquent, l’ensemble

B=\{n\in\N, u_n<0\}

est non vide.

Comme $B\subset \N$ vous déduisez que $B$ admet un plus petit élément qui sera noté $q.$

\boxed{q = \mathrm{Min}\{n\in\N, u_n< 0\}.}

Vous avez $q\in B$ et vous déduisez $u_q<0.$ Comme $u_0$ est positif, cela impose $q\neq 0$ donc $q\geq 1.$

Du coup $q-1\in\N.$ Il est impossible d’avoir $q-1\in B$ puisque $q$ est le minimum de $B.$ Donc $u_{q-1}\geq 0.$

Ainsi, il existe un entier naturel $q$ non nul tel que :

\boxed{\begin{align*}
u_q &< 0\\
u_{q-1}&\geq0.
\end{align*}
}

Démontrez que $q-1$ est la racine carrée entière de $a$

Tout d’abord :

a = (q-1)^2+u_{q-1}

Il est déjà acquis que $u_{q-1}$ est positif ou nul.

Il reste à comprendre pourquoi $u_{q-1}$ serait inférieur ou égal à $2q-2.$

Supposez le contraire en raisonnant par l’absurde, de sorte que :

u_{q-1} >2q-2.

Alors :

u_{q-1}\geq 2q-1.

Du coup, par soustraction :

u_{q-1}-(2q-1)\geq 0.

Or, la relation de récurrence qui définit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ fournit :

u_{q} = u_{q-1} - (2q-1).

Donc $u_q\geq 0$, ce qui contredit l’inégalité $u_q<0.$

Ainsi, vous avez démontré que :

\left\{
\begin{align*}
a &= (q-1)^2+u_{q-1}\\
q-1&\in\llbracket 0, 2q-2\rrbracket.
\end{align*}
\right.

D’après le contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »297″ desc= »dans l’article 297″] l’unicité de la racine carrée entière et du reste associés permettent de conclure :

\boxed{
\begin{align*}
b &= q-1\\
r &= u_{q-1}.
\end{align*}
}

Concluez

Pour tout entier naturel $a$, il existe un unique couple $(b,r)$ avec $b\in\N$ et $r\in\llbracket 0, 2b\rrbracket$ tel que :

a = b^2+r.

La suite définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n-(2n+1)$ finit par avoir des termes strictement négatifs à partir d’un certain rang. Soit $q$ ce rang. Alors :

\boxed{
\begin{align*}
b &= q-1\\
r &= u_{q-1}.
\end{align*}
}

Illustration avec le reste et la racine carrée entière de $180$

Vous posez $u_0 = 180$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n-(2n+1).$

Vous calculez les termes de la suite précitée jusqu’à obtenir un nombre strictement négatif.

\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & u_n\\
\hline
0 & 180\\
1 & 180-1 = 179\\
2 & 179-3 = 176\\
3 & 176-5 = 171\\
4 & 171-7 = 164\\
5 & 164-9 = 155\\
6 & 155-11 = 144\\
7 & 144-13 = 131\\
8 & 131-15 = 116\\
9 & 116-17 = 99\\
10 & 99-19 = 80\\
11 & 80-21 = 59\\
12 & 59-23 = 36\\
13 & 36-25 = 11\\
14 & 11-27 = -16.\\
\hline
\end{array}

Il apparaît que $q = 14$ donc $b = 13$ et $r = u_{13} = 11$ et donc :

\begin{align*}
180 &= 13^2+11\\
11&\in\llbracket 0, 26\rrbracket.
\end{align*}

Remarque. A la ligne où $n=k$ la soustraction avec le nombre impair $2k-1$ est effectuée. A la ligne $n=k$, la soustraction qui apparaît à la ligne suivante est effectuée avec le nombre impair $2k+1.$
Le dernier nombre impair qui est soustrait n’est autre que $27.$ Ainsi, vous savez que $b = \frac{27-1}{2} = 13$ et que le reste $r$ est le résultat de l’avant-dernière soustraction.

Illustration avec le reste et la racine carrée entière de $212$

Dans cette section, vous allez juste soustraire les nombres impairs consécutifs jusqu’à la première obtention d’un nombre strictement négatif. Cela évitera de compter le nombre de soustractions effectuées pour trouver $b.$

\begin{array}{ll}
212&\\
212-1&=211\\
211-3&=208\\
208-5&=203\\
203-7&=196\\
196-9&=187\\
187-11&=176\\
176-13&=163\\
163-15&=148\\
148-17&=131\\
131-19&=112\\
112-21&=91\\
91-23&=68\\
68-25&=43\\
43-27&=16\\
16-29 &=-13.
\end{array}

Le dernier nombre impair utilisé est $29$ donc la racine carrée entière de $212$ est :

b = \frac{29-1}{2} = 14.

Le reste est $16$, c’est le résultat de l’avant-dernière soustraction, de sorte qu’au final :

212 = 14^2+16\\
16\in\llbracket 0, 28\rrbracket.

Prolongement

L’ avantage de cette méthode : la racine carrée entière ainsi que le reste associé d’un entier naturel sont calculables uniquement avec des entiers et des soustractions et ce, sans avoir à deviner au préalable la valeur du résultat.

L’inconvénient : le nombre de soustractions à effectuer est assez long. Afin d’éviter ce phénomène, un découpage du nombre de départ $a$ peut être effectué par paquets de deux chiffres afin d’accélérer le processus. Cela est traité dans le contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »299″ desc= »dans l’article 299″].