298. Existence et unicité de la racine carrée entière et du reste d’un entier naturel (2/3)

Ce contenu constitue le prolongement d’un autre article, consacré à l’existence et à l’unicité de la racine carrée entière.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 297.

Pour rappel, soit $a$ un entier naturel. Alors il existe un unique entier naturel $b$ et un unique entier naturel $r$ inférieur ou égal à $2b\comma$ tels que :

\boxed{a=b^2+r.}

L’entier $b$ est appelé racine carrée entière de $a$ et l’entier $r$ est le reste associé. L’objectif est ici de calculer ces deux nombres uniquement à l’aide de soustractions.

Exemple avec le nombre $180$

Vous allez constater que les identités remarquables font apparaître des nombres impairs consécutifs.

En effet, partez de :

180 = 0^2 + 180.

Vous posez $u_0 = 180$ de sorte que :

180 = 0^2+u_0.

Vous cherchez à faire apparaître $1^2$ en utilisant l’identité $x^2-y^2 = (x-y)(x+y).$

\begin{align*} 180 &= 1^2 + u_0 + 0^2 -1^2\\ &=1^2+u_0+(0-1)(0+1)\\ &=1^2 +u_0-1. \end{align*}

Vous posez donc $u_1 = u_0-1\comma$ de sorte que :

180 = 1^2 + u_1.

Comme $u_1 \notin \llbracket 0, 2\rrbracket$ vous déduisez que $u_1$ n’est pas le reste de la racine carrée entière de $180.$

Vous poursuivez.

\begin{align*} 180 &=1^2 + u_1\\ &=2^2+u_1+1^2-2^2\\ &=2^2+u_1+(1-2)(1+2)\\ &=2^2+u_1-3. \end{align*}

Vous posez $u_2 = u_1-3$ pour obtenir :

180 = 2^2+u_2.

Le calcul de $u_2$ fournit :

\begin{align*} u_2 &= u_1-3\\ &= u_0-1-3\\ &= 180-1-3\\ &=176. \end{align*}

Comme $u_2 \notin \llbracket 0, 4\rrbracket$ vous déduisez que $u_2$ n’est pas le reste de la racine carrée entière de $180.$

Vous poursuivez.

\begin{align*} 180 &=2^2+u_2\\ &= 3^2+u_2+2^2-3^2\\ &=3^2+u_2+(2-3)(2+3)\\ &=3^2+u_2-5. \end{align*}

En posant $u_3 = u_2-5$ vous avez obtenu :

180 = 3^2+u_3.

Compte tenu de ce qui précède, une idée consiste à définir la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ de la façon suivante. Vous posez $u_0=180$ et, pour tout entier naturel $n\comma$ vous définissez :

u_{n+1} = u_n – (2n+1).

Alors il semblerait que l’égalité $180 = n^2+u_n$ soit vérifiée pour tout entier naturel $n.$

Cas général

Soit $a$ un entier naturel fixé.

Vous définissez une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ en posant $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n\comma$ la relation suivante :

\boxed{u_{n+1} = u_n – (2n+1).}

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $a = n^2+u_n$ ».

Initialisation. Puisque :

\begin{align*} 0^2+u_0 &= 0+a\\ &=a \end{align*}

vous déduisez que $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $\mathscr{P}(n)$ soit vérifiée.

Alors :

\begin{align*} a &= n^2+u_n\\ &=(n+1)^2+u_n+n^2-(n+1)^2\\ &=(n+1)^2+u_n+(n-n-1)(n+n+1)\\ &=(n+1)^2+u_n-(2n+1)\\ &=(n+1)^2+u_{n+1}. \end{align*}

Ainsi $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Conclusion. Il a été établi par récurrence que :

\boxed{\forall n\in\N, a = n^2+u_n.}

Changement de signe de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$

Soit $n$ un entier naturel. Vous avez :

u_{n+1}-u_n = -(2n+1).

Comme $2n+1 \geq 1$ vous déduisez que $u_{n+1}-u_n$ est strictement négatif.

La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est strictement décroissante.

D’une part, $u_0 = a$ donc $u_0\geq 0.$ Le premier terme de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est positif.

Supposez, en raisonnant par l’absurde, que vous ayez $u_n\geq 0$ pour tout entier $n\geq 1.$

L’ensemble

A = \{u_n, n\in\NN\}

est non vide puisqu’il contient $u_1.$

À cause de l’hypothèse, $(u_n)_{n\geq 1}$ est une suite d’entiers positifs.

Donc $A$ est une partie de $\N$ non vide. Notez $m$ le minimum de $A.$

Comme $m\in A$ il existe $n\in\NN$ tel que $m = u_n.$

Comme $n+1\in\NN$ vous déduisez $u_{n+1}\in A.$ Par définition du minimum de $A\comma$ vous avez $u_{n+1}\geq m.$

Vous déduisez qu’il existe un entier $n$ tel que $u_{n+1}\geq u_n.$ Or cela est impossible puisque $u_{n+1}\lt u_n$ par stricte décroissance de la suite $(u_n)_{n\geq 1}.$

Vous déduisez donc qu’il existe un entier $p$ non nul tel que $u_p \lt 0.$

Par conséquent, l’ensemble

B=\{n\in\N, u_n\lt0\}

est non vide.

Comme $B\subset \N$ vous déduisez que $B$ admet un plus petit élément qui sera noté $q.$

\boxed{q = \min\{n\in\N, u_n\lt 0\}.}

Vous avez $q\in B$ et vous déduisez $u_q\lt0.$ Comme $u_0$ est positif, cela impose $q\neq 0$ donc $q\geq 1.$

Du coup $q-1\in\N.$ Il est impossible d’avoir $q-1\in B$ puisque $q$ est le minimum de $B.$ Donc $u_{q-1}\geq 0.$

Ainsi, il existe un entier naturel $q$ non nul tel que :

\boxed{\begin{align*} u_q &\lt 0\\ u_{q-1}&\geq0. \end{align*} }

Démontrez que $q-1$ est la racine carrée entière de $a$

Tout d’abord :

a = (q-1)^2+u_{q-1}.

Il est déjà acquis que $u_{q-1}$ est positif ou nul.

Il reste à comprendre pourquoi $u_{q-1}$ est inférieur ou égal à $2(q-1) = 2q-2.$

Supposez le contraire en raisonnant par l’absurde, de sorte que :

u_{q-1} \gt2q-2.

Comme il s’agit d’entiers, il vient :

u_{q-1}\geq 2q-1.

Du coup, par soustraction, vous obtenez :

u_{q-1}-(2q-1)\geq 0.

Or, la relation de récurrence qui définit la suite $(u_n)_{n\geq 0}\comma$ appliquée au rang $q-1\comma$ fournit :

u_{q} = u_{q-1} – (2q-1).

Donc $u_q\geq 0\comma$ ce qui contredit l’inégalité $u_q\lt0.$

Ainsi, vous avez démontré que :

\left\{ \begin{align*} a &= (q-1)^2+u_{q-1}\\ u_{q-1}&\in\llbracket 0, 2(q-1)\rrbracket. \end{align*} \right.

D’après l’article cité en introduction, l’unicité de la racine carrée entière et du reste associé permet de conclure :

\boxed{ \begin{align*} b &= q-1\\ r &= u_{q-1}. \end{align*} }

Concluez

Pour tout entier naturel $a\comma$ il existe un unique couple $(b,r)$ avec $b\in\N$ et $r\in\llbracket 0, 2b\rrbracket$ tel que :

a = b^2+r.

La suite définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n\comma$ $u_{n+1} = u_n-(2n+1)$ finit par avoir des termes strictement négatifs. Soit $q$ le plus petit rang tel que $u_q\lt0.$ Alors :

\boxed{ \begin{align*} b &= q-1\\ r &= u_{q-1}. \end{align*} }

Illustration avec le reste et la racine carrée entière de $180$

Vous posez $u_0 = 180$ et $u_{n+1} = u_n-(2n+1)$ pour tout entier naturel $n.$

Vous calculez les termes de la suite précitée jusqu’à obtenir un nombre strictement négatif.

\begin{array}{|c|c|} \hline n & u_n\\ \hline 0 & 180\\ 1 & 180-1 = 179\\ 2 & 179-3 = 176\\ 3 & 176-5 = 171\\ 4 & 171-7 = 164\\ 5 & 164-9 = 155\\ 6 & 155-11 = 144\\ 7 & 144-13 = 131\\ 8 & 131-15 = 116\\ 9 & 116-17 = 99\\ 10 & 99-19 = 80\\ 11 & 80-21 = 59\\ 12 & 59-23 = 36\\ 13 & 36-25 = 11\\ 14 & 11-27 = -16.\\ \hline \end{array}

Il apparaît que $q = 14$ donc $b = 13$ et $r = u_{13} = 11$ et donc :

\begin{align*} 180 &= 13^2+11\\ 11&\in\llbracket 0, 26\rrbracket. \end{align*}

Remarque. À la ligne où $n=k\comma$ c’est le nombre impair $2k-1$ qui est soustrait. Le dernier nombre impair soustrait, celui qui fait apparaître le premier terme strictement négatif, est donc $2q-1.$ Ici, il vaut $27\comma$ ce qui donne $q = 14$ et $b = q-1 = \frac{27-1}{2} = 13.$ Le reste $r$ est le résultat de l’avant-dernière soustraction.

Illustration avec le reste et la racine carrée entière de $212$

Dans cette section, vous allez juste soustraire les nombres impairs consécutifs jusqu’à obtenir pour la première fois un nombre strictement négatif. Cela évitera de compter le nombre de soustractions effectuées pour trouver $b.$

\begin{array}{ll} 212&\\ 212-1&=211\\ 211-3&=208\\ 208-5&=203\\ 203-7&=196\\ 196-9&=187\\ 187-11&=176\\ 176-13&=163\\ 163-15&=148\\ 148-17&=131\\ 131-19&=112\\ 112-21&=91\\ 91-23&=68\\ 68-25&=43\\ 43-27&=16\\ 16-29 &=-13. \end{array}

Le dernier nombre impair utilisé est $29$ donc la racine carrée entière de $212$ est :

b = \frac{29-1}{2} = 14.

Le reste est $16\comma$ c’est le résultat de l’avant-dernière soustraction, de sorte qu’au final :

\begin{align*} 212 &= 14^2+16\\ 16&\in\llbracket 0, 28\rrbracket. \end{align*}

Prolongement

L’avantage de cette méthode : la racine carrée entière ainsi que le reste associé d’un entier naturel sont calculables uniquement avec des entiers et des soustractions et ce, sans avoir à deviner au préalable la valeur du résultat.

L’inconvénient : le nombre de soustractions à effectuer est assez élevé. Afin d’éviter ce phénomène, le nombre de départ $a$ peut être découpé en paquets de deux chiffres, ce qui accélère le processus. Cette méthode est traitée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 299.