Dans la suite du contenu rédigé dans l'article 306 vous vous intéressez à déterminer, pour un exemple détaillé, si le nombre $499\ 358$ est divisible par le nombre premier $19.$
Un premier nombre magique
Vous allez chercher un nombre magique de $19$ qui soit de taille convenable.
Essayez d’en trouver un qui finit par la séquence de chiffres $0\cdots 01.$ Vous commencez par construire un multiple de $19$ qui finit par $1.$
19\times 9 = 171.
Vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui finit par $3$ :
19\times 7 = 133.
Par somme :
\begin{align*}
19\times 79 &= 19\times 7\times 10 + 19\times 9\\
&=1330 + 171\\
&=1501.
\end{align*}Vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui finit par $5$ :
19\times 5 = 95.
Par somme :
\begin{align*}
19\times 579 &= 19\times 5\times 100 + 19\times 79\\
&=9500+1501\\
&=11001.
\end{align*}Vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui finit par $9$ :
19\times 1 = 19.
Par somme :
\begin{align*}
19\times 1579 &= 19\times 1\times 1000 + 19\times 579\\
&=19000+11001\\
&=30001.
\end{align*}Ainsi, $30\ 001$ est un nombre magique de $19.$
Passez au test de divisibilité de $499\ 358$ par $19$
Le nombre magique $30\ 001$ va permettre d’éliminer le chiffre $8$ termine le nombre $499\ 358$. Vous procédez comme suit :
\begin{align*}
499\ 358 - 8\times 30\ 001 &=499\ 358 - 8\times 30\ 000 -8\\
&= 499\ 350-240\ 000\\
&=25\ 935 \times 10.
\end{align*}Vous testez maintenant la divisibilité du nombre $25\ 935$ par $19.$ Sa proximité avec $30\ 001$ amène à calculer la différence :
\begin{align*}
30\ 001 - 25\ 935 &=29\ 999-25\ 935 + 2\\
&=4\ 064+2\\
&=4\ 066.
\end{align*}Testez la divisibilité de $4\ 066$ par $19$
Le nombre magique $30\ 001$ n’est plus utile à ce stade étant donné qu’il est trop grand. Pour en chercher un autre, vous pouvez construire ceux qui finiront par une séquence de $9.$
Comme :
19\times 1 = 19
vous continuez en prenant :
19\times 2 = 38.
Par somme, il vient :
\begin{align*}
19\times 21 &= 19\times 2\times 10 + 19\times 1\\
&=380+19\\
&=399.
\end{align*}Ainsi, $399$ est un nombre magique de $19.$
Vous allez éliminer le chiffre $6$ qui termine le nombre $4066$ comme suit :
\begin{align*}
4066 + 6\times 399 &= 4066+6\times 400 - 6\\
&=4060+2400\\
&=646\times 10.
\end{align*}Compte tenu de la proximité de $646$ avec $399$ vous calculez la différence :
\begin{align*}
646 -399 &= 646-400+1\\
&=247.
\end{align*}A ce stade il reste à utiliser $19$ qui est un nombre magique de $19$ :
\begin{align*}
247 + 7\times 19 &= 247+7\times 20 -7\\
&=240+140\\
&=38\times 10.
\end{align*}Comme $38 = 2\times 19$ vous déduisez que :
- $247$ est un multiple de $19$ ;
- $646$ est un multiple de $19$ ;
- $4066$ est un multiple de $19$ ;
- $25\ 935$ est un multiple de $19.$
Concluez
Finalement, $499\ 358$ est un multiple de $19.$
Pour aller plus loin, avec une autre approche
Il a été vu que le nombre $11\ 001$ est un multiple de $19$ au sein de cet article. Ce nombre se révèle excellent pour tester la divisibilité de $499\ 358$ par $19.$ En effet :
\begin{align*}
499\ 358 - 358\times 11001 &=499\ 358 - 358\times 11\ 000 - 358\\
&=499\ 000-3938\ 000\\
&=-1000(3938-499)\\
&=-1000(3938-500+1)\\
&=-1000\times 3439.
\end{align*}Vous êtes passé d’un nombre de $6$ chiffres à un nombre de $4$ chiffres.
Vous retranchez $19$ à $3439$ :
\begin{align*}
3439-19 &= 3420\\
&=342\times 10.
\end{align*}Comme $399$ est un nombre magique de $19$, vous calculez ensuite :
\begin{align*}
399-342 &= 57.
\end{align*}Comme $19\times 3 = 57$ vous déduisez bien que $499\ 358$ est un multiple de $19.$
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