307. Critères de divisibilité (2/2)

Dans le prolongement d’un autre article, vous cherchez à déterminer, sur un exemple détaillé, si le nombre $499\ 358$ est divisible par le nombre premier $19.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 306.

Pour rappel, un nombre magique de $19$ est un multiple de $19$ qui se termine par le chiffre $1$ ou par le chiffre $9.$ Il permet d’éliminer le dernier chiffre d’un nombre en lui ajoutant ou en lui retranchant un multiple de $19.$ Le nombre obtenu se termine alors par un zéro. Comme le nombre premier $19$ ne divise pas $10\comma$ il suffit de tester la divisibilité du nombre obtenu après suppression de ce zéro.

Un premier nombre magique

Vous allez chercher un nombre magique de $19$ qui soit de taille convenable.

Essayez d’en trouver un qui se termine par la séquence de chiffres $0\cdots 01.$ Vous commencez par construire un multiple de $19$ qui se termine par $1.$

19\times 9 = 171.

Pour annuler le chiffre des dizaines, vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui se termine par $3\comma$ ce qui donne :

19\times 7 = 133.

Par somme :

\begin{align*} 19\times 79 &= 19\times 7\times 10 + 19\times 9\\ &=1330 + 171\\ &=1501. \end{align*}

Pour annuler le chiffre des centaines, vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui se termine par $5\comma$ ce qui donne :

19\times 5 = 95.

Par somme :

\begin{align*} 19\times 579 &= 19\times 5\times 100 + 19\times 79\\ &=9500+1501\\ &=11001. \end{align*}

Pour annuler le chiffre des milliers, vous prenez ensuite un multiple de $19$ qui se termine par $9\comma$ ce qui donne :

19\times 1 = 19.

Par somme :

\begin{align*} 19\times 1579 &= 19\times 1\times 1000 + 19\times 579\\ &=19000+11001\\ &=30001. \end{align*}

Ainsi, $30\ 001$ est un nombre magique de $19.$

Passez au test de divisibilité de $499\ 358$ par $19$

Le nombre magique $30\ 001$ va permettre d’éliminer le chiffre $8$ qui termine le nombre $499\ 358.$ Vous procédez comme suit :

\begin{align*} 499\ 358 – 8\times 30\ 001 &=499\ 358 – 8\times 30\ 000 -8\\ &= 499\ 350-240\ 000\\ &=25\ 935 \times 10. \end{align*}

Ainsi, $499\ 358$ est un multiple de $19$ si et seulement si $25\ 935\times 10$ en est un, c’est-à-dire si et seulement si $25\ 935$ en est un.

Vous testez maintenant la divisibilité du nombre $25\ 935$ par $19.$ Sa proximité avec $30\ 001$ amène à calculer la différence suivante :

\begin{align*} 30\ 001 – 25\ 935 &=29\ 999-25\ 935 + 2\\ &=4\ 064+2\\ &=4\ 066. \end{align*}

Le nombre $30\ 001$ étant un multiple de $19\comma$ le nombre $25\ 935$ est un multiple de $19$ si et seulement si $4\ 066$ en est un.

Testez la divisibilité de $4\ 066$ par $19$

Le nombre magique $30\ 001$ n’est plus utile à ce stade étant donné qu’il est trop grand. Pour en chercher un autre, vous pouvez construire ceux qui se terminent par une séquence de $9.$

Comme :

19\times 1 = 19

vous continuez en prenant :

19\times 2 = 38.

Par somme, il vient :

\begin{align*} 19\times 21 &= 19\times 2\times 10 + 19\times 1\\ &=380+19\\ &=399. \end{align*}

Ainsi, $399$ est un nombre magique de $19.$

Vous allez éliminer le chiffre $6$ qui termine le nombre $4\ 066$ comme suit :

\begin{align*} 4\ 066 + 6\times 399 &= 4\ 066+6\times 400 – 6\\ &=4\ 060+2\ 400\\ &=646\times 10. \end{align*}

Ainsi, $4\ 066$ est un multiple de $19$ si et seulement si $646$ en est un.

Compte tenu de la proximité de $646$ avec $399$ vous calculez la différence suivante :

\begin{align*} 646 -399 &= 646-400+1\\ &=247. \end{align*}

À ce stade, il reste à utiliser le nombre magique $19$ lui-même :

\begin{align*} 247 + 7\times 19 &= 247+7\times 20 -7\\ &=240+140\\ &=38\times 10. \end{align*}

Comme $38 = 2\times 19\comma$ en remontant les étapes précédentes, vous déduisez successivement que les nombres $247\comma$ $646\comma$ $4\ 066$ et $25\ 935$ sont des multiples de $19.$

Concluez

Finalement, $499\ 358$ est un multiple de $19.$ Plus précisément, vous avez $499\ 358 = 19\times 26\ 282.$

Pour aller plus loin, avec une autre approche

Il a été vu dans ce contenu que le nombre $11\ 001$ est un multiple de $19.$ Ce nombre se révèle excellent pour tester la divisibilité de $499\ 358$ par $19.$ En effet :

\begin{align*} 499\ 358 – 358\times 11\ 001 &=499\ 358 – 358\times 11\ 000 – 358\\ &=499\ 000-3\ 938\ 000\\ &=-1\ 000(3\ 938-499)\\ &=-1\ 000(3\ 938-500+1)\\ &=-1\ 000\times 3\ 439. \end{align*}

Vous êtes passé d’un nombre de $6$ chiffres à un nombre de $4$ chiffres, puisque $19$ ne divise pas $1\ 000.$

Vous retranchez $19$ au nombre $3\ 439$ comme suit :

\begin{align*} 3\ 439-19 &= 3\ 420\\ &=342\times 10. \end{align*}

Comme $399$ est un nombre magique de $19\comma$ vous calculez ensuite :

399-342 = 57.

Comme $19\times 3 = 57$ vous déduisez bien que $499\ 358$ est un multiple de $19.$