École AVOSZ

306. Critères de divisibilité (1/2)

2 octobre 2023

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans ce contenu, vous cherchez des stratégies pour savoir, sans calculatrice, si un nombre est divisible par certains nombres premiers.

L’outil utilisé est celui des nombres magiques. Pour un nombre premier $p$ donné, un nombre magique de $p$ est un multiple de $p$ dont l’écriture décimale est particulièrement simple, comme $999\comma$ $1\ 001$ ou $901.$ En ajoutant ou en retranchant au nombre étudié un multiple bien choisi d’un nombre magique, vous obtenez un nombre qui se termine par un ou plusieurs zéros. Comme les nombres premiers étudiés ici ne divisent ni $2$ ni $5\comma$ vous pouvez alors supprimer ces zéros sans changer la question de la divisibilité par $p.$

Testez la divisibilité du nombre $301\ 994$ par $37$

Vous cherchez d’abord un nombre magique qui soit divisible par $37.$

Comme :

37\times 3 = 111

vous déduisez, après multiplication par $9\comma$ l’égalité suivante :

37\times 27 = 999.

Comme $994\times 999$ est un multiple de $37\comma$ vous effectuez l’opération suivante, qui élimine les trois derniers chiffres :

\begin{align*} 301\ 994 + 994 \times 999&= 301\ 994 + 994\times 1\ 000 – 994 \\ &= 301\ 000+994\ 000\\ &= 1\ 295\ 000\\ &= 1\ 295\times 1\ 000. \end{align*}

Ainsi, $301\ 994$ est divisible par $37$ si et seulement si $1\ 295$ l’est. Vous poursuivez :

\begin{align*} 1\ 295 – 999 &= 1\ 295-1\ 000+1\\ &=296. \end{align*}

Puis :

\begin{align*} 296-2\times 111 &= 296-222\\ &=74\\ &=2\times 37. \end{align*}

En remontant les étapes, les nombres $296$ puis $1\ 295$ sont divisibles par $37.$

En définitive, $301\ 994$ est divisible par $37.$ Plus précisément, vous avez $301\ 994 = 37\times 8\ 162.$

Testez la divisibilité du nombre $651\ 742$ par $13$

Il s’agit de construire un nombre magique pour $13.$

Vous multipliez d’abord $13$ par $7$ et obtenez :

13\times 7 = 91.

Du coup :

13\times 70 = 910.

Par somme, il vient :

13\times 77 = 1\ 001.

Maintenant vous décomposez le nombre $651\ 742$ comme suit :

\begin{align*} 651\ 742 &= 651\times 1\ 000 + 742\\ &= 651\times 1\ 001 + 742 – 651\\ &=651\times 1\ 001 + 91\\ &=651\times 1\ 001+13\times 7. \end{align*}

Vous déduisez que $651\ 742$ est la somme de deux multiples de $13.$

En définitive, $651\ 742$ est divisible par $13.$ Plus précisément, vous avez $651\ 742 = 13\times 50\ 134.$

Testez la divisibilité du nombre $33\ 031$ par $17$

Vous commencez par :

17\times 3 = 51.

Puis :

17\times 5 = 85.

Vous multipliez par $10$ et vous obtenez :

17\times 50 = 850.

Par somme avec $17\times 3 = 51\comma$ il vient :

17\times 53 = 901.

Le nombre $901$ se termine par $01.$ Vous éliminez les chiffres des unités et des dizaines de $33\ 031$ par soustraction :

\begin{align*} 33\ 031 – 31\times 901 &= 33\ 000 + 31 – 31\times 901\\ &=33\ 000-31\times 900\\ &=330\times 100 – 279\times 100\\ &=51 \times 100. \end{align*}

Comme $51$ est un multiple de $17$ vous déduisez que $33\ 031$ est un multiple de $17.$ Plus précisément, vous avez $33\ 031 = 17\times 1\ 943.$

Un exemple plus détaillé, avec le nombre premier $19\comma$ est traité dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 307.