Dans cet article, vous allez démontrer que le théorème de Gauss directement, sans utiliser le théorème de Bézout, dont vous trouverez une démonstration directe dans le contenu rédigé dans l'article 308.
Le théorème de Gauss énonce que, quels que soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs, $a$ étant non nul :
\left\{\begin{array}{l}
a\mid bc\\
\mathrm{PGCD}(a,b)=1
\end{array}
\right. \implies a \mid c.Pour effectuer une démonstration directe, vous fixez trois entiers relatifs $a$, $b$ et $c$, avec $a\neq 0$ tels que :
\left\{\begin{array}{l}
a\mid bc\\
\mathrm{PGCD}(a,b)=1.
\end{array}
\right.Introduisez une partie de l’ensemble des entiers naturels
Soit $A$ la partie de $\N$ définie par :
A=\{n\in\NN, a\mid nc\}.Si $a$ est positif, alors $a>0$ et par suite :
\left\{\begin{array}{l}
a\mid ac\\
a\in\NN.
\end{array}
\right.
Vous en déduisez que $a\in A.$
Si $a$ est négatif vous posez $a’ = -a$ et $a’ >0.$ Il vient :
\left\{\begin{array}{l}
a\mid a' \mid a'c\\
a'\in\NN.
\end{array}
\right.
Donc $a’\in A.$
L’ensemble $A$ est non vide dans tous les cas. Comme $A\subset \N$, l’ensemble $A$ admet un plus petit élément que vous notez $m.$ L’entier $m$ vérifie les deux propriétés suivantes :
\boxed{\left\{\begin{array}{l}
a\mid mc\\
m\in\NN.
\end{array}
\right.}Démontrez que $m$ divise $a$
Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $a$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q$ et un entier $r\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :
a = mq+r.
Supposez que $r$ soit non nul.
Vous multipliez l’égalité précédente par $c$ :
ac = mcq+rc.
Comme :
\left\{\begin{array}{l}
a\mid ac\\
a\mid mc \mid mcq
\end{array}
\right.vous déduisez que :
a\mid rc.
Or, $r\in\NN$ donc $r\in A$, donc $r\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A$. Cela contredit l’inégalité $r\leq m-1.$
Donc $r=0$ et par suite $a=mq.$ Du coup :
\boxed{m\mid a.}Démontrez que $m$ divise $b$
Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $b$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q’$ et un entier $r’\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :
b = mq'+r'.
Supposez que $r’$ soit non nul.
Vous multipliez l’égalité précédente par $c$ :
bc = mcq'+r'c.
Par hypothèse :
a\mid bc.
Or :
a\mid mc \mid mcq'.
Vous en déduisez que :
a\mid r'c.
Or, $r’\in\NN$ donc $r’\in A$ donc $r’\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A.$ Cela contredit l’inégalité $r’\leq m-1.$
Donc $r’=0$ et $b=mq’$ d’où :
\boxed{m\mid b.}Concluez
L’entier $m$ strictement positif divise $a$ et $b$ à la fois. Par définition du $\mathrm{PGCD}$ il vient $m\leq \mathrm{PGCD}(a,b)$ d’où $m\leq 1.$ Comme $m>0$, vous déduisez $m=1.$
Comme $a\mid mc$ vous avez obtenu le résultat annoncé :
\boxed{a\mid c.}Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !