École AVOSZ

Connectez-vous

310. Le théorème de Gauss démontré directement

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans ce contenu, vous allez démontrer le théorème de Gauss directement, sans utiliser le théorème de Bézout. Une démonstration directe de ce dernier se trouve dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 308.

Le théorème de Gauss énonce que, quels que soient les entiers relatifs $a\comma$ $b$ et $c\comma$ avec $a$ non nul :

\left\{\begin{array}{l} a\mid bc\\ \pgcd(a,b)=1 \end{array} \right. \implies a \mid c.

Pour effectuer une démonstration directe, vous fixez trois entiers relatifs $a\comma$ $b$ et $c\comma$ avec $a\neq 0\comma$ tels que :

\left\{\begin{array}{l} a\mid bc\\ \pgcd(a,b)=1. \end{array} \right.

Introduisez une partie de l’ensemble des entiers naturels

Soit $A$ la partie de $\N$ définie par :

A=\{n\in\NN, a\mid nc\}.

Si $a$ est strictement positif, alors :

\left\{\begin{array}{l} a\mid ac\\ a\in\NN. \end{array} \right.

Vous en déduisez que $a\in A.$

Si $a$ est strictement négatif, vous posez $a’ = -a$ de sorte que $a’ \gt0.$ Il vient :

\left\{\begin{array}{l} a\mid a' \mid a'c\\ a'\in\NN. \end{array} \right.

Donc $a’\in A.$

L’ensemble $A$ est non vide dans tous les cas. Comme $A\subset \N\comma$ l’ensemble $A$ admet un plus petit élément que vous notez $m.$ L’entier $m$ vérifie les deux propriétés suivantes :

\boxed{\left\{\begin{array}{l} a\mid mc\\ m\in\NN. \end{array} \right.}

Démontrez que $m$ divise $a$

Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $a$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q$ et un entier $r\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :

a = mq+r.

Supposez que $r$ soit non nul.

Vous multipliez l’égalité précédente par $c\comma$ ce qui donne :

ac = mcq+rc.

Comme :

\left\{\begin{array}{l} a\mid ac\\ a\mid mc \mid mcq \end{array} \right.

vous déduisez, par différence, que :

a\mid rc.

Or, $r\in\NN$ donc $r\in A\comma$ donc $r\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A.$ Cela contredit l’inégalité $r\leq m-1.$

Donc $r=0$ et par suite $a=mq.$ Du coup :

\boxed{m\mid a.}

Démontrez que $m$ divise $b$

Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $b$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q’$ et un entier $r’\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :

b = mq'+r'.

Supposez que $r’$ soit non nul.

Vous multipliez l’égalité précédente par $c\comma$ ce qui donne :

bc = mcq'+r'c.

Par hypothèse :

a\mid bc.

Or :

a\mid mc \mid mcq'.

Vous en déduisez, par différence, que :

a\mid r'c.

Or, $r’\in\NN$ donc $r’\in A$ donc $r’\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A.$ Cela contredit l’inégalité $r’\leq m-1.$

Donc $r’=0$ et $b=mq’$ d’où :

\boxed{m\mid b.}

Concluez

L’entier $m\comma$ strictement positif, divise à la fois $a$ et $b.$ Par définition du $\pgcd$ il vient $m\leq \pgcd(a,b)$ d’où $m\leq 1.$ Comme $m\gt0\comma$ vous déduisez $m=1.$

Comme $a\mid mc\comma$ c’est-à-dire $a\mid c\comma$ vous avez obtenu le résultat annoncé :

\boxed{a\mid c.}