Dans cet article, vous allez démontrer que le théorème de Gauss directement, sans utiliser le théorème de Bézout, dont vous trouverez une démonstration directe dans le contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »308″ desc= »dans l’article 308″].

Le théorème de Gauss énonce que, quels que soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs, $a$ étant non nul :

\left\{\begin{array}{l}
a\mid bc\\
\mathrm{PGCD}(a,b)=1
\end{array}
\right. \implies a \mid c.

Pour effectuer une démonstration directe, vous fixez trois entiers relatifs $a$, $b$ et $c$, avec $a\neq 0$ tels que :

\left\{\begin{array}{l}
a\mid bc\\
\mathrm{PGCD}(a,b)=1.
\end{array}
\right.

Introduisez une partie de l’ensemble des entiers naturels

Soit $A$ la partie de $\N$ définie par :

A=\{n\in\NN, a\mid nc\}.

Si $a$ est positif, alors $a>0$ et par suite :

\left\{\begin{array}{l}
a\mid ac\\
a\in\NN.
\end{array}
\right.

Vous en déduisez que $a\in A.$

Si $a$ est négatif vous posez $a’ = -a$ et $a’ >0.$ Il vient :

\left\{\begin{array}{l}
a\mid a' \mid a'c\\
a'\in\NN.
\end{array}
\right.

Donc $a’\in A.$

L’ensemble $A$ est non vide dans tous les cas. Comme $A\subset \N$, l’ensemble $A$ admet un plus petit élément que vous notez $m.$ L’entier $m$ vérifie les deux propriétés suivantes :

\boxed{\left\{\begin{array}{l}
a\mid mc\\
m\in\NN.
\end{array}
\right.}

Démontrez que $m$ divise $a$

Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $a$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q$ et un entier $r\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :

a = mq+r.

Supposez que $r$ soit non nul.

Vous multipliez l’égalité précédente par $c$ :

ac = mcq+rc.

Comme :

\left\{\begin{array}{l}
a\mid ac\\
a\mid mc \mid mcq
\end{array}
\right.

vous déduisez que :

a\mid rc.

Or, $r\in\NN$ donc $r\in A$, donc $r\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A$. Cela contredit l’inégalité $r\leq m-1.$

Donc $r=0$ et par suite $a=mq.$ Du coup :

\boxed{m\mid a.}

Démontrez que $m$ divise $b$

Comme $m\in\NN$ vous effectuez la division euclidienne de $b$ par $m.$ Il existe un entier relatif $q’$ et un entier $r’\in\llbracket 0, m-1\rrbracket$ tels que :

b = mq'+r'.

Supposez que $r’$ soit non nul.

Vous multipliez l’égalité précédente par $c$ :

bc = mcq'+r'c.

Par hypothèse :

a\mid bc.

Or :

a\mid mc \mid mcq'.

Vous en déduisez que :

a\mid r'c.

Or, $r’\in\NN$ donc $r’\in A$ donc $r’\geq m$ puisque $m$ est le plus petit élément de $A.$ Cela contredit l’inégalité $r’\leq m-1.$

Donc $r’=0$ et $b=mq’$ d’où :

\boxed{m\mid b.}

Concluez

L’entier $m$ strictement positif divise $a$ et $b$ à la fois. Par définition du $\mathrm{PGCD}$ il vient $m\leq \mathrm{PGCD}(a,b)$ d’où $m\leq 1.$ Comme $m>0$, vous déduisez $m=1.$

Comme $a\mid mc$ vous avez obtenu le résultat annoncé :

\boxed{a\mid c.}