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311. Décomposez des entiers en produits de nombres premiers

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Ce contenu présente, sans calculatrice, la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres $600\comma$ $851$ et $1449.$

Le nombre $600$

Ce nombre se terminant par deux zéros, vous utilisez deux fois la multiplication par $10.$

\begin{align*} 600 &= 6 \times 100\\ &=6\times 10\times 10. \end{align*}

Comme :

\begin{align*} 6 &= 2\times 3\\ 10 &= 2\times 5 \end{align*}

vous déduisez :

\begin{align*} 600 &= (2\times 3)\times (2\times 5)\times (2\times 5)\\ &= 2\times 3\times 2\times 5\times 2\times 5\\ &= 2\times 2 \times 2\times 3\times 5\times 5. \end{align*}

Avec les puissances vous avez :

\boxed{600 = 2^3\times 3\times 5^2.}

Le nombre $851$

Il est beaucoup plus délicat de décomposer ce nombre sans calculatrice. Il convient d’analyser la situation en cherchant à déterminer un nombre premier susceptible de diviser $851\comma$ en testant les nombres premiers dans l’ordre croissant.

  • Le nombre premier $2$ est exclu : le nombre $851$ se termine par $1$ et il est impair.
  • La somme des chiffres de $851$ est égale à $8+5+1 = 14.$ Comme $14$ n’est pas un multiple de $3\comma$ le nombre $851$ n’en est pas un non plus.
  • Comme $851$ ne se termine ni par $0$ ni par $5\comma$ il n’est pas divisible par $5.$
  • Supposez que $851$ soit divisible par $7.$ Comme $21$ est un multiple de $7\comma$ par différence, $851-21 = 830$ serait divisible par $7.$ Comme $830 = 83\times 10 = 83\times 2\times 5$ et que le nombre premier $7$ ne divise ni $2$ ni $5\comma$ vous déduisez que $7$ est un diviseur de $83.$ Le nombre $70$ est un multiple de $7.$ Par différence $83-70 = 13.$ Ainsi $13$ serait un multiple de $7$ ce qui est absurde. Donc $7$ n’est pas un diviseur de $851.$
  • La somme alternée des chiffres de $851$ en partant des unités est $1-5+8 = 4.$ Comme $4$ n’est pas un multiple de $11$ vous déduisez que $851$ n’en est pas un non plus.
  • Supposez que $851$ soit divisible par $13.$ Comme $39$ est un multiple de $13\comma$ par somme, vous déduisez que $851+39= 890$ est divisible par $13.$ Du coup, $89$ est divisible par $13.$ Donc $89-39 = 50$ est divisible par $13$ donc $5$ est divisible par $13$ ce qui est absurde. Donc $13$ n’est pas un diviseur de $851.$
  • Supposez que $851$ soit divisible par $17.$ Comme $17\times 3 = 51\comma$ par différence, vous déduisez que $851-51 = 800$ est divisible par $17\comma$ donc $8$ est divisible par $17$ ce qui est absurde. Donc $17$ n’est pas un diviseur de $851.$
  • Supposez que $851$ soit divisible par $19.$ Comme $851+19 = 860$ vous déduisez que $19$ divise $86.$ Or $19\times 4 = 76$ et par différence $19$ divise $86-76 = 10$ donc $10$ est divisible par $19$ ce qui est absurde. Donc $19$ n’est pas un diviseur de $851.$

Pour la division par $23$ vous constatez déjà que $23\times 3 = 69.$ Or :

\begin{align*} 851+69 &= 920\\ &= 92\times 10 \\ &= 23\times 4\times 10\\ &= 23\times 40. \end{align*}

Vous en déduisez que :

\begin{align*} 851 &= 23\times 40 – 69\\ &= 23\times 40 – 23\times 3\\ &= 23 \times 37. \end{align*}

Comme $37$ est un nombre premier, il n’y a pas lieu de le décomposer.

La décomposition en produit de facteurs premiers de $851$ est :

\boxed{851 = 23\times 37.}

Le nombre $1449$

La somme des chiffres de $1449$ vaut $18$ qui est un multiple de $9\comma$ donc $1449$ est un multiple de $9.$

Partez de l’égalité suivante :

\begin{align*} 144 &= 90 + 54\\ &= 9\times 10 + 9\times 6\\ &=9\times 16. \end{align*}

Vous déduisez alors :

\begin{align*} 1440 &= 9\times 160\\ 1449 &= 9\times 160 + 9\\ &= 9\times 161. \end{align*}

Il reste à s’occuper du nombre $161.$

  • Étant impair, le nombre $161$ n’est pas divisible par $2.$
  • La somme des chiffres de $161$ vaut $8$ donc $161$ n’est pas divisible par $3.$
  • Le nombre $161$ n’est pas divisible par $5$ puisqu’il ne se termine ni par $0$ ni par $5.$

Cependant :

\begin{align*} 161 &= 140 + 21\\ &= 7\times 20 + 7\times 3\\ &= 7 \times 23. \end{align*}

Les nombres $7$ et $23$ étant premiers, vous obtenez :

1449 = 9\times 7\times 23.

Comme $9 = 3^2\comma$ la décomposition en produit de facteurs premiers de $1449$ est :

\boxed{1449 = 3^2\times 7\times 23.}