Le nombre $600$
Ce nombre comportant deux zéros, vous utilisez la multiplication par $10$ deux fois.
\begin{align*}
600 &= 6 \times 100\\
&=6\times 10\times 10.
\end{align*}Comme :
\begin{align*}
6 &= 2\times 3\\
10 &= 2\times 5
\end{align*}vous déduisez :
\begin{align*}
600 &= (2\times 3)\times (2\times 5)\times (2\times 5)\\
&= 2\times 3\times 2\times 5\times 2\times 5\\
&= 2\times 2 \times 2\times 3\times 5\times 5.
\end{align*}Avec les puissances vous avez :
\boxed{600 = 2^3\times 3\times 5^2.}Le nombre $851$
Il est beaucoup plus délicat de décomposer ce nombre sans calculatrice. Il convient d’analyser la situation en cherchant à déterminer un nombre premier susceptible de diviser $851.$
- Le nombre premier $2$ est exclu : le nombre $851$ finit par $1$ et il est impair.
- La somme des chiffres de $851$ est égale à $8+5+1 = 14.$ Comme $14$ n’est pas un multiple de $3$, le nombre $851$ n’en est pas un non plus.
- Comme $851$ ne finit ni par $0$ ni par $5$, il n’est pas divisible par $5.$
- Supposez que $851$ soit divisible par $7.$ Comme $21$ est un multiple de $7$, par différence, $851-21 = 830$ serait divisible par $7.$ Comme $830 = 83\times 10 = 83\times 2\times 5$ vous déduisez que $7$ est un diviseur de $83.$ Le nombre $70$ est un multiple de $7.$ Par différence $83-70 = 13.$ Ainsi $13$ serait un multiple de $7$ ce qui est absurde. Donc $7$ n’est pas un diviseur de $851.$
- La somme alternée des chiffres de $851$ en partant des unités est $1-5+8 = 4.$ Comme $4$ n’est pas un multiple de $11$ vous déduisez que $851$ n’en est pas un non plus.
- Supposez que $851$ soit divisible par $13.$ Comme $39$ est un multiple de $13$, par somme, vous déduisez que $851+39= 890$ est divisible par $13.$ Du coup, $89$ est divisible par $13.$ Donc $89-39 = 50$ est divisible par $13$ donc $5$ est divisible par $13$ ce qui est absurde. Donc $13$ n’est pas un diviseur de $851.$
- Supposez que $851$ soit divisible par $17.$ Comme $17\times 3 = 51$ par différence, vous déduisez que $851-51 = 800$ est divisible par $17$, donc $8$ est divisible par $17$ ce qui est absurde. Donc $17$ n’est pas un diviseur de $851.$
- Supposez que $851$ soit divisible par $19.$ Comme $851+19 = 860$ vous déduisez que $19$ divise $86.$ Or $19\times 4 = 76$ et par différence $19$ divise $86-76 = 10$ donc $10$ est divisible par $19$ ce qui est absurde. Donc $19$ n’est pas un diviseur de $851.$
- Pour la division par $23$ vous constatez déjà que $23\times 3 = 69.$ Or :
\begin{align*}
851+69 &= 920\\
&= 92\times 10 \\
&= 23\times 4\times 10\\
&= 23\times 40.
\end{align*}Vous en déduisez que :
\begin{align*}
851 &= 23\times 40 - 69\\
&= 23\times 40 - 23\times 3\\
&= 23 \times 37.
\end{align*}Comme $37$ est un nombre premier, il n’y a pas lieu de le décomposer.
Une décomposition en produit de facteurs premiers de $851$ est :
\boxed{851 = 23\times 37.}Le nombre $1449$
La somme des chiffres de $1449$ vaut $18$ qui est un multiple de $9$, donc $1449$ est un multiple de $9.$
Partez de :
\begin{align*}
144 &= 90 + 54\\
&= 9\times 10 + 9\times 6\\
&=9\times 16.
\end{align*}Vous déduisez alors :
\begin{align*}
1440 &= 9\times 160\\
1449 &= 9\times 161.
\end{align*}Reste à s’occuper du nombre $161.$
- Etant impair, le nombre $161$ n’est pas divisible par $2.$
- La somme des chiffres de $161$ vaut $8$ donc $161$ n’est pas divisible par $3.$
- Le nombre $161$ n’est pas divisible par $5$ puisqu’il ne finit ni par $0$ ni par $5.$
Cependant :
\begin{align*}
161 &= 140 + 21\\
&= 7\times 20 + 7\times 3\\
&= 7 \times 23.
\end{align*}Ainsi vous obtenez :
\begin{align*}
1449 &= 9\times 7\times 23.
\end{align*}Une décomposition en produit de nombres premiers de $1449$ est :
\boxed{1449 = 3\times 3\times 7\times 23.}Partagez !
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