314. Irréductibilité d’un polynôme à coefficients entiers (1/2)

Vous allez démontrer le lemme suivant, attribué à Gauss, qui stipule que, si un polynôme non constant à coefficients entiers est réductible dans $\Q[X]\comma$ alors il est aussi réductible dans $\Z[X].$

Plus précisément, soit $P$ un polynôme non constant, de degré $n\geq 1\comma$ à coefficients entiers, réductible dans $\Q[X]\comma$ à savoir :

\exists (R,S)\in\Q[X]^2, P = RS

avec $R$ et $S$ non constants, de sorte que :

\left\{\begin{align*} &\deg R \lt \deg P\\ &\deg S \lt \deg P. \end{align*} \right.

Alors il existe un rationnel non nul $q$ tel que :

\left\{\begin{align*} qR &\in\Z[X]\\ \frac{1}{q}S&\in\Z[X]. \end{align*} \right.

En posant $R’ = qR$ et $S’ = \frac{1}{q}S$ vous avez $\deg R’ = \deg R$ et $\deg S’ = \deg S.$ Les polynômes $R’$ et $S’$ sont à coefficients entiers, $P = R’S’$ avec $\deg R’ \lt \deg P$ et $\deg S’ \lt \deg P\comma$ ce qui signifie que $P$ est réductible dans $\Z[X].$

Illustration du lemme

Posez :

\begin{align*} R &= 6 X – \frac{3}{2}\\ S &= \frac{28}{3}X+4\\ P &= RS. \end{align*}

Alors, en développant :

\begin{align*} P &= 56X^2-14X+24X-6\\ &=56X^2+10X-6. \end{align*}

D’après ce qui précède, le polynôme $P$ est réductible dans $\Q[X]$ et il est à coefficients entiers.

Or :

\begin{align*} P &= RS\\ & = \left(6 X – \frac{3}{2}\right)\left(\frac{28}{3}X+4\right)\\ & = \left[\frac{1}{2}\left(12 X – 3\right)\right]\left[\frac{1}{3}\left(28X+12\right)\right]\\ & = \left[\frac{3}{2}\left(4 X – 1\right)\right]\left[\frac{4}{3}\left(7X+3\right)\right]\\ & =\left[ \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\right] (4 X – 1)(7X+3)\\ & =2(4 X – 1)(7X+3)\\ & =(8 X – 2)(7X+3)\\ & =\left[\frac{4}{3}\left(6 X – \frac{3}{2}\right)\right]\left[\frac{3}{4}\left(\frac{28}{3}X+4\right)\right]. \end{align*}

Vous déduisez, en posant $q = \frac{4}{3}\comma$ l’égalité suivante :

\begin{align*} P &= (qR)\left(\frac{1}{q}S\right)\\ &= (8X-2)(7X+3). \end{align*}

Cela montre bien que $P$ est réductible dans $\Z[X].$

Cet exemple illustre la méthode : vous factorisez d’abord $R$ en utilisant le $\ppcm$ des dénominateurs de ses coefficients. Puis vous factorisez $12X-3\comma$ qui est à coefficients entiers, par le $\pgcd$ de tous ses coefficients. Vous effectuez le même procédé sur le polynôme $S.$ Vous obtenez à la fin deux polynômes à coefficients entiers.

Dans ce qui suit, vous allez démontrer que la méthode fonctionne dans tous les cas.

Une preuve du lemme de Gauss

Soient $R$ et $S$ deux polynômes à coefficients rationnels et non constants. Vous formez le produit $P = RS$ et vous supposez que $P\in\Z[X].$

En notant $r$ le degré du polynôme $R$ et $s$ celui du polynôme $S$ vous déduisez déjà que $r\geq 1$ et que $s\geq 1$ et qu’il existe $(a_0,a_1,\dots,a_r)\in\Z^{r+1}\comma$ $(b_0,b_1,\dots,b_r)\in (\NN)^{r+1}\comma$ $(u_0,u_1,\dots,u_s)\in\Z^{s+1}$ et $(v_0,v_1,\dots,v_s)\in (\NN)^{s+1}$ tels que :

\left\{\begin{align*} R &= \sum_{k=0}^{r}\frac{a_k}{b_k} X^k \\ S &= \sum_{\ell=0}^{s}\frac{u_{\ell}}{v_{\ell}} X^{\ell}. \end{align*} \right.

Vous posez ensuite :

\left\{ \begin{align*} b &= \ppcm(b_0,b_1,\dots, b_r) \\ v &= \ppcm(v_0,v_1,\dots, v_s). \end{align*} \right.

Alors $b\geq 1$ et $v\geq 1.$ De plus, pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous avez $\frac{b}{b_k} \in\NN.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous avez $\frac{v}{v_{\ell}} \in\NN.$

Il vient :

\left\{\begin{align*} R &=\frac{1}{b} \sum_{k=0}^{r}\frac{b\ a_k}{b_k} X^k \\ S &= \frac{1}{v} \sum_{\ell=0}^{s}\frac{v\ u_{\ell}}{v_{\ell}} X^{\ell}. \end{align*} \right.

Pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous posez $c_k = \frac{b\ a_k}{b_k} \in\Z.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous posez $w_{\ell} = \frac{v\ u_{\ell}}{v_{\ell}} \in\Z.$ Dès lors :

\left\{\begin{align*} R &=\frac{1}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k X^k \\ S &= \frac{1}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell} X^{\ell}. \end{align*} \right.

Comme $c_r/b$ et $w_s/v$ sont les coefficients dominants respectifs des polynômes $R$ et $S\comma$ ils sont non nuls, donc $c_r \neq 0$ et $w_s\neq 0.$

Vous posez ensuite :

\left\{ \begin{align*} c &= \pgcd(c_0,c_1,\dots, c_r) \\ w &= \pgcd(w_0,w_1,\dots, w_s). \end{align*} \right.

Comme $c_r\neq 0$ et $w_s\neq 0\comma$ ces $\pgcd$ sont bien définis : $c$ et $w$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $1.$

Pour tout $k\in\llbracket 0, r\rrbracket$ vous posez $c_k^{\#} = \frac{c_k}{c} \in\Z.$ De même, pour tout $\ell \in\llbracket 0, s\rrbracket$ vous posez $w_{\ell}^{\#} = \frac{w_{\ell}}{w} \in\Z.$

Notez que $c_r^{\#} = \frac{c_r}{c}$ donc $c_r^{\#} \neq 0.$ De même, $w_s^{\#} = \frac{w_s}{w}$ donc $w_s^{\#} \neq 0.$

Dès lors :

\left\{ \begin{align*} &\pgcd(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#}) =1 \\ &\pgcd(w_0^{\#},w_1^{\#},\dots, w_s^{\#}) =1. \end{align*} \right.

Les polynômes $R$ et $S$ sont enfin écrits sous la forme adéquate :

\left\{\begin{align*} R &=\frac{c}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \\ S &= \frac{w}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}. \end{align*} \right.

Par produit, il vient :

P = \frac{cw}{bv} \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right).

Il s’agit maintenant de comprendre pourquoi le rationnel $\frac{cw}{bv}$ est un nombre entier naturel non nul.

Il a été noté que les quatre nombres entiers $c\comma$ $w\comma$ $b$ et $v$ sont tous strictement positifs. Le rationnel $\frac{cw}{bv}$ est donc strictement positif.

Pour comprendre pourquoi c’est un entier, vous allez multiplier l’expression de $P$ par $bv$ pour obtenir ceci :

bvP = cw \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right).

Dans la suite, vous notez $Q$ ce polynôme, qui est à coefficients entiers.

Pour tout $m\in\llbracket 0, r+s\rrbracket$ vous posez :

d_m = \sum_{\substack{k+\ell = m \\0\leq k \leq r \\0\leq \ell \leq s }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}

de sorte qu’après développement :

\left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right) = \sum_{m=0}^{r+s} d_m X^m.

Comme :

Q = bvP = \sum_{m=0}^{r+s} (cwd_m) X^m

et comme $P$ est à coefficients entiers, vous déduisez que tous les coefficients de $Q$ sont divisibles par l’entier $bv.$

Par identification des coefficients, vous déduisez :

\forall m\in \llbracket 0, r+s \rrbracket, bv \mid cwd_m.

Notez que, par produit, $c_r^{\#} w_s^{\#} \neq 0.$ Ainsi, $d_{r+s} = c_r^{\#} w_s^{\#} \neq 0$ et par suite $cw d_{r+s} \neq 0.$

Par conséquent :

\begin{align*} &bv \mid \pgcd(cwd_0, cwd_1,\dots, cwd_{r+s}) \\ &bv \mid cw\times \pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}). \end{align*}

Démontrez que $\pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}) = 1$

C’est le point clef de la démonstration du lemme de Gauss.

Raisonnez par l’absurde et supposez que $\pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}) \geq 2.$

Il existe donc un nombre premier $p$ tel que :

p\mid \pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}).

Notez que :

\pgcd(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#}) =1.

Il est donc impossible d’avoir :

\forall k\in\llbracket 0, r\rrbracket, p\mid c_k^{\#}

sinon vous auriez :

p \mid \pgcd(c_0^{\#},c_1^{\#},\dots, c_r^{\#})

c’est-à-dire $p\mid 1\comma$ et donc $p=1\comma$ ce qui contredit le fait que $p$ est premier.

L’ensemble suivant :

\{ k\in \llbracket 0, r\rrbracket, p \nmid c_k^{\#} \}

est donc non vide.

De même, l’ensemble suivant :

\{ \ell \in \llbracket 0, s\rrbracket, p \nmid w_{\ell}^{\#} \}

est aussi non vide.

Vous posez donc :

\begin{align*} k' &=\min \{ k\in \llbracket 0, r\rrbracket, p \nmid c_k^{\#} \} \\ \ell' &=\min\{ \ell \in \llbracket 0, s\rrbracket, p \nmid w_{\ell}^{\#} \}. \end{align*}

En calculant $d_{k’+\ell’}$ il vient :

\begin{align*} d_{k'+\ell'} &= \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\0\leq k \leq r\\0\leq \ell \leq s }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#} \\ &=c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#}+ \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}. \end{align*}

Ainsi :

c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#} = d_{k'+\ell'} – \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.

Comme $p\mid \pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s})$ il vient $p \mid d_{k’+\ell’}.$

Dans la somme précédente, comme $k+\ell = k’+\ell’\comma$ la condition $k\neq k’$ équivaut à $\ell\neq\ell’$ et chaque terme vérifie soit $k\lt k’\comma$ soit $k\gt k’.$ Vous allez montrer que tous ces termes sont divisibles par $p.$

D’une part, par définition du minimum $k’\comma$ vous avez :

\forall k\in\llbracket 0, k'-1\rrbracket, p\mid c_k^{\#}.

Donc :

\forall k\in\llbracket 0, k'-1\rrbracket, \forall \ell \in\llbracket 0, s\rrbracket, p\mid c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.

Vous déduisez que :

p \mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket \\ k \lt k' \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.

D’autre part, par définition du minimum $\ell’\comma$ vous avez :

\forall \ell \in\llbracket 0, \ell'-1\rrbracket, p\mid w_{\ell}^{\#}.

Soient maintenant $k$ et $\ell$ deux entiers tels que :

\left\{ \begin{align*} & k+\ell = k'+\ell'\\ &k\in\llbracket 0, r\rrbracket\\ &k \gt k' \\ &\ell\in\llbracket 0, s\rrbracket. \end{align*} \right.

Il vient :

k-k' = \ell'-\ell.

Or $k-k’\gt0$ donc $k-k’ \geq 1$ donc $\ell’-\ell \geq 1$ donc $\ell \leq \ell’-1$ et du coup $p\mid w_{\ell}^{\#}$ et $p \mid c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.$

Vous déduisez que :

p \mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket \\ k \gt k' \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}.

En sommant les deux sommes précédentes, qui correspondent aux cas $k\lt k’$ et $k\gt k’\comma$ vous obtenez :

\left\{\begin{align*} &p\mid d_{k'+\ell'} \\ &p\mid \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#}. \end{align*} \right.

Par différence, vous déduisez :

\left\{\begin{align*} &p\mid d_{k'+\ell'} – \sum_{\substack{k+\ell = k'+\ell' \\ k\in\llbracket 0, r\rrbracket\setminus\{k'\} \\ \ell\in\llbracket 0, s\rrbracket\setminus\{\ell'\} }} c_k^{\#}w_{\ell}^{\#} \\ &p\mid c_{k'}^{\#}w_{\ell'}^{\#}. \end{align*} \right.

Le nombre $p$ étant premier, d’après le lemme d’Euclide, il y a deux possibilités.

Soit $p\mid c_{k’}^{\#}\comma$ mais cela contredit la définition de $k’.$

Soit $p\mid w_{\ell’}^{\#}\comma$ mais cela contredit la définition de $\ell’.$

Il y a contradiction.

L’hypothèse $\pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}) \geq 2$ est donc fausse et par conséquent :

\pgcd(d_0, d_1,\dots, d_{r+s}) =1.

Concluez

Du coup :

bv \mid cw.

Le nombre $\frac{cw}{bv}$ est un entier strictement positif. Notez-le $\alpha$ dans la suite.

Alors vous avez l’égalité :

\begin{align*} P &= \alpha \left( \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right)\\ &= \left( \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k \right) \left(\sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}\right). \end{align*}

Les deux facteurs sont à coefficients entiers et de degrés respectifs $r$ et $s\comma$ tous deux non nuls. Cette égalité montre bien que le polynôme $P$ est réductible dans $\Z[X].$

Vous allez terminer en effectuant le lien avec les polynômes $R$ et $S$ de départ : il reste à définir un rationnel $q$ pour avoir $qR\in\Z[X]$ et $\frac{1}{q}S \in\Z[X].$ Remarquez que :

\begin{align*} R &=\frac{c}{b} \sum_{k=0}^{r}c_k^{\#} X^k \\ &=\frac{c}{\alpha\ b} \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k. \end{align*}

En posant $q = \frac{\alpha b }{c}\comma$ vous avez :

qR = \sum_{k=0}^{r}\alpha\ c_k^{\#} X^k.

Donc $qR \in\Z[X].$

D’autre part :

\begin{align*} \frac{1}{q}S &= \frac{c}{\alpha\ b}\frac{w}{v} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell} \\ &= \frac{cw}{\alpha\ bv} \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}. \end{align*}

Or $\frac{cw}{bv} = \alpha$ donc $cw = \alpha bv$ et par suite :

\frac{1}{q}S = \sum_{\ell=0}^{s} w_{\ell}^{\#} X^{\ell}.

Donc $\frac{1}{q}S \in\Z[X].$

Il a été démontré que :

P = (qR)\left(\frac{1}{q}S\right).

Comme les polynômes $qR$ et $\frac{1}{q}S$ sont à coefficients entiers et non constants, le polynôme $P$ est bien réductible dans $\Z[X].$

Prolongement

Vous souhaitez utiliser le résultat établi pour démontrer qu’un polynôme précis est irréductible ? Allez jeter un œil à un autre article qui traite cette question.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 315.