Vous allez justifier dans cet article que le polynôme à coefficients entiers suivant :
P = X^4-10X^2+1
est irréductible dans $\Q[X].$
Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant que $P$ s’écrit comme produit de deux polynômes à coefficients rationnels, ces deux polynômes ayant un degré inférieur ou égal à $3.$
Analyse 1/4 : utilisez le lemme de Gauss
Comme $P$ est réductible dans $\Q[X]$ mais appartient aussi à $\Z[X]$ il s’ensuit, d’après le contenu rédigé dans l'article 314 que $P$ est réductible dans $\Z[X].$
$P$ s’écrit donc comme le produit de deux polynômes à coefficients entiers, ces deux polynômes ayant un degré inférieur ou égal à $3.$
Analyse 2/4 : éliminez les degrés $1$ et $3$ dans la décomposition du polynôme $P$
Supposez que l’un des deux polynômes soit de degré $1.$
Il existe $(a,b,r,s,t,u)\in\Z^6$ tel que $P = QR$ avec :
\begin{align*}
Q &= aX+b\\
R &= rX^3+sX^2+tX+u.
\end{align*}
Par identification du coefficient dominant de $QR$ vous déduisez :
ar = 1.
Du coup $a\mid 1$ et :
a\in\{-1,1\}.Par identification du coefficient constant de $QR$ vous déduisez :
bu =1.
Du coup $b\mid 1$ et :
b\in\{-1,1\}.De ce qui précède, quatre cas sont à examiner.
Cas n°1 : $Q = X+1$
Vous observez que $Q(-1) = 0$, donc $P(-1) = Q(-1)R(-1)=0.$
Or :
\begin{align*}
P(-1) &= (-1)^4-10(-1)^2+1\\
&= 1-10+1\\
&=-8.
\end{align*}Vous obtenez une contradiction.
Cas n°2 : $Q = X-1$
Vous observez que $Q(1) = 0$, donc $P(1) = Q(1)R(1)=0.$
Or :
\begin{align*}
P(1) &= 1^4-10\times 1^2+1\\
&= 1-10+1\\
&=-8.
\end{align*}Vous obtenez une contradiction.
Cas n°3 : $Q = -X+1$
Vous avez $Q(1)=0$ ce qui ramène au cas n°2 et à une contradiction.
Cas n°3 : $Q = -X-1$
Vous avez $Q(-1)=0$ ce qui ramène au cas n°1 et à une contradiction.
Vous déduisez que $P$, dans sa décomposition, ne peut admettre de polynôme de degré $1$ à coefficients entiers.
De même, supposez que l’un des deux polynômes soit de degré $3.$ Pour des questions de degré, l’autre polynôme est de degré $1$ ce qui est impossible.
Vous déduisez que $P$, dans sa décomposition, ne peut admettre de polynôme de degré $3$ à coefficients entiers.
Analyse 3/4 : le degré $2$ dans la décomposition du polynôme $P$
D’après ce qui précède, $P$ s’écrit comme produit de deux polynômes de degré $2$, à coefficients entiers.
Vous notez dans la suite par $Q$ l’un de ces deux polynômes, avec $Q\in\Z[X].$
Cette fois-ci la méthode précédente ne sera pas utilisée au profit d’une variante avec les polynômes de Lagrange. Bien que longue et réservée à du calcul formel par ordinateur, cette méthode sera ici détaillée afin d’en comprendre les principes essentiels.
Pour connaître les candidats possibles pour ce polynôme $Q$ qui est de degré $2$, il suffit d’en connaître les valeurs prises sur $3$ nombres.
Comme $Q \mid P$, vous déduisez immédiatement que :
\begin{align*}
Q(0)&\mid P(0) \\
Q(2)&\mid P(2) \\
Q(-2)&\mid P(-2).
\end{align*}
Vous évaluez le polynôme $P$ en ces valeurs.
\begin{align*}
P(0) &= 1\\
P(2) &= 16-40+1 = 17-40 = -23\\
P(-2) &= P(2) = -23.
\end{align*}Note. Vous auriez pu utiliser $P(1) = -8$ mais $-8$ admet beaucoup trop de diviseurs, ce qui augmente le nombre de cas à traiter.
Cela s’écrit :
\begin{align*}
Q(0)&\mid 1 \\
Q(2)&\mid 23 \\
Q(-2)&\mid 23.
\end{align*}
C’est-à-dire :
\begin{align*}
Q(0)&\in \{-1,1\} \\
Q(2)&\in \{-23,-1,1,23\} \\
Q(-2)&\in \{-23,-1,1,23\}.
\end{align*}D’après la formule des polynômes interpolateurs de Lagrange, vous avez :
\begin{align*}
Q(X) &= Q(0)\frac{(X-2)(X+2)}{(0-2)(0+2)}+Q(2)\frac{X(X+2)}{2(2+2)}+Q(-2)\frac{X(X-2)}{-2(-2-2)}\\
&= Q(0)\frac{(X-2)(X+2)}{-4}+Q(2)\frac{X(X+2)}{8}+Q(-2)\frac{X(X-2)}{8}\\
&= Q(0)\frac{X^2-4}{-4}+Q(2)\frac{X^2+2X}{8}+Q(-2)\frac{X^2-2X}{8}\\
&= Q(0)\frac{8-2X^2}{8}+Q(2)\frac{X^2+2X}{8}+Q(-2)\frac{X^2-2X}{8}\\
&= \frac{(-2Q(0)+Q(2)+Q(-2))X^2+(2Q(2)-2Q(-2))X+8Q(0)}{8}\\
&=\frac{-2Q(0) + Q(2)+Q(-2)}{8}X^2+\frac{Q(2)-Q(-2)}{4}X + Q(0).
\end{align*}Cela vous donne un nombre fini de candidats pour le polynôme $Q.$
Analyse 4/4 : citez les candidats potentiels
Vous obtenez le tableau suivant :
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
Q(0) & Q(2) & Q(-2) & Q(X) \\
\hline
-1 & -23 & -23 &-\frac{11 X^2}{2}-1 \\
-1 & -23 & -1 & -\frac{11 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}-1 \\
-1 & -23 & 1 & -\frac{5 X^2}{2}-6 X-1 \\
-1 & -23 & 23 & \frac{X^2}{4}-\frac{23 X}{2}-1 \\
-1 & -1 & -23 & -\frac{11 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}-1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1& \frac{X^2}{4}-\frac{X}{2}-1 \\
-1 & -1 & 23 & 3 X^2-6 X-1 \\
-1 & 1 & -23 & -\frac{5 X^2}{2}+6 X-1 \\
-1 & 1 & -1 & \frac{X^2}{4}+\frac{X}{2}-1 \\
-1 & 1 & 1& \frac{X^2}{2}-1 \\
-1 & 1 & 23 & \frac{13 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}-1 \\
-1 & 23 & -23 & \frac{X^2}{4}+\frac{23 X}{2}-1 \\
-1 & 23& -1 & 3 X^2+6 X-1 \\
-1 & 23 & 1& \frac{13 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}-1 \\
-1 & 23 & 23 & 6 X^2-1 \\
\hline
1 & -23 & -23 & -6 X^2+1 \\
1 & -23 & -1 & -\frac{13 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}+1\\
1 & -23 & 1 & -3 X^2-6 X+1\\
1 & -23 & 23 & -\frac{X^2}{4}-\frac{23 X}{2}+1 \\
1 & -1 & -23 & -\frac{13 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}+1 \\
1 & -1 & -1 & 1-\frac{X^2}{2} \\
1 & -1 & 1& -\frac{X^2}{4}-\frac{X}{2}+1 \\
1 & -1 & 23 & \frac{5 X^2}{2}-6 X+1 \\
1 & 1 & -23 & -3 X^2+6 X+1 \\
1 & 1 & -1 & -\frac{X^2}{4}+\frac{X}{2}+1 \\
1 & 1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 23 & \frac{11 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}+1 \\
1 & 23 & -23 & -\frac{X^2}{4}+\frac{23 X}{2}+1 \\
1 & 23& -1 & \frac{5 X^2}{2}+6 X+1 \\
1 & 23 & 1& \frac{11 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}+1 \\
1 & 23 & 23 & \frac{11 X^2}{2}+1 \\
\hline
\end{array}Comme le polynôme $Q$ appartient à $\Z[X]$ et est de degré $2$, il ne reste que six possibilités.
\left|\begin{align*}
&Q = 3 X^2-6 X-1 \\
&\text{ou}\\
&Q = 3 X^2+6 X-1\\
&\text{ou}\\
&Q = 6 X^2-1\\
&\text{ou}\\
&Q = -6 X^2+1\\
&\text{ou}\\
&Q = -3 X^2-6 X+1\\
&\text{ou}\\
&Q = -3 X^2+6 X+1.
\end{align*}
\right.Comme $Q$ est le premier polynôme dans la décomposition de $P$ qui est réductible, vous déduisez que le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ est nul et que le quotient de cette division est un polynôme à coefficients entiers.
Synthèse
Supposez que $Q$ soit un polynôme de degré $2$ à coefficients dans $\Z[X]$ tel que :
Q\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}.Supposez que $R$ soit un polynôme de degré $2$ à coefficients dans $\Z[X]$ tel que :
P = QR.
Cette relation, dans $\Q[X]$ s’écrit :
P = QR + 0.
Du coup, $R$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ et le reste de cette division est nul.
Pour les 6 divisions, vous obtenez le tableau suivant.
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & \text{quotient} & \text{reste} \\
\hline
X^4-10X^2+1 & 3 X^2-6 X-1 & \frac{X^2}{3}+\frac{2 X}{3}-\frac{17}{9} & -\frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\
X^4-10X^2+1 & 3 X^2+6 X-1 & \frac{X^2}{3}-\frac{2 X}{3}-\frac{17}{9} & \frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\
X^4-10X^2+1 & 6 X^2-1 & \frac{X^2}{6}-\frac{59}{36} &-\frac{23}{36} \\
X^4-10X^2+1 & -6 X^2+1 & \frac{59}{36}-\frac{X^2}{6} & -\frac{23}{36}\\
X^4-10X^2+1 & -3 X^2-6 X+1 & -\frac{X^2}{3}+\frac{2 X}{3}+\frac{17}{9} & \frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\
X^4-10X^2+1 & -3 X^2+6 X+1 & -\frac{X^2}{3}-\frac{2 X}{3}+\frac{17}{9} & -\frac{32 X}{3}-\frac{8}{9}\\
\hline
\end{array}Vous constatez qu’aucun quotient n’est un polynôme de $\Z[X].$ A titre surabondant, aucun reste n’est nul.
Vous déduisez qu’aucun polynôme parmi les six proposés pour $Q$ ne convient.
Note. Vous auriez pu conclure plus rapidement en procédant par une identification du coefficient dominant de $P$, montrant que le coefficient dominant du quotient ne peut être un entier. Cependant la priorité a été mise sur une méthode certes longue mais qui fonctionne dans toutes les situations.
Concluez
La partie analyse montre que, si $P$ est un polynôme réductible dans $\Q[X]$, alors il existe un polynôme $Q$ à coefficients entiers tel que :
\begin{align*}
Q &\mid P\\
Q&\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}.
\end{align*}De plus, le reste de la division de $P$ par $Q$ est nul.
Le quotient de cette division est un polynôme à coefficients entiers.
La partie synthèse montre que, quel que soit le polynôme
Q\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}le reste de la division de $P$ par $Q$ est non nul, autrement dit :
Q \nmid P.
Par analyse-synthèse, il a été démontré que le polynôme $P = X^4-10X^2+1$ est irréductible dans $\Q[X].$
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