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315. Irréductibilité d’un polynôme à coefficients entiers (2/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous allez justifier dans ce contenu que le polynôme à coefficients entiers suivant :

P = X^4-10X^2+1

est irréductible dans $\Q[X].$

Vous effectuez d’abord une analyse, en supposant que $P$ est réductible dans $\Q[X]\comma$ c’est-à-dire qu’il s’écrit comme produit de deux polynômes non constants à coefficients rationnels, ces deux polynômes ayant un degré inférieur ou égal à $3.$

Analyse 1/4 : utilisez le lemme de Gauss

Le polynôme $P$ est réductible dans $\Q[X]$ et appartient aussi à $\Z[X]\comma$ avec des coefficients premiers entre eux dans leur ensemble. D’après le lemme de Gauss, démontré dans un autre article, il s’ensuit que $P$ est réductible dans $\Z[X].$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 314.

Le polynôme $P$ s’écrit donc comme le produit de deux polynômes non constants à coefficients entiers, ces deux polynômes ayant un degré inférieur ou égal à $3.$

Analyse 2/4 : éliminez les degrés $1$ et $3$ dans la décomposition du polynôme $P$

Supposez que l’un des deux polynômes soit de degré $1.$

Il existe $(a,b,r,s,t,u)\in\Z^6$ tel que $P = QR$ avec :

\begin{align*} Q &= aX+b\\ R &= rX^3+sX^2+tX+u. \end{align*}

Par identification du coefficient dominant de $QR$ vous déduisez :

ar = 1.

Du coup $a\mid 1$ et :

a\in\{-1,1\}.

Par identification du coefficient constant de $QR$ vous déduisez :

bu =1.

Du coup $b\mid 1$ et :

b\in\{-1,1\}.

De ce qui précède, quatre cas sont à examiner.

Cas n°1 : $Q = X+1$

Vous observez que $Q(-1) = 0\comma$ donc $P(-1) = Q(-1)R(-1)=0.$

Or :

\begin{align*} P(-1) &= (-1)^4-10(-1)^2+1\\ &= 1-10+1\\ &=-8. \end{align*}

Vous obtenez une contradiction.

Cas n°2 : $Q = X-1$

Vous observez que $Q(1) = 0\comma$ donc $P(1) = Q(1)R(1)=0.$

Or :

\begin{align*} P(1) &= 1^4-10\times 1^2+1\\ &= 1-10+1\\ &=-8. \end{align*}

Vous obtenez une contradiction.

Cas n°3 : $Q = -X+1$

Vous avez $Q(1)=0$ ce qui ramène au cas n°2 et à une contradiction.

Cas n°4 : $Q = -X-1$

Vous avez $Q(-1)=0$ ce qui ramène au cas n°1 et à une contradiction.

Vous déduisez que $P\comma$ dans sa décomposition, ne peut admettre de polynôme de degré $1$ à coefficients entiers.

De même, supposez que l’un des deux polynômes soit de degré $3.$ Pour des questions de degré, l’autre polynôme est de degré $1$ ce qui est impossible.

Vous déduisez que $P\comma$ dans sa décomposition, ne peut admettre de polynôme de degré $3$ à coefficients entiers.

Analyse 3/4 : le degré $2$ dans la décomposition du polynôme $P$

D’après ce qui précède, $P$ s’écrit comme produit de deux polynômes de degré $2\comma$ à coefficients entiers.

Vous notez dans la suite $Q$ l’un de ces deux polynômes, avec $Q\in\Z[X].$

Cette fois-ci la méthode précédente ne sera pas utilisée, au profit d’une variante avec les polynômes de Lagrange. Bien que longue et plutôt réservée au calcul formel par ordinateur, cette méthode sera ici détaillée afin d’en comprendre les principes essentiels.

Le polynôme $Q$ étant de degré $2\comma$ il est entièrement déterminé par les valeurs qu’il prend en trois nombres distincts.

Comme $Q \mid P$ dans $\Z[X]\comma$ il existe $R\in\Z[X]$ tel que $P = QR.$ En évaluant en des entiers, vous déduisez immédiatement que :

\begin{align*} Q(0)&\mid P(0) \\ Q(2)&\mid P(2) \\ Q(-2)&\mid P(-2). \end{align*}

Vous évaluez le polynôme $P$ en ces valeurs.

\begin{align*} P(0) &= 1\\ P(2) &= 16-40+1 = 17-40 = -23\\ P(-2) &= P(2) = -23. \end{align*}

Note. Vous auriez pu utiliser $P(1) = -8$ mais $-8$ admet beaucoup trop de diviseurs, ce qui augmente le nombre de cas à traiter.

Le nombre $23$ étant premier, cela s’écrit :

\begin{align*} Q(0)&\in \{-1,1\} \\ Q(2)&\in \{-23,-1,1,23\} \\ Q(-2)&\in \{-23,-1,1,23\}. \end{align*}

D’après la formule des polynômes interpolateurs de Lagrange, vous avez :

\begin{align*} Q(X) &= Q(0)\frac{(X-2)(X+2)}{(0-2)(0+2)}+Q(2)\frac{X(X+2)}{2(2+2)}+Q(-2)\frac{X(X-2)}{-2(-2-2)}\\ &= Q(0)\frac{(X-2)(X+2)}{-4}+Q(2)\frac{X(X+2)}{8}+Q(-2)\frac{X(X-2)}{8}\\ &= Q(0)\frac{X^2-4}{-4}+Q(2)\frac{X^2+2X}{8}+Q(-2)\frac{X^2-2X}{8}\\ &= Q(0)\frac{8-2X^2}{8}+Q(2)\frac{X^2+2X}{8}+Q(-2)\frac{X^2-2X}{8}\\ &= \frac{(-2Q(0)+Q(2)+Q(-2))X^2+(2Q(2)-2Q(-2))X+8Q(0)}{8}\\ &=\frac{-2Q(0) + Q(2)+Q(-2)}{8}X^2+\frac{Q(2)-Q(-2)}{4}X + Q(0). \end{align*}

Cela vous donne un nombre fini de candidats pour le polynôme $Q\comma$ à savoir $2\times 4\times 4 = 32$ au plus.

Analyse 4/4 : citez les candidats potentiels

Vous obtenez le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Q(0) & Q(2) & Q(-2) & Q(X) \\ \hline -1 & -23 & -23 &-\frac{11 X^2}{2}-1 \\ -1 & -23 & -1 & -\frac{11 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}-1 \\ -1 & -23 & 1 & -\frac{5 X^2}{2}-6 X-1 \\ -1 & -23 & 23 & \frac{X^2}{4}-\frac{23 X}{2}-1 \\ -1 & -1 & -23 & -\frac{11 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}-1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1& \frac{X^2}{4}-\frac{X}{2}-1 \\ -1 & -1 & 23 & 3 X^2-6 X-1 \\ -1 & 1 & -23 & -\frac{5 X^2}{2}+6 X-1 \\ -1 & 1 & -1 & \frac{X^2}{4}+\frac{X}{2}-1 \\ -1 & 1 & 1& \frac{X^2}{2}-1 \\ -1 & 1 & 23 & \frac{13 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}-1 \\ -1 & 23 & -23 & \frac{X^2}{4}+\frac{23 X}{2}-1 \\ -1 & 23& -1 & 3 X^2+6 X-1 \\ -1 & 23 & 1& \frac{13 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}-1 \\ -1 & 23 & 23 & 6 X^2-1 \\ \hline 1 & -23 & -23 & -6 X^2+1 \\ 1 & -23 & -1 & -\frac{13 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}+1\\ 1 & -23 & 1 & -3 X^2-6 X+1\\ 1 & -23 & 23 & -\frac{X^2}{4}-\frac{23 X}{2}+1 \\ 1 & -1 & -23 & -\frac{13 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}+1 \\ 1 & -1 & -1 & 1-\frac{X^2}{2} \\ 1 & -1 & 1& -\frac{X^2}{4}-\frac{X}{2}+1 \\ 1 & -1 & 23 & \frac{5 X^2}{2}-6 X+1 \\ 1 & 1 & -23 & -3 X^2+6 X+1 \\ 1 & 1 & -1 & -\frac{X^2}{4}+\frac{X}{2}+1 \\ 1 & 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 23 & \frac{11 X^2}{4}-\frac{11 X}{2}+1 \\ 1 & 23 & -23 & -\frac{X^2}{4}+\frac{23 X}{2}+1 \\ 1 & 23& -1 & \frac{5 X^2}{2}+6 X+1 \\ 1 & 23 & 1& \frac{11 X^2}{4}+\frac{11 X}{2}+1 \\ 1 & 23 & 23 & \frac{11 X^2}{2}+1 \\ \hline \end{array}

Comme le polynôme $Q$ appartient à $\Z[X]$ et est de degré $2\comma$ il ne reste que six possibilités.

\left|\begin{align*} &Q = 3 X^2-6 X-1 \\ &\text{ou}\\ &Q = 3 X^2+6 X-1\\ &\text{ou}\\ &Q = 6 X^2-1\\ &\text{ou}\\ &Q = -6 X^2+1\\ &\text{ou}\\ &Q = -3 X^2-6 X+1\\ &\text{ou}\\ &Q = -3 X^2+6 X+1. \end{align*} \right.

Comme $Q$ est l’un des deux facteurs de la décomposition de $P$ dans $\Z[X]\comma$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ est nul et le quotient de cette division est un polynôme à coefficients entiers.

Synthèse

Supposez que $Q$ soit un polynôme de degré $2$ à coefficients entiers tel que :

Q\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}.

Supposez que $R$ soit un polynôme de degré $2$ à coefficients entiers tel que :

P = QR.

Cette relation, dans $\Q[X]\comma$ s’écrit :

P = QR + 0.

Par unicité de la division euclidienne, $R$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ et le reste de cette division est nul.

Pour les six divisions, vous obtenez le tableau suivant.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & \text{quotient} & \text{reste} \\ \hline X^4-10X^2+1 & 3 X^2-6 X-1 & \frac{X^2}{3}+\frac{2 X}{3}-\frac{17}{9} & -\frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\ X^4-10X^2+1 & 3 X^2+6 X-1 & \frac{X^2}{3}-\frac{2 X}{3}-\frac{17}{9} & \frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\ X^4-10X^2+1 & 6 X^2-1 & \frac{X^2}{6}-\frac{59}{36} &-\frac{23}{36} \\ X^4-10X^2+1 & -6 X^2+1 & \frac{59}{36}-\frac{X^2}{6} & -\frac{23}{36}\\ X^4-10X^2+1 & -3 X^2-6 X+1 & -\frac{X^2}{3}+\frac{2 X}{3}+\frac{17}{9} & \frac{32 X}{3}-\frac{8}{9} \\ X^4-10X^2+1 & -3 X^2+6 X+1 & -\frac{X^2}{3}-\frac{2 X}{3}+\frac{17}{9} & -\frac{32 X}{3}-\frac{8}{9}\\ \hline \end{array}

Vous constatez qu’aucun quotient n’est un polynôme de $\Z[X].$ À titre surabondant, aucun reste n’est nul.

Vous déduisez qu’aucun polynôme parmi les six proposés pour $Q$ ne convient.

Note. Vous auriez pu conclure plus rapidement par identification des coefficients dominants : le produit des coefficients dominants de $Q$ et du quotient devant valoir $1\comma$ celui de $Q$ devrait être égal à $1$ ou $-1\comma$ ce qui n’est le cas d’aucun des six candidats. Cependant la priorité a été mise sur une méthode, certes longue, mais qui fonctionne dans toutes les situations.

Concluez

La partie analyse montre que, si $P$ est un polynôme réductible dans $\Q[X]\comma$ alors il existe un polynôme $Q$ à coefficients entiers tel que :

\begin{align*} &Q \mid P\\ &Q\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}. \end{align*}

De plus, le reste de la division de $P$ par $Q$ est nul.
Le quotient de cette division est un polynôme à coefficients entiers.

La partie synthèse montre que, quel que soit le polynôme

Q\in\{3 X^2-6 X-1, 3 X^2+6 X-1, 6 X^2-1, -6 X^2+1, -3 X^2-6 X+1 , -3 X^2+6 X+1\}

le reste de la division de $P$ par $Q$ est non nul, autrement dit :

Q \nmid P.

Par analyse-synthèse, il a été démontré que le polynôme $P = X^4-10X^2+1$ est irréductible dans $\Q[X].$