Soit à déterminer, sans rechercher ses racines, une factorisation sans facteur carré dans $\R[X]$ du polynôme réel défini par :

Pour rappel, une factorisation sans carré d’un polynôme est une factorisation en puissances de facteurs sans carré.

Le polynôme $P$ étant unitaire et de degré $5\comma$ il existe un 5-uplet $(B_1,B_2,B_3,B_4,B_5)\in(\R[X])^5$ de polynômes réels unitaires et sans facteur carré, deux à deux premiers entre eux, tels que :

Il sera ainsi possible de déterminer les multiplicités de chaque racine de $P.$

Il est important de noter que, pour tout $i\in\llbracket 1, 5\rrbracket$ le polynôme $B_i\comma$ même factorisé dans $\C[X]\comma$ n’admet que des racines simples, puisqu’il est sans facteur carré.

Note n°1. Cette écriture s’obtient en décomposant $P$ comme produit de polynômes unitaires irréductibles dans $\R[X]\comma$ puis en regroupant les facteurs identiques avec des puissances, et enfin en regroupant ensemble les polynômes ayant la même multiplicité.

Note n°2. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $5\comma$ le polynôme $B_i$ n’est divisible par aucun carré de polynôme non constant.

Note n°3. Dans la décomposition du polynôme $P$ sans facteur carré, il est possible qu’il existe un ou plusieurs entiers $i$ compris entre $1$ et $5\comma$ tels que $B_i = 1.$

Note n°4. Il y a en fait unicité de la décomposition de $P$ comme produit de facteurs unitaires sans carré.

Afin de mener à bien une façon de calculer, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $5\comma$ les polynômes $B_i\comma$ le lemme suivant sera très utile. L’unicité sera même une conséquence de ce lemme.

Dans tout ce contenu, le $\pgcd$ de deux polynômes désigne leur plus grand diviseur commun unitaire.

Lemme : du polynôme $P$ au $\pgcd$ de $P$ et de $P’$

Cette section est un aparté.

Soit $P$ un polynôme réel non constant et unitaire, admettant la décomposition suivante comme produit de facteurs réels unitaires sans carré, deux à deux premiers entre eux :

Vous dérivez ce produit, ce qui fournit :

Vous constatez que les cinq termes du membre de droite sont factorisables par $B_2(X)B_3(X)^2B_4(X)^3B_5(X)^4.$ En effet :

Vous notez $S$ le polynôme qui intervient dans le dernier facteur, soit :

Ainsi :

Vous notez alors que le polynôme :

divise à la fois $P$ et $P’\comma$ donc il divise leur $\pgcd\comma$ ce qui s’écrit :

Vous souhaitez montrer que $\pgcd(P,P’)=M.$ D’après ce qui a été établi, il existe un polynôme $T\in\R[X]$ tel que :

Raisonnez maintenant par l’absurde et supposez que le polynôme $T$ n’est pas constant.

Notez alors $U$ un facteur irréductible dans $\R[X]$ du polynôme $T.$ Le polynôme $U$ n’est pas constant.

D’une part :

Vous déduisez :

Le polynôme $U$ étant irréductible et divisant un produit, il divise l’un des facteurs de ce produit par le lemme d’Euclide, donc il existe un entier $i$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, 5\rrbracket$ tel que :

D’autre part :

Cela s’écrit ainsi :

Le polynôme $M$ n’étant pas nul et l’anneau $\R[X]$ étant intègre, vous pouvez simplifier par $M$ et il vient :

Du coup, comme $U$ divise $T\comma$ vous avez :

Dans cette somme, tous les termes d’indice $j\neq i$ contiennent le facteur $B_i\comma$ que $U$ divise. Par différence, il vient :

Comme l’entier $i$ est non nul, il vient par suite :

Notez que s’il existait $k\in\llbracket 1,5\rrbracket \setminus\{i\}$ tel que $U(X)\mid B_k(X)\comma$ alors vous auriez $U(X)\mid \pgcd(B_i,B_k).$ Les polynômes $B_i$ et $B_k$ étant premiers entre eux, cela entraînerait $U(X) \mid 1$ et $U$ serait constant, ce qui est exclu.

Appliquant le lemme d’Euclide au polynôme irréductible $U\comma$ vous constatez alors que nécessairement :

Or, vous avez déjà :

Il existe un polynôme $C_i\in\R[X]$ tel que $B_i(X) = U(X)C_i(X).$ En dérivant :

Du coup :

Le polynôme $U$ n’étant pas constant, son polynôme dérivé $U’$ n’est pas nul et son degré est égal au degré de $U$ diminué de $1.$ Si $U$ divisait $U’\comma$ le degré de $U$ serait inférieur ou égal à celui de $U’\comma$ ce qui est contradictoire. Donc $U$ ne divise pas $U’.$

Du coup, le lemme d’Euclide fournit :

Puis :

Donc :

Le polynôme $B_i$ possède un facteur carré non constant, ce qui est absurde. Donc le polynôme $T$ est constant. Les polynômes $\pgcd(P,P’)$ et $M$ étant unitaires, l’identification des coefficients dominants dans l’égalité $\pgcd(P,P’) = T(X)M(X)$ fournit $T(X)=1\comma$ comme annoncé.

En définitive il a été démontré que, pour tout polynôme réel $P$ unitaire et non constant, si :

est une décomposition de $P$ en produit de facteurs réels, unitaires, sans carré et deux à deux premiers entre eux, alors :

Étape 1 : supprimez toutes les multiplicités et calculez le produit $B_1(X)B_2(X)B_3(X)B_4(X)B_5(X)$

Pour revenir au problème initial de ce contenu, il est rappelé que :

Vous notez $Q_0 = P.$ D’après ce qui a été précisé ci-dessus :

Vous posez $Q_1 = \pgcd(Q_0,Q_{0}^{\prime})\comma$ que vous calculez avec l’algorithme d’Euclide, ce qui fournit :

Or, d’après le lemme :

Vous posez $R_0 =\frac{Q_0}{Q_1}.$ Vous avez :

Soit, après calcul de la division euclidienne, dont le reste est nul :

Étape 2 : partez du polynôme $Q_1$ et calculez le produit $B_2(X)B_3(X)B_4(X)B_5(X)$

Vous avez :

Le lemme s’applique encore au polynôme $Q_1\comma$ puisque cette écriture est une décomposition de $Q_1$ en produit de facteurs unitaires, sans carré et deux à deux premiers entre eux (avec $B_2$ à la puissance $1\comma$ $B_3$ à la puissance $2\comma$ et ainsi de suite).

Vous posez $Q_2 = \pgcd(Q_1,Q_1^{\prime})\comma$ ce qui fournit :

Or, d’après le lemme :

Vous posez $R_1 =\frac{Q_1}{Q_2}.$ Par division euclidienne, vous trouvez :

Soit :

Étape 3 : partez du polynôme $Q_2$ et calculez le produit $B_3(X)B_4(X)B_5(X)$

Vous avez :

Vous posez $Q_3 = \pgcd(Q_2,Q_2^{\prime})\comma$ ce qui fournit :

Or, d’après le lemme :

Vous posez $R_2 =\frac{Q_2}{Q_3}.$ Vous trouvez :

Soit :

Étape 4 : déterminez la décomposition de $P$

Comme $Q_3(X) = B_4(X)B_5(X)^2 = 1$ vous déduisez immédiatement pour une question de degré que les polynômes $B_4$ et $B_5$ sont constants. Étant unitaires, ils vérifient :

Comme $R_2(X) = X-1 = B_3(X)B_4(X)B_5(X)$ vous déduisez que :

Comme $R_1(X) = X-1 = B_2(X)B_3(X)B_4(X)B_5(X)$ vous déduisez que :

Comme $R_0(X) =B_1(X)B_2(X)B_3(X)B_4(X)B_5(X) =X^3-2 X+1$ vous déduisez :

En calculant le quotient de la division euclidienne obtenue, dont le reste est nul, il vient :

Concluez

Vous avez obtenu une factorisation de $P(X)=X^5-2 X^4-X^3+5 X^2-4 X+1$ en trouvant toutes les multiplicités, comme indiqué. Il vient :

Le réel $1$ est racine triple du polynôme $P\comma$ et les deux racines réelles du polynôme $X^2+X-1\comma$ à savoir $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\comma$ sont racines simples de $P.$

Note. L’algorithme utilisé montre que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $5\comma$ les polynômes $B_i$ sont uniques : ils sont entièrement déterminés par $P\comma$ au moyen de calculs de $\pgcd$ et de quotients.