325. Simplification de fractions grâce aux polynômes

Ce contenu montre comment rendre rationnel le dénominateur d’une fraction comportant des racines cubiques, grâce à l’algorithme d’Euclide étendu appliqué à des polynômes. Cet algorithme est présenté en détail dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 327.

Simplifiez $A = \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}}$

Vous posez $\alpha = \sqrt[3]{5}.$ Pour rappel, $\alpha^3 = 5.$ Alors $(\alpha^3)^2 = 25$ ce qui s’écrit $\alpha^6 = 25.$

Comme $\alpha^6 = (\alpha^2)^3$ vous déduisez $(\alpha^2)^3=25$ soit $\alpha^2 = \sqrt[3]{25}.$

Le nombre réel $A$ est égal à :

A = \frac{1}{\alpha+\alpha^2}.

Vous notez $Q$ le polynôme réel défini par $\boxed{Q(X) = X^2+X}\comma$ de sorte que :

A = \frac{1}{Q(\alpha)}.

Le réel $\alpha$ étant strictement positif, le nombre $Q(\alpha) = \alpha+\alpha^2$ l’est aussi, ce qui justifie l’écriture précédente.

Comme $\alpha^3-5=0$ vous définissez le polynôme réel $P$ par $\boxed{P(X) = X^3-5}$ et notez que $\alpha$ est une racine de $P.$

Constatant que le degré de $Q$ est strictement inférieur à celui de $P\comma$ vous utilisez l’algorithme d’Euclide étendu.

Tout d’abord vous effectuez la division euclidienne du polynôme $X^3-5$ par le polynôme $X^2+X.$

\begin{array}{llll|l} X^3&&&-5 & X^2+X\\ \hline X^3&+X^2&&& X-1\\ &-X^2&&-5\\ \hline &-X^2&-X\\ &&X&-5 \end{array}

Ce calcul montre que :

X^3-5 = (X^2+X)(X-1)+X-5.

Cette étape est schématisée dans le tableau suivant. Sur chaque ligne, le polynôme de la première colonne est égal à la somme du coefficient de la colonne $P$ multiplié par $P$ et du coefficient de la colonne $Q$ multiplié par $Q.$ Par exemple, la troisième ligne traduit l’égalité $X-5 = 1\times P(X) + (-X+1)Q(X).$

\begin{array}{l | l | l | l } & P& Q \\ \hline X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\ X^2+X & 0 & 1 & L_2\\ X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2 \end{array}

Vous poursuivez et effectuez la division euclidienne du polynôme $X^2+X$ par le polynôme $X-5.$

\begin{array}{lll | l} X^2&+X && X-5 \\ \hline X^2&-5X && X+6\\ &\hphantom{-}6X \\ \hline &\hphantom{-}6X&-30\\ &&\hphantom{-}30 \end{array}

Ce calcul montre que :

X^2+X = (X-5)(X+6)+30.

Le reste obtenu étant une constante non nulle, l’algorithme s’arrête ici. Vous poursuivez le tableau précédent :

\begin{array}{l | l | l | l } & P& Q \\ \hline X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\ X^2+X & 0 & 1 & L_2\\ X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2\\ 30& -X-6 & 1-(X+6)(-X+1) & L_4 = L_2-(X+6)L_3 \end{array}

Vous développez l’expression $1-(X+6)(-X+1)$ comme suit :

\begin{align*} 1-(X+6)(-X+1) &= 1+(X+6)(X-1)\\ &=1+X^2+5X-6\\ &=X^2+5X-5. \end{align*}

En définitive, les étapes de l’algorithme d’Euclide étendu sont les suivantes.

\begin{array}{l | l | l | l } & P& Q \\ \hline X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\ X^2+X & 0 & 1 & L_2\\ X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2\\ 30& -X-6 & X^2+5X-5 & L_4 = L_2-(X+6)L_3 \end{array}

La dernière ligne obtenue montre que :

\boxed{(-X-6)P(X) + (X^2+5X-5)Q(X) = 30.}

Vous évaluez cette expression en $\alpha\comma$ en notant que $P(\alpha)=0.$

\begin{align*} (\alpha^2+5\alpha-5)Q(\alpha)&=30\\ \alpha^2+5\alpha-5 &=\frac{30}{Q(\alpha)}\\ \frac{\alpha^2+5\alpha-5}{30} &=\frac{1}{Q(\alpha)}\\ \frac{\alpha^2+5\alpha-5}{30} &=A. \end{align*}

Pour conclure cette section :

\boxed{A = \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}} = \frac{\sqrt[3]{25}+5\sqrt[3]{5}-5}{30}.}

Simplifiez $B = \frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$

Cette section est indépendante de la précédente.

Vous posez $\beta = \sqrt[3]{2}.$ Comme $\beta^3 = 2$ vous posez $\boxed{P(X) = X^3-2}.$ Comme précédemment, vous avez $\beta^2 = \sqrt[3]{4}.$

Compte tenu du dénominateur de la fraction $B$ vous posez $Q(X) = X^2+X+1.$ Le réel $\beta$ étant strictement positif, le nombre $Q(\beta)$ l’est aussi.

Vous effectuez l’algorithme d’Euclide étendu, en combinant les lignes du tableau de façon à faire baisser le degré du polynôme de la première colonne, jusqu’à obtenir une constante.

\begin{array}{l | l | l | l } & P& Q \\ \hline X^3-2 & 1 & 0 & L_1\\ X^2+X+1 & 0 & 1 & L_2\\ -X^2-X-2 & 1 & -X & L_3 = L_1-XL_2\\ -1& 1 & -X+1 & L_4 = L_2+L_3\\ 1& -1 & X-1 & L_5 = -L_4 \end{array}

Il en résulte que :

\boxed{(-1)(X^3-2)+(X-1)(X^2+X+1) = 1.}

Vous évaluez en $\beta\comma$ en notant que $P(\beta)=0.$

\begin{align*} (\beta-1)Q(\beta)&=1\\ \beta-1 &=\frac{1}{Q(\beta)}\\ \beta^2-\beta &=\frac{\beta}{Q(\beta)}\\ \beta^2-\beta &=\frac{\beta}{1+\beta+\beta^2}\\ \beta^2-\beta &=B. \end{align*}

En définitive :

\boxed{B = \frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}.}