Simplifiez $A = \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}}$
Vous posez $\alpha = \sqrt[3]{5}.$ Pour rappel, $\alpha^3 = 5.$ Alors $(\alpha^3)^2 = 25$ ce qui s’écrit $\alpha^6 = 25.$
Comme $\alpha^6 = (\alpha^2)^3$ vous déduisez $(\alpha^2)^3=25$ soit $\alpha^2 = \sqrt[3]{25}.$
Le nombre réel $A$ est égal à :
A = \frac{1}{\alpha+\alpha^2}.Vous notez $Q$ le polynôme réel défini par $\boxed{Q(X) = X^2+X}$, de sorte que :
A = \frac{1}{Q(\alpha)}.Comme $\alpha^3-5=0$ vous définissez le polynôme réel $P$ par $\boxed{P(X) = X^3-5}$ et notez que $\alpha$ est une racine de $P.$
Constatant que le degré de $Q$ est strictement inférieur à celui de $P$, vous utilisez l’algorithme d’Euclide étendu.
Tout d’abord vous effectuez la division euclidienne du polynôme $X^3-5$ par le polynôme $X^2+X.$
\begin{array}{llll|l}
X^3&&&-5 & X^2+X\\
\hline
X^3&+X^2&&& X-1\\
&-X^2&&-5\\
\hline
&-X^2&-X\\
&&X&-5
\end{array}Ce calcul montre que :
X^3-5 = (X^2+X)(X-1)+X-5.
Cette étape est schématisée dans le tableau suivant.
\begin{array}{l | l | l | l }
& P& Q \\
\hline
X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\
X^2+X & 0 & 1 & L_2\\
X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2
\end{array}Vous poursuivez et effectuez la division euclidienne du polynôme $X^2+X$ par le polynôme $X-5.$
\begin{array}{lll | l}
X^2&+X && X-5 \\
\hline
X^2&-5X && X+6\\
&\hphantom{-}6X \\
\hline
&\hphantom{-}6X&-30\\
&&\hphantom{-}30
\end{array}Ce calcul montre que :
X^2+X = (X-5)(X+6)+30.
Vous poursuivez le tableau précédent :
\begin{array}{l | l | l | l }
& P& Q \\
\hline
X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\
X^2+X & 0 & 1 & L_2\\
X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2\\
30& -X-6 & 1-(X+6)(-X+1) & L_4 = L_2-(X+6)L_3
\end{array}Vous développez l’expression $1-(X+6)(-X+1).$
\begin{align*}
1-(X+6)(-X+1) &= 1+(X+6)(X-1)\\
&=1+X^2+5X-6\\
&=X^2+5X-5.
\end{align*} En définitive, les étapes de l’algorithme d’Euclide étendu sont les suivantes.
\begin{array}{l | l | l | l }
& P& Q \\
\hline
X^3-5 & 1 & 0 & L_1\\
X^2+X & 0 & 1 & L_2\\
X-5 & 1 & -X+1 & L_3 = L_1-(X-1)L_2\\
30& -X-6 & X^2+5X-5 & L_4 = L_2-(X+6)L_3
\end{array}La dernière ligne obtenue montre que :
\boxed{(-X-6)P(X) + (X^2+5X-5)Q(X) = 30.}Vous évaluez cette expression en $\alpha$, en notant que $P(\alpha)=0.$
\begin{align*}
(\alpha^2+5\alpha-5)Q(\alpha)&=30\\
\alpha^2+5\alpha-5 &=\frac{30}{Q(\alpha)}\\
\frac{\alpha^2+5\alpha-5}{30} &=\frac{1}{Q(\alpha)}\\
\frac{\alpha^2+5\alpha-5}{30} &=A.
\end{align*}Pour conclure cette section :
\boxed{A = \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25}} = \frac{\sqrt[3]{25}+5\sqrt[3]{5}-5}{30}.}Simplifiez $B = \frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$
Cette section est indépendante de la précédente.
Vous posez $\beta = \sqrt[3]{2}.$ Comme $\beta^3 = 2$ vous posez $\boxed{P(X) = X^3-2}.$
Compte tenu du dénominateur de la fraction $B$ vous posez $Q(X) = X^2+X+1.$
Vous effectuez l’algorithme d’Euclide étendu.
\begin{array}{l | l | l | l }
& P& Q \\
\hline
X^3-2 & 1 & 0 & L_1\\
X^2+X+1 & 0 & 1 & L_2\\
-X^2-X-2 & 1 & -X & L_3 = L_1-XL_2\\
-1& 1 & -X+1 & L_4 = L_2+L_3\\
1& -1 & X-1 & L_5 = -L_4\\
\end{array}Il en résulte que :
\boxed{(-1)(X^3-2)+(X-1)(X^2+X+1) = 1.}Vous évaluez en $\beta$ :
\begin{align*}
(\beta-1)Q(\beta)&=1\\
\beta-1 &=\frac{1}{Q(\beta)}\\
\beta^2-\beta &=\frac{\beta}{Q(\beta)}\\
\beta^2-\beta &=\frac{\beta}{1+\beta+\beta^2}\\
\beta^2-\beta &=B.
\end{align*}En définitive :
\boxed{B = \frac{\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}.}Partagez maintenant !
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