Dans tout ce contenu, $\K$ désigne un corps commutatif. Pour rappel, deux polynômes de $\K[X]$ sont dits premiers entre eux dans $\K[X]$, si et seulement si, ils n’admettent aucun diviseur commun non constant dans $\K[X].$

Pour tout entier naturel $p\comma$ notez $\K_p[X]$ l’ensemble des polynômes à coefficients dans $\K$ dont le degré est inférieur ou égal à $p.$ De même, pour tout $P\in\K[X]\comma$ vous notez $\deg P$ le degré du polynôme $P\comma$ avec la convention $\deg 0 = -\infty$ de sorte que $\K_0[X] = \K.$

Une caractérisation de cette définition est donnée par le théorème de Bézout avec la condition de degré : quels que soient les polynômes $A$ et $B$ de $\K[X]$ non constants de degrés respectifs $n$ et $m\comma$ les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe un unique polynôme $U\in\K[X]$ de degré inférieur ou égal à $m-1$ et un unique polynôme $V\in\K[X]$ de degré inférieur ou égal à $n-1$ tels que :

Le théorème de Bézout pour les polynômes avec la condition de degré se traduit formellement ainsi :

Note. Ce qui vous intéresse ici est la condition de degré sur les polynômes $U$ et $V\comma$ qui donne le caractère unique de ces deux polynômes.

Note. Vous rencontrez souvent le théorème de Bézout sous la forme suivante :

D’une part les polynômes $A$ et $B$ peuvent alors être constants, mais cela n’a pas de plus-value directe. D’autre part, sans imposer des conditions de degré, les polynômes $U$ et $V$ ne sont pas uniques. Or, les conditions sur les degrés permettent de décomposer la fraction rationnelle $\frac{1}{AB}$ avec une partie entière nulle.

Vérifiez l’énoncé sur un exemple précis

Cette section est un aparté.

Considérez les polynômes de $\R[X]$ suivants :

Supposez que les polynômes $A$ et $B$ admettent dans $\R[X]$ un diviseur commun non constant. Notez-le $Q.$

Comme $Q\in\C[X]$ et que $Q$ n’est pas constant, il existe, d’après le théorème de d’Alembert-Gauss, une racine $\alpha\in\C$ de ce polynôme.

Comme $Q \mid A$ dans $\R[X]$ vous déduisez que $\alpha$ est une racine du polynôme $A$ après évaluation, donc $\alpha \in\{1, j, j^2\}$ où pour rappel vous avez $j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ et $j^2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ et les égalités $1+j+j^2=0$ et $j^3=1.$

Comme $Q\mid B$ dans $\R[X]$ vous déduisez que $\alpha$ est aussi une racine du polynôme $B.$

• Si $\alpha =1$ vous déduisez $0 = B(1) = 2+3+4 = 9\comma$ ce qui est absurde.
• Si $\alpha = j$ vous déduisez $0 = B(j) = 2j^2+3j+4 = 2(-1-j)+3j+4 = j+2$ d’où $j=-2$ ce qui est absurde.
• Enfin, si $\alpha=j^2$ vous avez $0 = B(j^2) = 2j^4+3j^2+4 = 2j + 3(-1-j)+4 = -j+1$ d’où $j=1$ ce qui est absurde.

Par conséquent, les polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux dans $\R[X].$

Note. Ce résultat peut aussi être établi en utilisant l’algorithme d’Euclide, mais il a été privilégié ici l’utilisation d’une racine commune aux deux polynômes $A$ et $B$ dans l’hypothèse où ils ne seraient pas premiers entre eux.

Analyse

Soient $U\in\R_1[X]$ et $V\in\R_2[X]$ tels que $AU+BV=1.$

Il existe $(a,b)\in\R^2$ et $(u,v,w)\in\R^3$ tels que :

D’une part :

D’autre part :

Par somme, vous déduisez :

L’identification des coefficients fournit :

Note. En écrivant ce système sous forme matricielle, vous reconnaissez la transposée de la matrice de Sylvester. En effet, la matrice du système est :

Elle affiche sur ses colonnes les coefficients du polynôme $A(X) = 1X^3+0X^2+0X-1$ deux fois, ce qui correspond au degré de $B\comma$ suivis des coefficients du polynôme $B(X)=2X^2+3X+4$ trois fois en décalé, ce qui correspond au degré de $A.$ La matrice de Sylvester, elle, affiche les coefficients sur ses lignes.

Mise sous forme échelonnée du système

Il vous reste à résoudre le système. Vous procédez avec la méthode du pivot et les opérations élémentaires.

L’opération $L_4\leftarrow L_4+L_1$ fournit :

Puis l’opération $L_5\leftarrow L_5+L_2$ fournit :

L’opération $L_4\leftarrow L_4-\frac{1}{2}L_3$ fournit :

L’opération $L_5\leftarrow L_5-\frac{3}{4}L_3$ fournit :

L’opération $L_4\leftarrow 2L_4$ fournit :

L’opération $L_5\leftarrow -4L_5$ fournit :

L’échange $L_4\leftrightarrow L_5$ fournit :

L’opération $L_5\leftarrow L_5-5L_4$ fournit :

Vous simplifiez la dernière ligne après division par $2\comma$ ce qui donne :

Résolution du système

La dernière équation fournit $\boxed{w=\frac{10}{27}.}$

Puis :

Ainsi, $\boxed{v=\frac{-8}{27}.}$

Du coup :

Aussitôt, $\boxed{u=\frac{1}{27}.}$

Puis :

Cela aboutit à $\boxed{b=\frac{13}{27}.}$

Enfin $a=-2u$ d’où $\boxed{a=\frac{-2}{27}.}$

Concluez sur l’analyse

D’après ce qui précède, les polynômes $U$ et $V$ sont uniques. Ils ont pour expressions respectives :

Synthèse

Note. La synthèse pourrait être évitée, vu que la résolution du système fournit en réalité une condition nécessaire et suffisante. Il est ici privilégié une vérification, par un calcul direct, du fait que les polynômes précédemment trouvés sont effectivement solution du problème posé.

Soient $U$ et $V$ les polynômes réels définis par :

Vous calculez tout d’abord le produit $AU$ comme suit :

Vous développez le produit $BV$ comme suit :

Par somme, il vient :

Par conséquent, vous avez bien :

Concluez sur l’analyse-synthèse

Les polynômes réels $A$ et $B$ définis par :

sont premiers entre eux et non constants.

De plus, il existe un unique polynôme $U\in\R_1[X]$ et un unique polynôme $V\in\R_2[X]$ tels que :

Le théorème de Bézout avec les conditions de degré est bien vérifié sur cet exemple.

Démontrez le théorème de Bézout avec les conditions de degré

Preuve de l’existence des polynômes de Bézout lorsque deux polynômes non constants sont premiers entre eux

Vous choisissez ici d’effectuer une démonstration par récurrence forte sur le degré d’un des deux polynômes.

Pour tout entier $n$ non nul, vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété suivante :

Initialisation de la récurrence

Soient $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients dans $\K\comma$ non constants, premiers entre eux et de sorte que $B$ soit de degré $1.$

La division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme $B$ fournit l’existence de deux polynômes $Q\in\K[X]$ et $R\in\K[X]$ avec $\deg R \lt \deg B$ tels que :

Comme $\deg B = 1$ vous déduisez que $R$ est constant.

Supposez que $R$ soit le polynôme nul. Alors $A = BQ\comma$ ce qui fournit $B\mid A.$ Comme $B\mid B\comma$ le polynôme $B\comma$ qui n’est pas constant, est un diviseur commun de $A$ et de $B\comma$ ce qui contredit le fait qu’ils soient premiers entre eux. Donc $R$ n’est pas le polynôme nul.

Vous déduisez de ce qui précède qu’il existe $k\in\K^{*}$ tel que $R(X) = k.$

L’égalité $A=BQ+R$ s’écrit :

Vous posez $U(X) = \frac{1}{k}$ et $V(X) = \frac{-Q(X)}{k}.$

Vous obtenez :

Le polynôme $U$ est constant donc $U\in\K_0[X].$

D’autre part :

Comme $A$ n’est pas constant, $\deg A \geq 1.$ Comme $R$ est constant et non nul, $\deg R = 0.$ Du coup :

En prenant les degrés, vous déduisez :

Ainsi $\deg Q = \deg A – \deg B.$

Comme $B$ est de degré $1\comma$ vous déduisez $\deg Q = \deg A – 1$ et par suite $Q\in\K_{\deg A – 1}[X].$

Du coup, $V\in \K_{\deg A – 1}[X].$

La propriété $\mathscr{P}(1)$ est vraie.

Hérédité

Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous supposez que les propriétés $\mathscr{P}(1), \dots, \mathscr{P}(n)$ sont toutes vérifiées.

Vous considérez deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K\comma$ non constants et premiers entre eux, de sorte que $B$ soit de degré $n+1.$

Vous effectuez la division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme $B.$

Il existe deux polynômes $Q$ et $R\comma$ à coefficients dans $\K$ tels que :

Ainsi, $R\in\K_{n}[X].$

Si $R$ est le polynôme nul, alors $A=BQ$ donc $B$ est un diviseur commun non constant aux polynômes $A$ et $B$. Donc $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux, ce qui est absurde.

Donc $R\neq 0.$

Premier cas. Si $R$ est constant, alors il existe $k\in\K^{*}$ tel que $A = BQ+k.$

Comme $A-R = BQ$ vous déduisez :

Comme $A$ n’est pas constant et que $R$ est constant, $\deg R \lt \deg A$ donc $\deg (A-R) = \deg A.$

Du coup :

Comme $B$ n’est pas constant, il vient $Q\in\K_{\deg A – 1}[X].$

Puis :

Vous posez $U(X) = \frac{1}{k}$ et $V(X) = \frac{-Q(X)}{k}$ pour avoir finalement :

Comme $0\leq n = \deg B – 1\comma$ la propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est donc vérifiée dans ce cas.

Second cas. Le polynôme $R$ n’est pas constant.

Supposez que les polynômes $B$ et $R$ ne soient pas premiers entre eux. Il existe un diviseur $D$ commun aux polynômes $B$ et $R$ qui ne soit pas constant.

Il vient successivement :

Le polynôme $D$ est un diviseur commun non constant aux polynômes $A$ et $B\comma$ donc $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux, ce qui est absurde.

Vous déduisez que $B$ et $R$ sont premiers entre eux.

Le polynôme $R$ est non constant et de degré inférieur ou égal à $n.$ L’hypothèse de récurrence forte, plus précisément la propriété $\mathscr{P}(\deg R)\comma$ s’applique donc au couple de polynômes $(B,R).$

Il existe deux polynômes $U’$ et $V’$ à coefficients dans $\K$ tels que :

Or :

Du coup :

Vous posez :

Les polynômes $U$ et $V$ sont bien à coefficients dans $\K\comma$ et $AU+BV=1.$

D’une part :

Du coup :

D’autre part :

Si $U = 0\comma$ alors $BV=1$ donc $\deg B+\deg V = 0$ or $\deg B \geq 1$ et $\deg V\geq 0\comma$ ce qui est absurde.

Donc $U\neq 0$ et par suite $AU$ n’est pas constant. Donc $\deg AU \geq 1$ et par suite $\deg (1-AU) = \deg (AU).$

Il vient :

Par suite :

Comme $\deg U-\deg B\leq -1$ il vient $\deg V \leq \deg A-1.$

La propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est bien vérifiée.

Concluez sur la récurrence

Par récurrence forte, il vient d’être démontré l’existence des polynômes de Bézout avec la condition de degré :

Preuve de l’unicité des polynômes de Bézout lorsque deux polynômes non constants sont premiers entre eux

Vous considérez deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K\comma$ non constants et premiers entre eux.

D’après ce qui précède, il existe des polynômes $U$ et $V$ à coefficients dans $\K$ tels que :

Supposez qu’il existe deux autres polynômes $U’$ et $V’$ à coefficients dans $\K$ tels que :

Il vient successivement :

Du coup, après multiplication par $V’-V$ de l’égalité $AU+BV=1\comma$ puis en remplaçant $B(V’-V)$ par $A(U-U’)\comma$ vous obtenez :

Vous posez :

Vous avez :

Si $D$ n’est pas le polynôme nul, il vient :

Comme $V$ et $V’$ sont deux polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $\deg A-1\comma$ il en est de même du polynôme $V’-V.$ Par conséquent $\deg (V’-V)\leq \deg A-1\comma$ ce qui contredit le résultat précédent.

Donc $D=0$ d’où $AD=0$ puis $V=V’.$

L’égalité $A(U-U’)=B(V’-V)$ fournit $A(U-U’)=0.$ Or $A$ n’est pas le polynôme nul puisqu’il est non constant. Par intégrité de l’anneau $\K[X]$ il vient $U-U’=0$ et $U=U’.$

À ce stade, l’existence et l’unicité des polynômes de Bézout avec la condition de degré sont démontrées :

Preuve de la réciproque : si les polynômes de Bézout existent, les polynômes de départ sont premiers entre eux

Vous considérez deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K$ et non constants.

Vous supposez qu’il existe un unique couple de polynômes $(U,V)$ à coefficients dans $\K$ tel que :

Seule la condition $AU+BV=1$ sera utilisée.

En effet, supposez que $A$ et $B$ admettent un diviseur commun $D$ non constant à coefficients dans $\K.$

Vous avez successivement :

Du coup, par somme :

Il existe un polynôme $E$ à coefficients dans $\K$ tel que :

Donc $E$ n’est pas le polynôme nul, donc $\deg E \geq 0.$
Or, en prenant les degrés :

Or $\deg D \geq 1$ donc $\deg D+\deg E\geq 1$ ce qui est absurde.

Les polynômes $A$ et $B$ n’admettant aucun diviseur commun non constant, ils sont premiers entre eux.

Le théorème de Bézout avec les conditions de degré est ainsi prouvé, il s’énonce de façon formelle ainsi :

Prolongement

Soient $A$ et $B$ deux polynômes non constants à coefficients dans un corps $\K\comma$ tels que $A$ et $B$ soient premiers entre eux dans $\K[X].$

Existe-t-il un procédé systématique permettant de calculer les polynômes $U$ et $V$ tels que $AU+BV=1$ avec les conditions de degré $\deg U \leq \deg B-1$ et $\deg V \leq \deg A-1$ sans être amené à résoudre un système ? La réponse est affirmative et sera explicitée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 327.