Il s’agit de démontrer dans cet article l’identité suivante :
\boxed{\tan 9°−\tan27°−\tan 63°+\tan 81°=4.}Utilisant la symétrie par rapport à $45°$, vous constatez que $63° = 45°+18°$ et que $27° = 45°-18°.$
Vous posez, pour l’intégralité de cet article, $x=\frac{\pi}{10}.$
C’est le réel qui mesure en radians un angle de $18°.$ Vous effectuez le calcul d’une première somme.
Calculez la somme $\tan 27°+\tan 63°$
\begin{align*}
\tan 27°+\tan63° &= \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\\
&=\frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan\left(x\right) }{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(x\right) } + \frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(x\right) }{1-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(x\right) }.
\end{align*}Utilisant l’égalité $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ vous obtenez :
\begin{align*}
\tan 27°+\tan 63°
&=\frac{ 1 - \tan\left(x\right) }{1+ \tan\left(x\right) } + \frac{ 1 + \tan\left(x\right) }{1- \tan\left(x\right) } \\
&=\frac{(1-\tan x)^2+(1+\tan x)^2}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{1-2\tan x + \tan^2 x+1+2\tan x+\tan^2x}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{2 + 2\tan^2 x}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{2( 1+ \tan^2 x) }{1-\tan^2 x}.
\end{align*}Calculez la somme $\tan 9°+\tan 81°$
Comme précédemment, utilisez la symétrie autour de $45°$.
Partant de $81° = 45° + 2\times 18°$ et de $81° = 45° + 2\times 18°$ vous obtenez :
\begin{align*}
\tan 9°+\tan 81° &= \tan\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)\\
&=\frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan\left(2x\right) }{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(2x\right) } + \frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(2x\right) }{1-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(2x\right) }\\
&=\frac{ 1 - \tan\left(2x\right) }{1+ \tan\left(2x\right) } + \frac{ 1 + \tan\left(2x\right) }{1- \tan\left(2x\right) } \\
&= \frac{2(1 + \tan^2 (2x)) }{1-\tan^2 (2x)}.
\end{align*}Exprimez $\frac{ 1+ \tan^2 u}{1-\tan^2 u}$ en fonction de $\cos (2u)$
Soit $u\in\{x, 2x\}.$ Vous utilisez les égalités $1+\tan^2 u = \frac{1}{\cos ^2 u}$ et $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$ et obtenez ce qui suit :
\begin{align*}
\tan^2 u &= (1+\tan^2 u) -1\\
&=\frac{1}{\cos^2 u}-1\\
&=\frac{1}{\frac{1+\cos (2u)}{2}}-1\\
&=\frac{2}{1+\cos 2u}-1.
\end{align*}Par suite :
\begin{align*}
1-\tan^2u &= 1-\frac{2}{1+\cos 2u}+1\\
&=2-\frac{2}{1+\cos 2u}\\
&=\frac{2+2\cos 2u-2}{1+\cos 2u}\\
&=\frac{2\cos 2u}{1+\cos 2u}.
\end{align*}Vous déduisez :
\begin{align*}
\frac{ 1+ \tan^2 u}{1-\tan^2 u} &= \frac{\frac{1}{\cos^2 u}}{\frac{2\cos 2u}{1+\cos 2u}}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{2\cos 2u \cos^2u}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{2\cos 2u\times \frac{1+\cos 2u}{2}}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{\cos 2u(1+\cos 2u) }\\
&=\frac{1}{\cos 2u}.
\end{align*}Note. Il y a des moyens plus rapides d’aboutir à ce résultat, le lecteur est invité à proposer une autre solution.
Concluez
D’après ce qui précède :
\begin{align*}
\tan 9°−\tan 27° −\tan 63°+\tan 81° &= (\tan 9°+\tan81°)-(\tan 27°+\tan 63°)\\
&=\frac{2 }{\cos 4 x}-\frac{2}{\cos 2x}\\
&=\frac{2 }{\cos 72°}-\frac{2}{\cos 36°}\\
\end{align*}Or, le contenu rédigé dans l'article 106 a permis de montrer que :
\left\{\begin{align*}
\cos 72° &= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\\
\cos 36° &= \frac{1+\sqrt{5}}{4}.
\end{align*}
\right.Vous finissez ainsi le calcul comme suit :
\begin{align*}
\tan 9°−\tan 27° −\tan 63°+\tan 81° &= \frac{8}{\sqrt{5}-1}-\frac{8}{\sqrt{5}+1}\\
&=\frac{8\sqrt{5}+8-8\sqrt{5}+8}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) }\\
&=\frac{16}{5-1}\\
&=4.
\end{align*}En définitive, il a bien été montré que :
\boxed{\tan 9°−\tan27°−\tan 63°+\tan 81°=4.}Partagez !
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