Il s’agit de démontrer dans ce contenu l’identité suivante :
\boxed{\tan 9^\circ-\tan27^\circ-\tan 63^\circ+\tan 81^\circ=4.}
En utilisant la symétrie par rapport à $45^\circ\comma$ vous constatez que $63^\circ = 45^\circ+18^\circ$ et que $27^\circ = 45^\circ-18^\circ.$
Vous posez, pour l’intégralité de ce contenu, $x=\frac{\pi}{10}.$
C’est le réel qui mesure en radians un angle de $18^\circ.$ Vous effectuez le calcul d’une première somme.
Calculez la somme $\tan 27^\circ+\tan 63^\circ$
\begin{align*}
\tan 27^\circ+\tan63^\circ &= \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\\
&=\frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) – \tan\left(x\right) }{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(x\right) } + \frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(x\right) }{1-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(x\right) }.
\end{align*}
En utilisant l’égalité $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ vous obtenez :
\begin{align*}
\tan 27^\circ+\tan 63^\circ
&=\frac{ 1 – \tan\left(x\right) }{1+ \tan\left(x\right) } + \frac{ 1 + \tan\left(x\right) }{1- \tan\left(x\right) } \\
&=\frac{(1-\tan x)^2+(1+\tan x)^2}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{1-2\tan x + \tan^2 x+1+2\tan x+\tan^2x}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{2 + 2\tan^2 x}{1-\tan^2 x}\\
&=\frac{2( 1+ \tan^2 x) }{1-\tan^2 x}.
\end{align*}
Calculez la somme $\tan 9^\circ+\tan 81^\circ$
Comme précédemment, utilisez la symétrie autour de $45^\circ.$
Partant de $9^\circ = 45^\circ – 2\times 18^\circ$ et de $81^\circ = 45^\circ + 2\times 18^\circ$ vous obtenez :
\begin{align*}
\tan 9^\circ+\tan 81^\circ &= \tan\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)\\
&=\frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) – \tan\left(2x\right) }{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(2x\right) } + \frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(2x\right) }{1-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(2x\right) }\\
&=\frac{ 1 – \tan\left(2x\right) }{1+ \tan\left(2x\right) } + \frac{ 1 + \tan\left(2x\right) }{1- \tan\left(2x\right) } \\
&= \frac{2(1 + \tan^2 (2x)) }{1-\tan^2 (2x)}.
\end{align*}
La dernière égalité s’obtient par le même calcul que précédemment, en remplaçant $x$ par $2x.$
Exprimez $\frac{ 1+ \tan^2 u}{1-\tan^2 u}$ en fonction de $\cos (2u)$
Soit $u\in\{x, 2x\}.$ Vous utilisez les égalités $1+\tan^2 u = \frac{1}{\cos ^2 u}$ et $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$ et obtenez ce qui suit :
\begin{align*}
\tan^2 u &= (1+\tan^2 u) -1\\
&=\frac{1}{\cos^2 u}-1\\
&=\frac{1}{\frac{1+\cos (2u)}{2}}-1\\
&=\frac{2}{1+\cos 2u}-1.
\end{align*}
Par suite :
\begin{align*}
1-\tan^2u &= 1-\frac{2}{1+\cos 2u}+1\\
&=2-\frac{2}{1+\cos 2u}\\
&=\frac{2+2\cos 2u-2}{1+\cos 2u}\\
&=\frac{2\cos 2u}{1+\cos 2u}.
\end{align*}
Comme $2u$ vaut $\frac{\pi}{5}$ ou $\frac{2\pi}{5}\comma$ le réel $\cos 2u$ est non nul. Vous déduisez :
\begin{align*}
\frac{ 1+ \tan^2 u}{1-\tan^2 u} &= \frac{\frac{1}{\cos^2 u}}{\frac{2\cos 2u}{1+\cos 2u}}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{2\cos 2u \cos^2u}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{2\cos 2u\times \frac{1+\cos 2u}{2}}\\
&=\frac{1+\cos 2u}{\cos 2u(1+\cos 2u) }\\
&=\frac{1}{\cos 2u}.
\end{align*}
Note. Il y a des moyens plus rapides d’aboutir à ce résultat ; le lecteur est invité à proposer une autre solution.
Concluez
D’après ce qui précède, en appliquant le résultat avec $u=2x$ puis avec $u=x\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
\tan 9^\circ-\tan 27^\circ -\tan 63^\circ+\tan 81^\circ &= (\tan 9^\circ+\tan81^\circ)-(\tan 27^\circ+\tan 63^\circ)\\
&=\frac{2 }{\cos 4 x}-\frac{2}{\cos 2x}\\
&=\frac{2 }{\cos 72^\circ}-\frac{2}{\cos 36^\circ}.
\end{align*}
Or, il a été montré dans un autre article que :
\left\{\begin{align*}
\cos 72^\circ &= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\\
\cos 36^\circ &= \frac{1+\sqrt{5}}{4}.
\end{align*}
\right.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 106.
Vous finissez ainsi le calcul comme suit :
\begin{align*}
\tan 9^\circ-\tan 27^\circ -\tan 63^\circ+\tan 81^\circ &= \frac{8}{\sqrt{5}-1}-\frac{8}{\sqrt{5}+1}\\
&=\frac{8\sqrt{5}+8-8\sqrt{5}+8}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) }\\
&=\frac{16}{5-1}\\
&=4.
\end{align*}
En définitive, il a bien été montré que :
\boxed{\tan 9^\circ-\tan27^\circ-\tan 63^\circ+\tan 81^\circ=4.}
