106. Le calcul du cosinus de 36° et du cosinus de 72°

Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\dfrac{\pi}{5}$. De même un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\dfrac{2\pi}{5}$.

Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\dfrac{2\pi}{5}$ et du cosinus de $\dfrac{\pi}{5}.$

Voilà les étapes à suivre : vous factorisez un polynôme dans les complexes, puis dans les réels et déduisez des équations permettant de trouver les valeurs.

Factorisez le polynôme $z^5-1$ dans $\C[z]$

D’abord résolvez l’équation $z^5=1.$

Analyse. Soit $z\in\C$ une solution de l’équation $z^5=1$. Alors $z\neq 0$, donc il existe un réel $r>0$ et un réel $\theta$ tels que $z = r\e^{i\theta}.$

De là vous déduisez que $|z^5| = |z|^5 = 1 = r^5$ et par suite $r=1.$

Du coup $1 = z^5 = \e^{5i\theta}$ et donc il existe $k\in\Z$, $5\theta = 2k\pi$ et $\theta = \dfrac{2k\pi}{5}.$

Synthèse. Pour tout entier $k$ compris entre $-2$ et $2$, posez $z_k = \e^{2ik\pi / 5}.$

Pour plus de lisibilité posez $\alpha = \dfrac{2\pi}{5}.$

$z_k^5 = \e^{5ik\alpha} = \e^{2i\pi} = 1.$

Les nombres complexes $z_{-2}, z_{-1}, z_0, z_1 et z_2$ sont deux à deux distincts et sont au nombre $5$, par conséquent :

$\boxed{\forall z\in\C, z^5-1 = (z-1)(z-\e^{i\alpha})(z-\e^{-i\alpha})(z-\e^{2i\alpha})(z-\e^{-2i\alpha})}.$

Factorisez le polynôme $z^5-1$ dans $\R[z]$

Il suffit de regrouper les racines complexes conjuguées.

$\begin{align*}
(z-\e^{i\alpha})(z-\e^{-i\alpha}) &= z^2-(\e^{i\alpha} + \e^{-i\alpha})z+1\\
&=z^2-2z\cos \alpha + 1\\
&=z^2-2z\cos \dfrac{2\pi}{5}+ 1.
\end{align*}$

$\begin{align*}
(z-\e^{2i\alpha})(z-\e^{-2i\alpha}) &= z^2-(\e^{2i\alpha} + \e^{-2i\alpha})z+1\\
&=z^2-2z\cos 2\alpha + 1\\
&=z^2-2z\cos \dfrac{4\pi}{5}+1\\
&=z^2+2z\cos \dfrac{\pi}{5}+1\\
\end{align*}$

$\boxed{\forall x\in\R, x^5-1 = (x-1)\left(x^2-2x\cos \dfrac{2\pi}{5}+ 1\right)\left(x^2+2x\cos \dfrac{\pi}{5}+1\right)}.$

Effectuez la division euclidienne de $x^5-1$ par $x-1$

$\begin{array}{rrrrrr|ll}
x^5 & & & & &-1 &x&-1 \\
x^5 & -x^4 & & & & &x^4&+x^3+x^2+x+1\\ \hline
& x^4 & & & & -1 \\
& x^4 & -x^3 \\ \hline
& & x^3 & & &-1 \\
& & x^3 & -x^2 \\\hline
& & &x^2 & &-1\\
& & & x^2 &-x\\ \hline
&&&&x&-1 \\
&&&&x&-1 \\\hline
&&&&&0
\end{array}$

Par unicité du quotient dans une division euclidienne, vous déduisez que :

$\boxed{\forall x\in\R, x^4+x^3+x^2+x+1 = \left(x^2-2\cos \dfrac{2\pi}{5}x+ 1\right)\left(x^2+2\cos \dfrac{\pi}{5}x+1\right)}.$

Pour simplifier les notations, posez $u=\cos \dfrac{2\pi}{5}$ et $v=\cos \dfrac{\pi}{5}.$

Effectuez la division euclidienne de $x^4+x^3+x^2+x+1$ par $x^2-2ux+1$

$\begin{array}{rrrrr|lll}
x^4 & +x^3 & +x^2 & +x & +1 & x^2&-2ux&+1\\
x^4 & -2ux^3 & +x^2 & & &x^2 &+(1+2u)x &+(2u+4u^2)\\ \hline
&(1+2u)x^3 & &+x & +1 \\
&(1+2u)x^3 & +(-2u-4u^2)x^2 & +(1+2u)x\\ \hline
& & (2u+4u^2)x^2 & -2ux & +1\\
& &(2u+4u^2)x^2 &+ (-4u^2-8u^3)x&+(2u+4u^2) \\ \hline
& & & (4u^2+8u^3-2u)x&+(-4u^2-2u+1)
\end{array}$

Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, et identification des coefficients de deux polynômes, vous obtenez les relations :

$\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
2u+4u^2 &=1 \\
4u^2+8u^3-2u &=0\\
-4u^2-2u+1 &=0
\end{align*}\right.$

$\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
2u-4u^2 &=1 \\
2u(2u+4u^2-1) &=0\\
4u^2+2u-1 &=0.
\end{align*}\right.$

Concluez avec les valeurs exactes des cosinus

Par redondance des relations, vous avez à résoudre :

$\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
4u^2+2u-1 &=0.
\end{align*}\right.$

La résolution de l’équation $4x^2-2x+1=0$ d’inconnue $x\in \R$ aboutit à deux solutions distinctes, $u_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{20}}{8} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $u_2 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$, et donc $u\in\{u_1,u_2\}.$

Or, le réel $u=\cos \dfrac{2\pi}{5}$ est strictement positif vu que $0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent $\boxed{u=\cos \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}}.$

De $4u = -1+\sqrt{5}$ et de $4v = 4u+2 = -1+\sqrt{5} + 2 = 1+\sqrt{5}$, vous déduisez que $\boxed{v = \cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}.$

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