Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\dfrac{\pi}{5}$. De même un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\dfrac{2\pi}{5}$.
Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\dfrac{2\pi}{5}$ et du cosinus de $\dfrac{\pi}{5}.$
Voilà les étapes à suivre : vous factorisez un polynôme dans les complexes, puis dans les réels et déduisez des équations permettant de trouver les valeurs.
Factorisez le polynôme $X^5-1$ dans $\C[X]$
D’abord résolvez l’équation $z^5=1$ où $z\in\C.$
Analyse. Soit $z\in\C$ une solution de l’équation $z^5=1$. Alors $z\neq 0$, donc il existe un réel $r>0$ et un réel $\theta$ tels que $z = r\e^{i\theta}.$
De là vous déduisez que $\vert z^5\vert = \vert z\vert^5 = 1 = r^5$ et par suite $r=1.$
Du coup $1 = z^5 = \e^{5i\theta}$ et donc il existe $k\in\Z$, $5\theta = 2k\pi$ et $\theta = \dfrac{2k\pi}{5}.$
Synthèse. Pour tout entier $k$ compris entre $-2$ et $2$, posez $z_k = \e^{2ik\pi / 5}.$
Pour plus de lisibilité posez $\alpha = \dfrac{2\pi}{5}.$
$z_k^5 = \e^{5ik\alpha} = (\e^{2i\pi})^k = 1^k = 1.$
Les nombres complexes $z_{-2}, z_{-1}, z_0, z_1$ et $z_2$ sont deux à deux distincts et sont au nombre $5$, par conséquent, le polynôme unitaire $X^5-1$ est scindé sur $\C[X]$ et :
\boxed{ X^5-1 = (X-1)(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha})(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha})}.Factorisez le polynôme $X^5-1$ dans $\R[X]$
Il suffit de regrouper les racines complexes conjuguées.
\begin{align*}
(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha}) &= X^2-(\e^{i\alpha} + \e^{-i\alpha})X+1\\
&=X^2-2X\cos \alpha + 1\\
&=X^2-2X\cos \dfrac{2\pi}{5}+ 1.
\end{align*}\begin{align*}
(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha}) &= X^2-(\e^{2i\alpha} + \e^{-2i\alpha})X+1\\
&=X^2-2X\cos 2\alpha + 1\\
&=X^2-2X\cos \dfrac{4\pi}{5}+1\\
&=X^2+2X\cos \dfrac{\pi}{5}+1\\
\end{align*}Du coup :
\boxed{X^5-1 = (X-1)\left(X^2-2X\cos \dfrac{2\pi}{5}+ 1\right)\left(X^2+2X\cos \dfrac{\pi}{5}+1\right)}.Effectuez la division euclidienne de $X^5-1$ par $X-1$
\begin{array}{rrrrrr|ll}
X^5 & & & & &-1 &X&-1 \\
X^5 & -X^4 & & & & &X^4&+X^3+X^2+X+1\\ \hline
& X^4 & & & & -1 \\
& X^4 & -X^3 \\ \hline
& & X^3 & & &-1 \\
& & X^3 & -X^2 \\\hline
& & &X^2 & &-1\\
& & & X^2 &-X\\ \hline
&&&&X&-1 \\
&&&&X&-1 \\\hline
&&&&&0
\end{array}Par unicité du quotient dans une division euclidienne, vous déduisez que :
\boxed{ X^4+X^3+X^2+X+1 = \left(X^2-2\cos \dfrac{2\pi}{5}X+ 1\right)\left(X^2+2\cos \dfrac{\pi}{5}X+1\right)}.Pour simplifier les notations, posez $\boxed{u=\cos \dfrac{2\pi}{5} }$ et $\boxed{v=\cos \dfrac{\pi}{5}.}$
Effectuez la division euclidienne de $X^4+X^3+X^2+X+1$ par $X^2-2uX+1$
\begin{array}{rrrrr|lll}
X^4 & +X^3 & +X^2 & +X & +1 & X^2&-2uX&+1\\
X^4 & -2uX^3 & +X^2 & & &X^2 &+(1+2u)X &+(2u+4u^2)\\ \hline
&(1+2u)X^3 & &+X & +1 \\
&(1+2u)X^3 & +(-2u-4u^2)X^2 & +(1+2u)X\\ \hline
& & (2u+4u^2)X^2 & -2uX & +1\\
& &(2u+4u^2)X^2 &+ (-4u^2-8u^3)X&+(2u+4u^2) \\ \hline
& & & (4u^2+8u^3-2u)X&+(-4u^2-2u+1)
\end{array}Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, et identification des coefficients de deux polynômes, vous obtenez les relations :
\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
2u+4u^2 &=1 \\
4u^2+8u^3-2u &=0\\
-4u^2-2u+1 &=0
\end{align*}\right.Soit :
\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
2u-4u^2 &=1 \\
2u(2u+4u^2-1) &=0\\
4u^2+2u-1 &=0.
\end{align*}\right.Concluez avec les valeurs exactes des cosinus de 36° et de 72°
Par redondance des relations, vous avez à résoudre :
\left\{\begin{align*}
1+2u &= 2v \\
4u^2+2u-1 &=0.
\end{align*}\right.La résolution de l’équation $4x^2+2x-1=0$ d’inconnue $x\in \R$ aboutit à deux solutions distinctes, $u_1 = \dfrac{-2 + \sqrt{20}}{8} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $u_2 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$, et donc $u\in\{u_1,u_2\}.$
Or, le réel $u=\cos \dfrac{2\pi}{5}$ est strictement positif vu que $0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$, par conséquent $\boxed{u=\cos \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}}.$
De $4u = -1+\sqrt{5}$ et de $4v = 4u+2 = -1+\sqrt{5} + 2 = 1+\sqrt{5}$, vous déduisez que $\boxed{v = \cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}.$
Prolongement
Vous souhaitez calculer $\cos (72^{\circ})= \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos (36^{\circ}) = \cos\frac{\pi}{5}$ en utilisant une solution géométrique ? Allez jeter un coup d’œil dans le contenu rédigé dans l'article 331.
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