106. Calculez algébriquement les valeurs de cos 36° et de cos 72°

Un angle de $36°$ correspond, en radians, à un angle de $\frac{\pi}{5}.$ De même, un angle de $72°$ admet une mesure en radians égale à $\frac{2\pi}{5}.$

Les nombres complexes permettent de trouver les valeurs des cosinus de $\frac{2\pi}{5}$ et du cosinus de $\frac{\pi}{5}.$

Voilà les étapes à suivre : vous factorisez un polynôme dans les complexes, puis dans les réels et déduisez des équations permettant de trouver les valeurs.

Factorisez le polynôme $X^5-1$ dans $\C[X]$

D’abord résolvez l’équation $z^5=1$ où $z\in\C.$

Analyse. Soit $z\in\C$ une solution de l’équation $z^5=1.$ Alors $z\neq 0\comma$ donc il existe un réel $r\gt 0$ et un réel $\theta$ tels que $z = r\e^{i\theta}.$

De là, vous déduisez que $\vert z^5\vert = \vert z\vert^5 = 1 = r^5$ et par suite $r=1.$

Du coup, $1 = z^5 = \e^{5i\theta}\comma$ donc il existe $k\in\Z\comma$ tel que $5\theta = 2k\pi$ et $\theta = \frac{2k\pi}{5}.$

Synthèse. Pour tout entier $k$ compris entre $-2$ et $2\comma$ posez $z_k = \e^{2ik\pi / 5}.$ Pour plus de lisibilité, posez $\alpha = \frac{2\pi}{5}.$ Alors :

z_k^5 = \e^{5ik\alpha} = (\e^{2i\pi})^k = 1^k = 1.

Les nombres complexes $z_{-2}, z_{-1}, z_0, z_1$ et $z_2$ sont deux à deux distincts et sont au nombre $5\comma$ par conséquent, le polynôme unitaire $X^5-1$ est scindé sur $\C[X]$ et :

\boxed{ X^5-1 = (X-1)(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha})(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha}).}

Factorisez le polynôme $X^5-1$ dans $\R[X]$

Vous regroupez les racines complexes conjuguées. Ainsi :

\begin{align*} (X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha}) &= X^2-(\e^{i\alpha} + \e^{-i\alpha})X+1\\ &=X^2-2X\cos \alpha + 1\\ &=X^2-2X\cos \frac{2\pi}{5}+ 1. \end{align*}

De même :

\begin{align*} (X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha}) &= X^2-(\e^{2i\alpha} + \e^{-2i\alpha})X+1\\ &=X^2-2X\cos 2\alpha + 1\\ &=X^2-2X\cos \frac{4\pi}{5}+1\\ &=X^2+2X\cos \frac{\pi}{5}+1. \end{align*}

Du coup :

\boxed{X^5-1 = (X-1)\left(X^2-2X\cos \frac{2\pi}{5}+ 1\right)\left(X^2+2X\cos \frac{\pi}{5}+1\right).}

Effectuez la division euclidienne de $X^5-1$ par $X-1$

Vous avez :

\begin{array}{r|l} X^5 -1 & \underline{X-1} \\ \underline{X^5-X^4} &X^4 +X^3+X^2+X+1\\ X^4 -1\\ \underline{X^4 -X^3} \\ X^3 -1\\ \underline{X^3 -X^2} \\ X^2 -1\\ \underline{X^2 -X} \\ X -1\\ \underline{X-1} \\ 0 \end{array}

Par unicité du quotient dans une division euclidienne, vous déduisez que :

\boxed{ X^4+X^3+X^2+X+1 = \left(X^2-2\cos \frac{2\pi}{5}X+ 1\right)\left(X^2+2\cos \frac{\pi}{5}X+1\right).}

Pour simplifier les notations, vous posez $\boxed{u=\cos \frac{2\pi}{5} }$ et $\boxed{v=\cos \frac{\pi}{5}.}$

Effectuez la division euclidienne du polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ par $X^2-2uX+1$

Vous obtenez :

\begin{array}{r|l} X^4 +X^3 +X^2 +X +1 & \underline{X^2-2uX +1}\\ \underline{X^4 -2uX^3 +X^2} &X^2 +(1+2u)X +(2u+4u^2)\\ (1+2u)X^3 +X +1\\ \underline{(1+2u)X^3 +(-2u-4u^2)X^2 +(1+2u)X}\\ (2u+4u^2)X^2 -2uX +1\\ \underline{(2u+4u^2)X^2 + (-4u^2-8u^3)X+(2u+4u^2)} \\ (4u^2+8u^3-2u)X+(-4u^2-2u+1) \end{array}

Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, et identification des coefficients de deux polynômes, vous obtenez les relations :

\left\{\begin{align*} 1+2u &= 2v \\ 2u+4u^2 &=1 \\ 4u^2+8u^3-2u &=0\\ -4u^2-2u+1 &=0. \end{align*}\right.

Soit :

\left\{\begin{align*} 1+2u &= 2v \\ 2u-4u^2 &=1 \\ 2u(2u+4u^2-1) &=0\\ 4u^2+2u-1 &=0. \end{align*}\right.

Concluez avec les valeurs exactes des cosinus de 36° et de 72°

Par redondance des relations, vous avez à résoudre :

\left\{\begin{align*} 1+2u &= 2v \\ 4u^2+2u-1 &=0. \end{align*}\right.

La résolution de l’équation $4x^2+2x-1=0$ d’inconnue $x\in \R$ aboutit à deux solutions distinctes, $u_1 = \frac{-2 + \sqrt{20}}{8} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $u_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\comma$ et donc $u\in\{u_1,u_2\}.$

Or, le réel $u=\cos \frac{2\pi}{5}$ est strictement positif vu que $0\lt \frac{2\pi}{5}\lt\frac{\pi}{2}.$ Par conséquent :

\boxed{u=\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}.}

Des relations $4u = -1+\sqrt{5}$ et $4v = 4u+2 = -1+\sqrt{5} + 2 = 1+\sqrt{5}\comma$ vous déduisez que :

\boxed{v = \cos \frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.}

Prolongement

Vous souhaitez calculer $\cos (72^{\circ})= \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos (36^{\circ}) = \cos\frac{\pi}{5}$ en utilisant une solution géométrique ?

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 331.