Soit $\F_{2} = \{0,1\}$ le corps fini à deux éléments, muni de l’opération commutative d’addition suivante :
\left\{\begin{align*}
0+0 &= 0\\
0+1 &= 1\\
1+1 &=0.
\end{align*}
\right.Le produit commutatif est défini de la façon usuelle suivante :
\left\{
\begin{align*}
0\times0 &= 0\\
0\times 1 &= 0\\
1\times 1 &=1.
\end{align*}
\right.Vous notez $A$ l’ensemble quotient défini par $\F_{2}[X] / (X^4+X^3+X^2+X+1)$ et $B$ l’ensemble quotient défini par $\F_{2}[X] / (X^4+X+1).$
Le lecteur est amené à vérifier par lui-même que les polynômes $X^4+X^3+X^2+X+1$ et $X^4+X+1$ sont irréductibles dans $\F_{2}[X].$
L’ensemble $A$ est un corps, il contient un élément $a\notin \F_{2}$ tel que $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ et de sorte que $A = \{x+ y a+z a^2+ta^3, (x,y,z,t)\in \F_{2}^4\}.$ De plus, $a$ est annulé par le polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ qui est aussi son polynôme minimal dans $\F_2[X].$
De même, l’ensemble $B$ est un corps, il contient un élément $b\notin \F_{2}$ tel que $b^4+b+1=0$ et de sorte que $B = \{x+ y b+z b^2+tb^3, (x,y,z,t)\in \F_{2}^4\}.$ De plus, $b$ est annulé par le polynôme $X^4+X+1$ qui est aussi son polynôme minimal dans $\F_2[X].$
Vous en déduisez que $A$ et $B$ possèdent ainsi $2^4 =16$ éléments chacun.
Le but de cet article est d’expliciter un isomorphisme du corps $B$ vers le corps $A.$
Analysez la situation pour construire un isomorphisme de corps
Soit $k$ un isomorphisme allant de $B$ vers $A.$
Partez de la relation $b^4+b+1=0.$ En appliquant $k$, il vient :
k(b^4+b+1) = k(0).
$k$ en tant qu’isomorphisme, vérifie $k(0)=0$ et $k(1)=1$ donc :
\begin{align*}
k(b^4)+k(b)+k(1)&=k(0)\\
(k(b))^4+k(b)+1 &=0
\end{align*} Vous posez $u = k(b)$ et obtenez que $u$ vérifie l’équation $u^4+u+1 = 0$, avec $u\in A.$
Du coup, il existe $x$, $y$, $z$ et $t$ quatre éléments de $\F_{2}$ tels que :
u = x+ya+za^2+ta^3.
Vous calculez $u^2$ en tenant compte du fait que $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ ce qui s’écrit $\boxed{a^4 =a^3+a^2+a+1}$, compte tenu du fait que l’opposé de $1$ dans $\F_{2}$ est égal à lui-même, vu que $1+1=0.$
En multipliant la relation précédente par $a$, il vient :
\begin{align*}
a^5 &=a^4+a^3+a^2+a\\
&= (a^3+a^2+a+1)+a^3+a^2+a\\
&=1.
\end{align*}Ainsi $\boxed{a^5=1.}$
En multipliant à nouveau par $a$, il vient $\boxed{a^6=a}.$
Vous pouvez ainsi procéder au calcul de $u^2$ qui fournit successivement :
\begin{align*}
u^2 &= (x+ya+za^2+ta^3)^2\\
&= x^2+y^2a^2+z^2a^4+t^2a^6.
\end{align*}En effet, compte tenu de l’égalité $1+1=0$ tous les double produits sont nuls.
Or, dans $\F_{2}$ tout élément est égal à son carré. L’expression de $u^2$ se simplifie grandement :
u^2 = x+ya^2+za^4+ta^6.
Du coup :
\begin{align*}
u^2 &= x+ya^2+za^4+ta^6\\
&= x+ya^2+z(a^3+a^2+a+1)+ta\\
&=(x+z)+(z+t)a+(y+z)a^2+za^3.
\end{align*}Pour calculer $u^4$, vous calculez le carré de $u^2$ en utilisant l’expression précédente.
Vous posez $x’=x+z$, $y’ =z+t$, $z’=y+z$, $t’=z$
\begin{align*}
u^4 &= (x'+z')+(z'+t')a+(y'+z')a^2+z'a^3\\
&=(x+z+y+z)+(y+z+z)a+(z+t+y+z)a^2+(y+z)a^3\\
&=(x+t)+ya+(y+t)a^2+(y+z)a^3.
\end{align*}Ainsi, $u^4+u+1=0$, d’où :
\begin{align*}
(1+x+t+x)+(y+y)a+(y+z+t)a^2+(y+z+t)a^3 &=0\\
(1+t)+(y+z+t)a^2+(y+z+t)a^3&=0
\end{align*} Le polynôme minimal de $a$ dans $\F_2[X]$ étant de degré $4$, vous avez nécessairement :
\left\{\begin{align*}
1+t &= 0\\
y+z+t &=0.
\end{align*}
\right.D’où finalement :
\left\{\begin{align*}
t&=1\\
y&=1+z.
\end{align*}
\right.Cela fait deux possibilités pour $x$ et deux possibilités pour $z$, soit potentiellement quatre candidats pour $k.$
Vous choisissez $x=0$ et $z=0$, vous avez donc $y=1$ et $t=1$ ce qui conduit à $u = a+a^3.$
Dans ces conditions, $k(b)=a+a^3$, puis :
\begin{align*}
k(b^2) &= k(b)^2 \\
&= u^2\\
&= (a+a^3)^2\\
&=a^2+a^6\\
&=a+a^2.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
k(b^3) &= k(b)^2 k(b) \\
&= (a+a^2)(a+a^3)\\
&=a^2+a^4+a^3+a^5\\
&=a^2+(a^3+a^2+a+1)+a^3+1\\
&=a.
\end{align*}Soit maintenant $x$, $y$, $z$ et $t$ quatre éléments de $\F_2.$
Il vient :
\begin{align*}
k(x+yb+zb^2+tb^3) = k(x)+k(y)k(b)+k(z)k(b^2)+k(t)k(b^3).
\end{align*}Or, $k(0)=0$ et $k(1)=1$ donc $k(x)=x$, $k(y)=y$, $k(z)=z$ et $k(t)=t.$
D’où :
\begin{align*}
k(x+yb+zb^2+tb^3) &= x+y k(b)+z k(b^2)+tk(b^3)\\
&=x+y(a+a^3)+z(a+a^2)+ta\\
&=x+(y+z+t)a+za^2+ya^3.
\end{align*}Synthèse
Pour tout $\xi$ de $B$, il existe un unique quadruplet $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ tel que :
\boxed{\xi =x+yb+zb^2+tb^3.}A $\xi$, vous associez l’élément de $A$ noté $k(\xi)$ défini par :
\boxed{k(\xi) = x+(y+z+t)a+za^2+ya^3.}Il s’agit de comprendre pourquoi $k$ est un isomorphisme de $B$ vers $A.$
Vous avez $1 = 1+0b+0b^2+0b^3$, si bien que :
k(1) =1+(0+0+0)a+0a^2+0a^3 = 1.
L’application $k$ envoie le neutre de la multiplication de $B$ sur le neutre de la multiplication de $A.$
Soient $\xi$ et $\xi’$ deux éléments de $B$. Il existe deux quadruplets $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ et $(x’,y’,z’,t’)\in\F_2^4$ tels que :
\begin{align*}
\xi &= x+yb+zb^2+tb^3\\
\xi' &=x'+y'b+z'b^2+t'b^3.
\end{align*}Alors :
\xi+\xi' = (x+x')+(y+y')b+(z+z')b^2+(t+t')b^3.
Du coup, par définition de $k$, il vient :
\begin{align*}
k(\xi+\xi') &= (x+x') + (y+y'+z+z'+t+t')a+(z+z')a^2+(y+y')a^3\\
&= x+(y+z+t)a+za^2+ya^3 + x'+(y'+z'+t')a+z'a^2+y'a^3\\
&=k(\xi)+k(\xi').
\end{align*} Du coup :
\forall (\xi, \xi')\in B^2, k(\xi+\xi')=k(\xi)+k(\xi').
L’application $k$ conserve l’addition.
Soient $\xi$ et $\xi’$ deux éléments de $B$. Il existe deux quadruplets $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ et $(x’,y’,z’,t’)\in\F_2^4$ tels que :
\begin{align*}
\xi &= x+yb+zb^2+tb^3\\
\xi' &=x'+y'b+z'b^2+t'b^3
\end{align*}Vous calculez le produit $\xi\xi’$ comme suit :
\begin{align*}
\xi\xi' &= (x+yb+zb^2+tb^3)(x'+y'b+z'b^2+t'b^3)\\
&= xx'+xy'b+xz'b^2+xt'b^3+yx'b+yy'b^2+yz'b^3+yt'b^4\\
&\qquad+zx'b^2+zy'b^3+zz'b^4+zt'b^5 + tx'b^3+ty'b^4+tz'b^5+tt'b^6.
\end{align*}Comme $b^4+b+1=0$ il vient $b^4 = 1+b$ puis $b^5 = b+b^2$ et $b^6 = b^2+b^3.$
Du coup :
\begin{align*}
\xi\xi' &= xx'+xy'b+xz'b^2+xt'b^3+yx'b+yy'b^2+yz'b^3+yt'(1+b)\\
&\qquad+zx'b^2+zy'b^3+zz'(1+b)+zt'(b+b^2) + tx'b^3+ty'(1+b)+tz'(b+b^2)+tt'(b^2+b^3)\\
&=xx'+yt'+zz'+ty'+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')b\\
&\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')b^2+(xt'+yz'+zy'+tx'+tt')b^3.
\end{align*}Ainsi, vous obtenez :
\begin{align*}
k(\xi\xi') &= xx'+yt'+zz'+ty'\\
&\qquad+ (xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz' + xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt' + xt'+yz'+zy'+tx'+tt' )a\\
&\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')a^3\\
k(\xi\xi') &= xx'+yt'+zz'+ty'\\
&\qquad+ (xy'+ xz'+ xt'+yx'+yy'+yz'+yt'+zx'+zy'+zz'+ty' +tx' )a\\
&\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')a^3.
\end{align*}Vous calculez maintenant le produit $k(\xi)k(\xi’)$ comme suit :
\begin{align*}
k(\xi)k(\xi') &= (x+(y+z+t)a+za^2+ya^3)(x'+(y'+z'+t')a+z'a^2+y'a^3)\\
&=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\
&\qquad+(y+z+t)x'a+(y+z+t)(y'+z'+t')a^2+(y+z+t)z'a^3+(y+z+t)y'a^4\\
&\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'a^4+zy'a^5\\
&\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')a^4+yz'a^5+yy'a^6\\
k(\xi)k(\xi')&=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\
&\qquad+(yx'+zx'+tx')a+(yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt')a^2\\
&\qquad+(yz'+zz'+tz')a^3+(yy'+zy'+ty')a^4\\
&\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'a^4+zy'a^5\\
&\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')a^4+yz'a^5+yy'a^6\\
k(\xi)k(\xi')&=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\
&\qquad+(yx'+zx'+tx')a+(yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt')a^2\\
&\qquad+(yz'+zz'+tz')a^3+(yy'+zy'+ty')(a^3+a^2+a+1)\\
&\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'(a^3+a^2+a+1)+zy'\\
&\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')(a^3+a^2+a+1)+yz'+yy'a\\
k(\xi)k(\xi')&=xx'+yy'+zy'+ty'+zz'+zy'+yy'+yz'+yt'+yz'\\
&\qquad +(xy'+xz'+xt'+yx'+zx'+tx'+yy'+zy'+ty'+zz'+yy'+yz'+yt'+yy')a\\
&\qquad + (xz'+yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt'+yy'+zy'+ty'+zx'+zz'+yy'+yz'+yt')a^2\\
&\qquad + (xy'+yz'+zz'+tz'+yy'+zy'+ty'+zy'+zz'+zt'+zz'+yx'+yy'+yz'+yt')a^3\\
k(\xi)k(\xi')&=xx'+zz'+ty'+yt'\\
&\qquad +(xy'+xz'+xt'+yx'+yy'+yz'+yt'+zx'+zy'+zz'+tx'+ty'+yy'+zy'+ty')a\\
&\qquad + (xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2\\
&\qquad + (xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+tz'+ty')a^3\\
&=k(\xi\xi').
\end{align*}
Du coup :
\forall (\xi, \xi')\in B^2, k(\xi\xi')=k(\xi)k(\xi').
L’application $k$ conserve le produit.
D’après ce qui précède, $k$ est un morphisme du corps $B$ vers le corps $A.$ Or, tout morphisme de corps est injectif.
Comme $A$ et $B$ possèdent le même nombre d’éléments, toute injection de $B$ vers $A$ est automatiquement surjective.
Il est ainsi établi que $k$ est un isomorphisme du corps $B$ vers le corps $A.$
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