341. Un isomorphisme explicité de corps finis à 16 éléments

Soit $\F_{2} = \{0,1\}$ le corps fini à deux éléments, muni de l’opération commutative d’addition suivante :

\left\{\begin{align*} 0+0 &= 0\\ 0+1 &= 1\\ 1+1 &=0. \end{align*} \right.

Le produit commutatif est défini de la façon usuelle suivante :

\left\{ \begin{align*} 0\times0 &= 0\\ 0\times 1 &= 0\\ 1\times 1 &=1. \end{align*} \right.

Vous notez $A$ l’ensemble quotient défini par $\F_{2}[X] / (X^4+X^3+X^2+X+1)$ et $B$ l’ensemble quotient défini par $\F_{2}[X] / (X^4+X+1).$

Le lecteur est amené à vérifier par lui-même que les polynômes $X^4+X^3+X^2+X+1$ et $X^4+X+1$ sont irréductibles dans $\F_{2}[X].$

L’ensemble $A$ est un corps, il contient un élément $a\notin \F_{2}$ tel que $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ et de sorte que $A = \{x+ y a+z a^2+ta^3, (x,y,z,t)\in \F_{2}^4\}.$ De plus, $a$ est annulé par le polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ qui est aussi son polynôme minimal dans $\F_2[X].$

De même, l’ensemble $B$ est un corps, il contient un élément $b\notin \F_{2}$ tel que $b^4+b+1=0$ et de sorte que $B = \{x+ y b+z b^2+tb^3, (x,y,z,t)\in \F_{2}^4\}.$ De plus, $b$ est annulé par le polynôme $X^4+X+1$ qui est aussi son polynôme minimal dans $\F_2[X].$

Comme $1\comma$ $a\comma$ $a^2$ et $a^3$ forment une base de $A$ sur $\F_2\comma$ et de même pour $B\comma$ vous en déduisez que $A$ et $B$ possèdent $2^4 =16$ éléments chacun.

Le but de ce contenu est d’expliciter un isomorphisme du corps $B$ vers le corps $A.$

Analysez la situation pour construire un isomorphisme de corps

Soit $k$ un isomorphisme allant de $B$ vers $A.$

Partez de la relation $b^4+b+1=0.$ En appliquant $k\comma$ il vient :

k(b^4+b+1) = k(0).

L’application $k\comma$ en tant qu’isomorphisme, vérifie $k(0)=0$ et $k(1)=1$ donc :

\begin{align*} k(b^4)+k(b)+k(1)&=k(0)\\ (k(b))^4+k(b)+1 &=0. \end{align*}

Vous posez $u = k(b)$ et obtenez que $u$ vérifie l’équation $u^4+u+1 = 0\comma$ avec $u\in A.$

Du coup, il existe $x\comma$ $y\comma$ $z$ et $t$ quatre éléments de $\F_{2}$ tels que :

u = x+ya+za^2+ta^3.

Vous calculez $u^2$ en tenant compte du fait que $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ ce qui s’écrit $\boxed{a^4 =a^3+a^2+a+1}.$ Remarquez en effet que $1+1=0$ dans $\F_{2}$ impose que l’opposé de $1$ soit égal à $1.$

En multipliant la relation précédente par $a\comma$ il vient :

\begin{align*} a^5 &=a^4+a^3+a^2+a\\ &= (a^3+a^2+a+1)+a^3+a^2+a\\ &=1. \end{align*}

Ainsi $\boxed{a^5=1.}$

En multipliant à nouveau par $a\comma$ il vient $\boxed{a^6=a}.$

Vous pouvez ainsi procéder au calcul de $u^2$ qui fournit successivement :

\begin{align*} u^2 &= (x+ya+za^2+ta^3)^2\\ &= x^2+y^2a^2+z^2a^4+t^2a^6. \end{align*}

En effet, compte tenu de l’égalité $1+1=0$ tous les doubles produits sont nuls.

Or, dans $\F_{2}$ tout élément est égal à son carré. L’expression de $u^2$ se simplifie grandement :

u^2 = x+ya^2+za^4+ta^6.

Du coup :

\begin{align*} u^2 &= x+ya^2+za^4+ta^6\\ &= x+ya^2+z(a^3+a^2+a+1)+ta\\ &=(x+z)+(z+t)a+(y+z)a^2+za^3. \end{align*}

Pour calculer $u^4\comma$ vous calculez le carré de $u^2$ en appliquant la formule précédente aux coefficients de $u^2.$ Vous posez $x_1=x+z\comma$ $y_1 =z+t\comma$ $z_1=y+z$ et $t_1=z$ de sorte que $u^2 = x_1+y_1a+z_1a^2+t_1a^3.$ Il vient :

\begin{align*} u^4 &= (x_1+z_1)+(z_1+t_1)a+(y_1+z_1)a^2+z_1a^3\\ &=(x+z+y+z)+(y+z+z)a+(z+t+y+z)a^2+(y+z)a^3\\ &=(x+y)+ya+(y+t)a^2+(y+z)a^3. \end{align*}

Ainsi, $u^4+u+1=0\comma$ d’où :

\begin{align*} (1+x+y+x)+(y+y)a+(y+t+z)a^2+(y+z+t)a^3 &=0\\ (1+y)+(y+z+t)a^2+(y+z+t)a^3&=0. \end{align*}

Le polynôme minimal de $a$ dans $\F_2[X]$ étant de degré $4\comma$ les éléments $1\comma$ $a\comma$ $a^2$ et $a^3$ sont linéairement indépendants sur $\F_2$ et vous avez nécessairement :

\left\{\begin{align*} 1+y &= 0\\ y+z+t &=0. \end{align*} \right.

D’où finalement :

\left\{\begin{align*} y&=1\\ t&=1+z. \end{align*} \right.

Cela fait deux possibilités pour $x$ et deux possibilités pour $z\comma$ soit potentiellement quatre candidats pour $k.$

Vous choisissez $x=0$ et $z=0\comma$ vous avez donc $y=1$ et $t=1$ ce qui conduit à $u = a+a^3.$

Dans ces conditions, $k(b)=a+a^3\comma$ puis :

\begin{align*} k(b^2) &= k(b)^2 \\ &= u^2\\ &= (a+a^3)^2\\ &=a^2+a^6\\ &=a+a^2. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} k(b^3) &= k(b)^2 k(b) \\ &= (a+a^2)(a+a^3)\\ &=a^2+a^4+a^3+a^5\\ &=a^2+(a^3+a^2+a+1)+a^3+1\\ &=a. \end{align*}

Soient maintenant $x\comma$ $y\comma$ $z$ et $t$ quatre éléments de $\F_2.$

Il vient :

k(x+yb+zb^2+tb^3) = k(x)+k(y)k(b)+k(z)k(b^2)+k(t)k(b^3).

Or, $k(0)=0$ et $k(1)=1$ donc $k(x)=x\comma$ $k(y)=y\comma$ $k(z)=z$ et $k(t)=t.$

D’où :

\begin{align*} k(x+yb+zb^2+tb^3) &= x+y k(b)+z k(b^2)+tk(b^3)\\ &=x+y(a+a^3)+z(a+a^2)+ta\\ &=x+(y+z+t)a+za^2+ya^3. \end{align*}

Synthèse

Pour tout $\xi$ de $B\comma$ il existe un unique quadruplet $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ tel que :

\boxed{\xi =x+yb+zb^2+tb^3.}

À l’élément $\xi\comma$ vous associez l’élément de $A$ noté $k(\xi)$ défini par :

\boxed{k(\xi) = x+(y+z+t)a+za^2+ya^3.}

Il s’agit de comprendre pourquoi $k$ est un isomorphisme de $B$ vers $A.$

Vous avez $1 = 1+0b+0b^2+0b^3\comma$ si bien que :

k(1) =1+(0+0+0)a+0a^2+0a^3 = 1.

L’application $k$ envoie le neutre de la multiplication de $B$ sur le neutre de la multiplication de $A.$

Soient $\xi$ et $\xi’$ deux éléments de $B$. Il existe deux quadruplets $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ et $(x’,y’,z’,t’)\in\F_2^4$ tels que :

\begin{align*} \xi &= x+yb+zb^2+tb^3\\ \xi' &=x'+y'b+z'b^2+t'b^3. \end{align*}

Alors :

\xi+\xi' = (x+x')+(y+y')b+(z+z')b^2+(t+t')b^3.

Du coup, par définition de $k\comma$ il vient :

\begin{align*} k(\xi+\xi') &= (x+x') + (y+y'+z+z'+t+t')a+(z+z')a^2+(y+y')a^3\\ &= x+(y+z+t)a+za^2+ya^3 + x'+(y'+z'+t')a+z'a^2+y'a^3\\ &=k(\xi)+k(\xi'). \end{align*}

Du coup :

\forall (\xi, \xi')\in B^2, k(\xi+\xi')=k(\xi)+k(\xi').

L’application $k$ conserve l’addition.

Soient $\xi$ et $\xi’$ deux éléments de $B$. Il existe deux quadruplets $(x,y,z,t)\in\F_2^4$ et $(x’,y’,z’,t’)\in\F_2^4$ tels que :

\begin{align*} \xi &= x+yb+zb^2+tb^3\\ \xi' &=x'+y'b+z'b^2+t'b^3. \end{align*}

Vous calculez le produit $\xi\xi’$ comme suit :

\begin{align*} \xi\xi' &= (x+yb+zb^2+tb^3)(x'+y'b+z'b^2+t'b^3)\\ &= xx'+xy'b+xz'b^2+xt'b^3+yx'b+yy'b^2+yz'b^3+yt'b^4\\ &\qquad+zx'b^2+zy'b^3+zz'b^4+zt'b^5 + tx'b^3+ty'b^4+tz'b^5+tt'b^6. \end{align*}

Comme $b^4+b+1=0$ il vient $b^4 = 1+b$ puis $b^5 = b+b^2$ et $b^6 = b^2+b^3.$

Du coup :

\begin{align*} \xi\xi' &= xx'+xy'b+xz'b^2+xt'b^3+yx'b+yy'b^2+yz'b^3+yt'(1+b)\\ &\qquad+zx'b^2+zy'b^3+zz'(1+b)+zt'(b+b^2) + tx'b^3+ty'(1+b)+tz'(b+b^2)+tt'(b^2+b^3)\\ &=xx'+yt'+zz'+ty'+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')b\\ &\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')b^2+(xt'+yz'+zy'+tx'+tt')b^3. \end{align*}

Ainsi, vous obtenez :

\begin{align*} k(\xi\xi') &= xx'+yt'+zz'+ty'\\ &\qquad+ (xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz' + xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt' + xt'+yz'+zy'+tx'+tt' )a\\ &\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')a^3\\ k(\xi\xi') &= xx'+yt'+zz'+ty'\\ &\qquad+ (xy'+ xz'+ xt'+yx'+yy'+yz'+yt'+zx'+zy'+zz'+ty' +tx' )a\\ &\qquad+(xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2+(xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+ty'+tz')a^3. \end{align*}

Vous calculez maintenant le produit $k(\xi)k(\xi’)$ en utilisant les relations $a^4 = a^3+a^2+a+1\comma$ $a^5 = 1$ et $a^6 = a\comma$ ce qui fournit :

\begin{align*} k(\xi)k(\xi') &= (x+(y+z+t)a+za^2+ya^3)(x'+(y'+z'+t')a+z'a^2+y'a^3)\\ &=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\ &\qquad+(y+z+t)x'a+(y+z+t)(y'+z'+t')a^2+(y+z+t)z'a^3+(y+z+t)y'a^4\\ &\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'a^4+zy'a^5\\ &\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')a^4+yz'a^5+yy'a^6\\ k(\xi)k(\xi')&=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\ &\qquad+(yx'+zx'+tx')a+(yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt')a^2\\ &\qquad+(yz'+zz'+tz')a^3+(yy'+zy'+ty')a^4\\ &\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'a^4+zy'a^5\\ &\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')a^4+yz'a^5+yy'a^6\\ k(\xi)k(\xi')&=xx'+(xy'+xz'+xt')a+xz'a^2+xy'a^3\\ &\qquad+(yx'+zx'+tx')a+(yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt')a^2\\ &\qquad+(yz'+zz'+tz')a^3+(yy'+zy'+ty')(a^3+a^2+a+1)\\ &\qquad +zx'a^2+(zy'+zz'+zt')a^3+zz'(a^3+a^2+a+1)+zy'\\ &\qquad +yx'a^3+(yy'+yz'+yt')(a^3+a^2+a+1)+yz'+yy'a\\ k(\xi)k(\xi')&=xx'+yy'+zy'+ty'+zz'+zy'+yy'+yz'+yt'+yz'\\ &\qquad +(xy'+xz'+xt'+yx'+zx'+tx'+yy'+zy'+ty'+zz'+yy'+yz'+yt'+yy')a\\ &\qquad + (xz'+yy'+yz'+yt'+zy'+zz'+zt'+ty'+tz'+tt'+yy'+zy'+ty'+zx'+zz'+yy'+yz'+yt')a^2\\ &\qquad + (xy'+yz'+zz'+tz'+yy'+zy'+ty'+zy'+zz'+zt'+zz'+yx'+yy'+yz'+yt')a^3\\ k(\xi)k(\xi')&=xx'+zz'+ty'+yt'\\ &\qquad +(xy'+xz'+xt'+yx'+yy'+yz'+yt'+zx'+zy'+zz'+tx'+ty')a\\ &\qquad + (xz'+yy'+zx'+zt'+tz'+tt')a^2\\ &\qquad + (xy'+yx'+yt'+zz'+zt'+tz'+ty')a^3\\ &=k(\xi\xi'). \end{align*}

Du coup :

\forall (\xi, \xi')\in B^2, k(\xi\xi')=k(\xi)k(\xi').

L’application $k$ conserve le produit.

D’après ce qui précède, $k$ est un morphisme du corps $B$ vers le corps $A.$ Or, tout morphisme de corps est injectif.

Comme $A$ et $B$ possèdent le même nombre fini d’éléments, toute injection de $B$ vers $A$ est automatiquement surjective.

Il est ainsi établi que $k$ est un isomorphisme du corps $B$ vers le corps $A.$