367. Développement d’un réel en base b (1/2)

Dans ce contenu, $x$ désigne un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1$ et $b$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ appelé base. Pour tout réel $t$ la notation $\lfloor t \rfloor$ désigne la partie entière de $t\comma$ à savoir le plus grand entier inférieur ou égal à $t.$

Le cas où $b=10$

Certains nombres réels « tombent juste », autrement dit ils peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

C’est le cas par exemple de $\frac{1}{4}$ qui admet $0{,}25$ en écriture décimale. Cela signifie qu’il est égal à deux dixièmes plus cinq centièmes, soit :

\frac{1}{4} = \frac{2}{10}+\frac{5}{100}.

D’autres nombres réels ne pourront jamais s’écrire avec une écriture décimale finie. C’est le cas par exemple de $\frac{1}{3}.$

Note. Le lecteur est invité à démontrer ce résultat.

Vous notez cependant que, pour tout entier $k\geq 3\comma$ la somme $S_k$ ci-dessous est une somme de termes en progression géométrique de raison $\frac{1}{10}$ où :

S_k = \frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\dots+\frac{3}{10^{k-1}}+\frac{3}{10^k}.

Or, $10S_k$ est égal à :

10S_k = 3+\frac{3}{10}+\cdots+\frac{3}{10^{k-1}}.

Vous obtenez donc par différence :

\begin{align*} 10S_k-S_k &= 3-\frac{3}{10^k}\\ 9S_k &= 3-\frac{3}{10^k}\\ S_k &= \frac{1}{3}-\frac{1}{3\times 10^k}. \end{align*}

Il en résulte que :

\lim_{k\to +\infty} S_k = \frac{1}{3}.

Autrement dit :

\lim_{k\to +\infty} \sum_{i=1}^k\frac{3}{10^i} = \frac{1}{3}.

Cette écriture se note aussi :

\boxed{\frac{1}{3} = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{3}{10^i}.}

Plus généralement, vous allez démontrer dans ce qui suit que, même si la base $b$ n’est pas égale à $10\comma$ $x$ admet au plus un développement propre dans cette base.

Analyse du cas général

Vous supposez que $x$ admet un développement propre en base $b\comma$ autrement dit vous supposez qu’il existe une suite $(c_i)_{i\geq 1}$ telle que :

\left\{\begin{align*} &\forall i\in \NN, 0\leq c_i \leq b-1 \\ &\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1\\ &x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}. \end{align*} \right.

Note. La condition $\forall i\in \NN, 0\leq c_i \leq b-1$ signifie que le développement en base $b$ se fait uniquement avec des chiffres, c’est-à-dire des entiers compris entre $0$ et $b-1.$ En base $10\comma$ le développement décimal n’utilise que les chiffres $0, 1, \dots, 9.$

Note. La condition $\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1$ signifie qu’il est impossible que le développement proposé soit impropre : autrement dit, il existe une infinité de chiffres différents de $b-1$ dans le développement. Si cette condition n’était pas remplie, il existerait un rang à partir duquel tous les chiffres seraient égaux à $b-1.$ En base $10\comma$ le nombre $\frac{1}{4}$ admet le développement décimal impropre $0{,}249999\dots$ avec une infinité de $9$ ce que vous souhaitez éviter.

Note. Avant d’écrire que $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous allez expliquer pourquoi la série $\sum_{i\geq 1} \frac{c_i}{b^i}$ est convergente sous l’hypothèse des deux conditions précédentes.

La série $\sum_{i\geq 1} \frac{c_i}{b^i}$ est à termes positifs. Pour tout entier $i\geq 1$ vous avez $c_i\leq b-1.$ Pour tout entier $N\geq 1$ vous avez la majoration :

\begin{align*} \sum_{i= 1}^N \frac{c_i}{b^i} &\leq (b-1) \sum_{i= 1}^N \frac{1}{b^i} \\ & \leq (b-1) \sum_{i= 1}^N b^{-i} \\ & \leq \frac{b-1}{b^N} \sum_{i= 1}^N b^{N-i} \\ & \leq \frac{b-1}{b^N} \sum_{j= 0}^{N-1} b^{j} \\ & \leq \frac{b-1}{b^N}\times \frac{1-b^N}{1-b} \\ & \leq \frac{b^N-1}{b^N} \\ &\lt \frac{b^N}{b^N}\\ &\leq 1. \end{align*}

Les sommes partielles de cette série à termes positifs étant majorées par $1\comma$ cette série est bien convergente.

Vous allez démontrer dans cette analyse que pour tout $i\geq 1\comma$ $c_i$ ne dépend que de $x$ et de $b.$

Le cas de $c_1$

Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous déduisez en isolant le premier terme de cette somme que :

x =\frac{c_1}{b} + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}.

En multipliant par $b\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} bx& = c_1 + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{bc_i}{b^i}\\ & = c_1 + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{c_i}{b^{i-1}}\\ & = c_1 + \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}. \end{align*}

Pour tout $i\geq 1\comma$ $c_{i+1}$ est positif ou nul donc $c_1\leq bx.$ L’entier $c_1$ est donc inférieur ou égal à $bx.$ Comme $\lfloor bx \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $bx\comma$ il vient $c_1 \leq \lfloor bx \rfloor.$

Étudiez maintenant la somme $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}.$ Notez tout d’abord qu’il existe un entier $m\geq 3$ tel que $c_{m} \neq b-1$ donc $c_m \leq b-2.$ Vous posez $n = m-1$ si bien que $n\geq 2$ et $c_{n+1} \leq b-2.$

Vous avez l’égalité :

\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} + \frac{c_{n+1}}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}.

En majorant :

\begin{align*} \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} &\leq \sum_{i=1}^{n-1}\frac{b-1}{b^{i}} + \frac{b-2}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{b-1}{b^{i}} \\ &\lt \sum_{i=1}^{n-1}\frac{b-1}{b^{i}} + \frac{b-1}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{b-1}{b^{i}} \\ &\leq (b-1)\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{b^{i}} \\ &\leq \frac{b-1}{b}\times \sum_{i=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{b}\right)^i \\ &\leq \frac{b-1}{b}\times \frac{1}{1-\frac{1}{b}} \\ &\leq \frac{b-1}{b}\times \frac{b}{b-1} \\ &\leq 1. \end{align*}

Il a été obtenu, en tenant compte de l’inégalité stricte présente, que :

\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}\lt1.

Donc :

bx \lt c_1+1.

Il a été établi que $c_1 \leq \lfloor bx \rfloor.$ Si $c_1\neq \lfloor bx \rfloor$ alors $c_1 \lt \lfloor bx \rfloor$ du coup $1+c_1 \leq \lfloor bx \rfloor$ vu que $c_1$ et $\lfloor bx \rfloor$ sont des entiers. D’autre part $\lfloor bx \rfloor$ est inférieur ou égal à $bx$ d’où $1+c_1 \leq bx$ ce qui contredit le résultat obtenu avec l’analyse de la somme infinie.

Du coup, comme annoncé, $c_1$ ne dépend que de $x$ et de $b$ et vous avez :

\boxed{c_1 = \lfloor bx \rfloor.}

Le cas de $c_2$

Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :

b^2x =bc_1+c_2+ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+2}}{b^i}.

En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+2}}{b^i} \lt 1$ vu que le développement est propre.

Comme $bc_1+c_2$ est un entier, vous en déduisez que $bc_1+c_2 = \lfloor b^2x \rfloor$ si bien que $c_2 = \lfloor b^2x \rfloor – bc_1$ et finalement :

\boxed{c_2 = \lfloor b^2x \rfloor – b \lfloor bx \rfloor.}

Le cas de $c_3$

Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :

b^3x =b^2c_1+bc_2+ c_3+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+3}}{b^i}.

En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+3}}{b^i} \lt 1$ vu que le développement est propre.

Comme $b^2c_1+bc_2 +c_3$ est un entier, vous en déduisez que $b^2c_1+bc_2 +c_3 = \lfloor b^3x \rfloor$ si bien que :

\begin{align*} c_3 &= \lfloor b^3x \rfloor- b^2c_1-bc_2\\ &= \lfloor b^3x \rfloor – b^2 \lfloor bx \rfloor – b( \lfloor b^2x \rfloor – b \lfloor bx \rfloor)\\ &= \lfloor b^3x \rfloor- b^2 \lfloor bx \rfloor – b \lfloor b^2x \rfloor + b^2 \lfloor bx \rfloor\\ &= \lfloor b^3x \rfloor – b \lfloor b^2x \rfloor. \end{align*}

Ainsi $\boxed{c_3 = \lfloor b^3x \rfloor – b \lfloor b^2x \rfloor.}$

Cette écriture se généralise sans effectuer de récurrence.

Le cas général de $c_n$

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$

D’une part, comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :

\begin{align*} b^nx &=b^{n-1}c_1+\cdots+ c_n+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i}\\ &=\sum_{k=1}^n b^{n-k}c_k+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i}. \end{align*}

En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i} \lt 1$ vu que le développement est propre. Comme $\sum_{k=1}^n b^{n-k}c_k$ est un entier, cela entraîne :

\begin{align*} \lfloor b^n x \rfloor &= \sum_{k=1}^n b^{n-k}c_k\\ &= \sum_{k=1}^{n-1} b^{n-k}c_k +c_n\\ &= b\left(\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k\right) +c_n. \end{align*}

D’autre part, comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez aussi :

\begin{align*} b^{n-1}x &=b^{n-2}c_1+\cdots+ c_{n-1}+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i}\\ &=\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i}. \end{align*}

En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i} \lt 1$ vu que le développement est propre. Comme $\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k$ est un entier, cela entraîne :

\lfloor b^{n-1} x \rfloor = \sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k.

Ainsi vous avez obtenu :

\begin{align*} c_n &= \lfloor b^n x \rfloor – b\left(\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k\right)\\ &= \lfloor b^n x \rfloor – b \lfloor b^{n-1} x \rfloor. \end{align*}

Ainsi il a été démontré que :

\boxed{\forall n\in\N, n\geq 2 \implies c_n = \lfloor b^n x \rfloor – b \lfloor b^{n-1} x \rfloor.}

Tous les chiffres $c_n$ étant entièrement déterminés par $x$ et $b\comma$ si $x$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$ qui admet un développement propre en base $b\comma$ alors celui-ci est unique.

Application pour $x=\frac{1}{8}$ en base $b=10$

Vous calculez tout d’abord quelques parties entières :

\begin{align*} &c_1 = \lfloor b x \rfloor = \lfloor 10/8 \rfloor = \lfloor 5/4 \rfloor = 1\\ &\lfloor b^2 x \rfloor = \lfloor 100/8 \rfloor = \lfloor 50/4 \rfloor = \lfloor 25/2 \rfloor = 12\\ &c_2 = \lfloor b^2 x \rfloor – b\lfloor b x \rfloor = 12-10\times 1 = 2\\ &\lfloor b^3 x \rfloor = \lfloor 1000/8 \rfloor = \lfloor 500/4 \rfloor = \lfloor 250/2 \rfloor = \lfloor 125 \rfloor = 125 \\ &c_3 = \lfloor b^3 x \rfloor – b\lfloor b^2 x \rfloor = 125-10\times 12 = 5\\ &\lfloor b^4 x \rfloor = \lfloor 10000/8 \rfloor = \lfloor 5000/4 \rfloor = \lfloor 2500/2 \rfloor = \lfloor 1250 \rfloor = 1250 \\ &c_4 = \lfloor b^4 x \rfloor – b\lfloor b^3 x \rfloor = 1250-10\times 125 = 0. \end{align*}

Pour tout $n\geq 3\comma$ vous avez $b^n x = \frac{10^n}{8} = 125\times 10^{n-3}$ qui est un entier, donc $\lfloor b^n x \rfloor = 125\times 10^{n-3}$ si bien que, pour tout $n\geq 4$ vous avez :

\begin{align*} c_n &= \lfloor b^n x \rfloor – b \lfloor b^{n-1} x \rfloor \\ &= 125\times 10^{n-3} – 10\times 125\times 10^{n-1-3}\\ &= 125\times 10^{n-3} – 125\times 10^{n-3}\\ &=0. \end{align*}

Vous retrouvez que $\frac{1}{8}$ admet pour développement décimal propre $0{,}12500000\dots$ avec une infinité de $0$ ce qui s’écrit $\frac{1}{8} =0{,}125.$

Prolongement

Soit $b$ une base, c’est-à-dire un nombre entier supérieur ou égal à $2.$ Soit $x$ un nombre réel quelconque.

Pourriez-vous proposer un énoncé concernant le développement de ce réel $x$ en base $b\comma$ pour une telle base ?