Dans cet exposé, $x$ désigne un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1$ et $b$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ appelé base. Pour tout réel $t$ la notation $\lfloor t \rfloor$ désigne la partie entière de $t$, à savoir le plus grand entier inférieur ou égal à $t.$
Le cas où $b=10$
Certains nombres réels « tombent juste », autrement dit ils peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
C’est le cas par exemple de $\frac{1}{4}$ qui admet $0,25$ en écriture décimale. Cela signifie qu’il est égal à deux dixièmes plus cinq centièmes, soit :
\frac{1}{4} = \frac{2}{10}+\frac{5}{100}.D’autres nombres réels ne pourront jamais s’écrire avec une écriture décimale finie. C’est le cas par exemple de $\frac{1}{3}.$
Note. Le lecteur est invité à démontrer ce résultat.
On note cependant que, pour tout entier $k\geq 3$, la somme $S_k$ ci-dessous forme une somme de termes en progression géométrique de raison $\frac{1}{10}$ où :
S_k = \frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\dots+\frac{3}{10^{k-1}}+\frac{3}{10^k}.Or, $10S_k$ est égal à :
10S_k = 3+\frac{3}{10}+\cdots+\frac{3}{10^{k-1}}.Vous obtenez donc par différence :
\begin{align*}
10S_k-S_k &= 3-\frac{3}{10^k}\\
9S_k &= 3-\frac{3}{10^k}\\
S_k &= \frac{1}{3}-\frac{1}{3\times 10^k}.
\end{align*} Il en résulte que :
\lim_{k\to +\infty} S_k = \frac{1}{3}.Autrement dit :
\lim_{k\to +\infty} \sum_{i=1}^k\frac{3}{10^i} = \frac{1}{3}.Cette écriture se note aussi :
\boxed{\frac{1}{3} = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{3}{10^i}.}Plus généralement, vous allez démontrer dans ce qui suit que, même si la base $b$ n’est pas égale à $10$, $x$ admet nécessairement un développement propre dans cette base.
Analyse du cas général
Vous supposez que $x$ admet un développement propre en base $b$, autrement dit vous supposez qu’il existe une suite $(c_i)_{i\geq 1}$ telle que :
\left\{\begin{align*}
&\forall i\in \NN, 0\leq c_i \leq b-1 \\
&\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1\\
&x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}.
\end{align*}
\right.Note. La condition $\forall i\in \NN, 0\leq c_i \leq b-1$ signifie que le développement décimal en base $b$ se fait uniquement avec des chiffres. En base $10$, le développement décimal n’utilise que les chiffres $0, 1, \dots, 9.$
Note. La condition $\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1$ signifie qu’il est impossible que le développement proposé soit impropre : autrement dit, il existe une infinité de chiffres différents de $b-1$ dans le développement. Si cette condition n’était pas remplie, il existerait un rang à partir duquel tous les chiffres seraient égaux à $b-1.$ En base $10$, le nombre $\frac{1}{4}$ admet le développement décimal impropre $0,249999\dots$ avec une infinité de $9$ ce que vous souhaitez éviter.
Note. Avant d’écrire que $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous allez expliquer pourquoi la série $\sum_{i\geq 1} \frac{c_i}{b^i}$ est convergente sous l’hypothèse des deux conditions précédentes.
La série $\sum_{i\geq 1} \frac{c_i}{b^i}$ est à termes positifs. Pour tout entier $i\geq 1$ vous avez $c_i\leq b-1.$ Pour tout entier $N\geq 1$ vous avez la majoration :
\begin{align*}
\sum_{i= 1}^N \frac{c_i}{b^i} &\leq (b-1) \sum_{i= 1}^N \frac{1}{b^i} \\
& \leq (b-1) \sum_{i= 1}^N b^{-i} \\
& \leq \frac{b-1}{b^N} \sum_{i= 1}^N b^{N-i} \\
& \leq \frac{b-1}{b^N} \sum_{j= 0}^{N-1} b^{j} \\
& \leq \frac{b-1}{b^N}\times \frac{1-b^N}{1-b} \\
& \leq \frac{b^N-1}{b^N} \\
&< \frac{b^N}{b^N}\\
&\leq 1.
\end{align*}
Les sommes partielles de cette série étant majorées par $1$, cette série est bien convergente.
Vous allez démontrer dans cette analyse que pour tout $i\geq 1$, $c_i$ ne dépend que de $x$ et de $b.$
Le cas de $c_1$
Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous déduisez en isolant le premier terme de cette somme que :
x =\frac{c_1}{b} + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}.En multipliant par $b$, vous obtenez :
\begin{align*}
bx& = c_1 + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{bc_i}{b^i}\\
& = c_1 + \sum_{i=2}^{+\infty}\frac{c_i}{b^{i-1}}\\
& = c_1 + \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}.
\end{align*}
Pour tout $i\geq 1$, $c_{i+1}$ est positif ou nul donc $c_1\leq bx.$ $c_1$ est donc un entier inférieur ou égal à $bx.$ Comme $\lfloor bx \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $bx$, il vient $c_1 \leq \lfloor bx \rfloor.$
Etudiez maintenant la somme $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}.$ Notez tout d’abord qu’il existe un entier $m\geq 3$ tel que $c_{m} \neq b-1$ donc $c_m \leq b-2.$ Vous posez $n = m-1$ si bien que $n\geq 2$ et $c_{n+1} \leq b-2.$
Vous avez l’égalité :
\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} + \frac{c_{n+1}}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}En majorant :
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}} &\leq \sum_{i=1}^{n-1}\frac{b-1}{b^{i}} + \frac{b-2}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{b-1}{b^{i}} \\
&< \sum_{i=1}^{n-1}\frac{b-1}{b^{i}} + \frac{b-1}{b^n} + \sum_{i=n+1}^{+\infty}\frac{b-1}{b^{i}} \\
&\leq (b-1)\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{b^{i}} \\
&\leq \frac{b-1}{b}\times \sum_{i=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{b}\right)^i \\
&\leq \frac{b-1}{b}\times \frac{1}{1-\frac{1}{b}} \\
&\leq \frac{b-1}{b}\times \frac{b}{b-1} \\
&\leq 1.
\end{align*}Il a été obtenu, en tenant compte de l’inégalité stricte présente, que :
\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+1}}{b^{i}}<1.Donc :
bx < c_1+1.
Il a été établi que $c_1 \leq \lfloor bx \rfloor.$ Si $c_1\neq \lfloor bx \rfloor$ alors $c_1 < \lfloor bx \rfloor$ du coup $1+c_1 \leq \lfloor bx \rfloor$ vu que $c_1$ et $\lfloor bx \rfloor$ sont des entiers. D’autre part $\lfloor bx \rfloor$ est inférieur ou égal à $bx$ d’où $1+c_1 \leq bx$ ce qui contredit le résultat obtenu avec l’analyse de la somme infinie.
Du coup, comme annoncé, $c_1$ ne dépend que de $x$ et de $b$ et vous avez :
\boxed{c_1 = \lfloor bx \rfloor.}Le cas de $c_2$
Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :
b^2x =bc_1+c_2+ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+2}}{b^i}.En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+2}}{b^i} < 1$ vu que le développement décimal est propre.
Du coup, $bc_1+c_2 = \lfloor b^2x \rfloor$ si bien que $c_2 = \lfloor b^2x \rfloor – bc_1 $ et finalement :
\boxed{c_2 = \lfloor b^2x \rfloor - b \lfloor bx \rfloor.}Le cas de $c_3$
Comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :
b^3x =b^2c_1+bc_2+ c_3+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+3}}{b^i}.En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+3}}{b^i} < 1$ vu que le développement décimal est propre.
Du coup, $b^2c_1+bc_2 +c_3 = \lfloor b^3x \rfloor$ si bien que :
\begin{align*}
c_3 &= \lfloor b^3x \rfloor- b^2c_1-bc_2\\
&= \lfloor b^3x \rfloor - b^2 \lfloor bx \rfloor - b( \lfloor b^2x \rfloor - b \lfloor bx \rfloor)\\
&= \lfloor b^3x \rfloor- b^2 \lfloor bx \rfloor - b \lfloor b^2x \rfloor + b^2 \lfloor bx \rfloor\\
&= \lfloor b^3x \rfloor - b \lfloor b^2x \rfloor.
\end{align*} Ainsi $\boxed{c_3 = \lfloor b^3x \rfloor – b \lfloor b^2x \rfloor.}$
Cette écriture va se généralise sans effectuer de récurrence.
Le cas général de $c_n$
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$
D’une part, comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez :
\begin{align*}
b^nx &=b^{n-1}c_1+\cdots+ c_n+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i}\\
&=\sum_{k=1}^n b^{n-k}c_k+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i}.
\end{align*} En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n}}{b^i} < 1$ vu que le développement décimal est propre, ce qui entraîne :
\begin{align*}
\lfloor b^n x \rfloor &= \sum_{k=1}^n b^{n-k}c_k\\
&= \sum_{k=1}^{n-1} b^{n-k}c_k +c_n\\
&= b\left(\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k\right) +c_n.
\end{align*}D’autre part, comme $x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ vous obtenez aussi :
\begin{align*}
b^{n-1}x &=b^{n-2}c_1+\cdots+ c_{n-1}+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i}\\
&=\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k+\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i}.
\end{align*} En reprenant une démarche similaire à celle adoptée précédemment, vous avez $0\leq \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_{i+n-1}}{b^i} < 1$ vu que le développement décimal est propre, ce qui entraîne :
\lfloor b^{n-1} x \rfloor = \sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k.Ainsi vous avez obtenu :
\begin{align*}
c_n &= \lfloor b^n x \rfloor - b\left(\sum_{k=1}^{n-1} b^{n-1-k}c_k\right)\\
&= \lfloor b^n x \rfloor - b \lfloor b^{n-1} x \rfloor.
\end{align*}Ainsi il a été démontré que :
\boxed{\forall n\in\N, n\geq 2 \implies c_n = \lfloor b^n x \rfloor - b \lfloor b^{n-1} x \rfloor.}Si $x$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$ qui admet un développement propre en base $b$, alors celui-ci est unique.
Application pour $x=1/8$ en base $b=10$
Vous calculez tout d’abord quelques parties entières :
\begin{align*}
&c_1 = \lfloor b x \rfloor = \lfloor 10/8 \rfloor = \lfloor 5/4 \rfloor = 1\\
&\lfloor b^2 x \rfloor = \lfloor 100/8 \rfloor = \lfloor 50/4 \rfloor = \lfloor 25/2 \rfloor = 12\\
&c_2 = \lfloor b^2 x \rfloor - b\lfloor b x \rfloor = 12-10\times 1 = 2\\
&\lfloor b^3 x \rfloor = \lfloor 1000/8 \rfloor = \lfloor 500/4 \rfloor = \lfloor 250/2 \rfloor = \lfloor 125 \rfloor = 125 \\
&c_3 = \lfloor b^3 x \rfloor - b\lfloor b^2 x \rfloor = 125-10\times 12\times 1 = 5\\
&\lfloor b^4 x \rfloor = \lfloor 10000/8 \rfloor = \lfloor 5000/4 \rfloor = \lfloor 2500/2 \rfloor = \lfloor 1250 \rfloor = 1250 \\
&c_4 = \lfloor b^4 x \rfloor - b\lfloor b^3 x \rfloor = 1250-10\times 125\times 1 = 0.
\end{align*} Pour tout $n\geq 3$, vous établissez que $\lfloor b^n x \rfloor = 125\times 10^{n-3}$ si bien que, pour tout $n\geq 4$ vous avez :
\begin{align*}
c_n &= \lfloor b^n x \rfloor - b \lfloor b^{n-1} x \rfloor \\
&= 125\times 10^{n-3} - 10\times 125\times 10^{n-1-3}\\
&= 125\times 10^{n-3} - 125\times 10^{n-3}\\
&=0.
\end{align*} Vous retrouvez que $1/8$ admet pour développement décimal propre $0,12500000\dots$ avec une infinité de $0$ ce qui s’écrit $1/8 =0,125.$
Prolongement
Soit $b$ une base, c’est-à-dire un nombre entier supérieur ou égal à $2.$ Soit $x$ un nombre réel quelconque.
Pourriez-vous proposer un énoncé concernant le développement de ce réel $x$ en base $b$ ?
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