La suite de Fibonacci a ses deux premiers termes égaux à $1.$ Ensuite, chaque terme est égale à la somme des deux précédents. Avec les notations, cela définit une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ comme suit :
\left\{\begin{align*}
&f_0 = 1\\
&f_1 = 1\\
&\forall n\in\N, f_{n+2} = f_{n+1}+f_n.
\end{align*}
\right.Calculez les premiers termes
Vous obtenez successivement :
\left\{\begin{align*}
f_2 &= f_1+f_0 = 1+1=2\\
f_3 &= f_2+f_1 = 2+1=3\\
f_4 &= f_3+f_2 = 3+2 = 5\\
f_5 &= f_4+f_3 = 5+3 = 8\\
f_6 &= f_5+ f_4 = 8+5 = 13.
\end{align*}
\right.Calculez les sommes des carrés deux nombres consécutifs de Fibonacci pour quelques valeurs :
\left\{\begin{align*}
&f_0^2+f_1^2 = 1^2+1^2 = 2 = f_2\\
&f_1^2+f_2^2 = 1^2+2^2 = 5 = f_4\\
&f_2^2+f_3^2 = 2^2+3^2 =13 = f_6.
\end{align*}
\right.Vu les résultats obtenus, vous allez procéder par récurrence et démontrer la validité du titre de cet exposé, grâce aux suggestions obtenues via les égalités susmentionnées.
Construisez une démonstration par récurrence double
Pour tout entier naturel $n$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $f_n^2+f_{n+1}^2 = f_{2n+2}.$ »
Initialisation double. Pour $n=0$ vous avez :
\left\{\begin{align*}
&f_{2n+2} = f_2 = 2\\
&f_n^2+f_{n+1}^2 = f_0^2+f_1^2 = 1^2+1^2=2.
\end{align*}
\right.Comme $f_0^2+f_1^2 = f_2$ la propriété $P(0)$ est vérifiée.
Pour $n=1$ vous avez :
\left\{\begin{align*}
&f_{2n+2} = f_4 = 5\\
&f_n^2+f_{n+1}^2 = f_1^2+f_2^2 = 1^2+2^2=5.
\end{align*}
\right.Comme $f_1^2+f_2^2 = f_4$ la propriété $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel pour lequel $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1)$ sont vérifiées.
Vous avez donc :
\left\{\begin{align*}
&f_n^2+f_{n+1}^2 = f_{2n+2}\\
&f_{n+1}^2+f_{n+2}^2 = f_{2n+4}.
\end{align*}
\right.Vous cherchez à évaluer $f_{2n+6}$ et à l’exprimer en fonction des nombres $f_{n+2}$ et $f_{n+3}.$ Cela étant pour l’instant trop délicat, vous allez exprimer $f_{2n+6}$ en fonction de $f_{2n+4}$ et de $f_{2n+2}.$ Cela donne ce qui suit :
\begin{align*}
f_{2n+6} &= f_{2n+5}+f_{2n+4}.
\end{align*}Comme $f_{2n+4}$ convient, vous exprimez $f_{2n+5}$ en fonction des termes qui le précèdent, soit $f_{2n+5} = f_{2n+4}+f_{2n+3}.$ Du coup :
\begin{align*}
f_{2n+6} &= (f_{2n+4}+f_{2n+3})+f_{2n+4}\\
&=2f_{2n+4}+f_{2n+3}.
\end{align*}Il serait tentant d’écrire $f_{2n+3} = f_{2n+2}+f_{2n+1}$ mais cela ferait apparaître $f_{2n+1}$ qui n’est pas souhaité. A la place vous utilisez $f_{2n+4} = f_{2n+3}+f_{2n+2}$ ce qui fournit $f_{2n+3} = f_{2n+4}-f_{2n+2}.$ Ainsi :
\begin{align*}
f_{2n+6} &=2f_{2n+4}+f_{2n+3}\\
&= 2f_{2n+4}+(f_{2n+4}-f_{2n+2})\\
&=3f_{2n+4}-f_{2n+2}.
\end{align*}Le premier objectif a été rempli. Vous allez donc maintenant remplacer $f_{2n+4}$ par $f_{n+1}^2+f_{n+2}^2$ et $f_{2n+2}$ par $f_n^2+f_{n+1}^2.$ Cela aboutit à ce qui suit :
\begin{align*}
f_{2n+6} &=3f_{2n+4}-f_{2n+2}\\
&=3(f_{n+1}^2+f_{n+2}^2) - (f_n^2+f_{n+1}^2)\\
&=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_n^2.
\end{align*}L’apparition de $f_{n+2}$ est satisfaisante. Par contre celles de $f_n$ et de $f_{n+1}$ ne conviennent pas car l’objectif principal est d’exprimer $f_{2n+6}$ en fonction de $f_{n+2}$ et de $f_{n+3}.$
Vous allez éliminer $f_n$ en utilisant le fait que $f_n = f_{n+2}-f_{n+1}.$ Du coup :
\begin{align*}
f_{2n+6} &=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_n^2\\
&=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-(f_{n+2}-f_{n+1})^2\\
&=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_{n+2}^2-f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}\\
&=2f_{n+2}^2+f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}.
\end{align*}Il vous reste à éliminer $f_{n+1}$ en vous rappelant que $f_{n+1}=f_{n+3}-f_{n+2}.$ Les éliminations finales aboutissent à ce qui suit :
\begin{align*}
f_{2n+6} &=2f_{n+2}^2+f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}\\
&=2f_{n+2}^2+(f_{n+3}-f_{n+2})^2+2(f_{n+3}-f_{n+2})f_{n+2}\\
&=2f_{n+2}^2+f_{n+3}^2+f_{n+2}^2-2f_{n+2}f_{n+3}+2f_{n+2}f_{n+3}-2f_{n+2}^2\\
&=f_{n+3}^2+f_{n+2}^2.
\end{align*}Donc la propriété $\mathscr{P}(n+2)$ est vérifiée.
Conclusion. Il a été montré par récurrence double que :
\boxed{\forall n\in\N, f_{2n+2} = f_n^2+f_{n+1}^2.}Partagez !
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