366. La somme des carrés de deux nombres consécutifs de Fibonacci est un nombre de Fibonacci

La suite de Fibonacci a ses deux premiers termes égaux à $1.$ Ensuite, chaque terme est égal à la somme des deux précédents. Avec des notations, cela définit une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ comme suit :

\left\{\begin{align*} &f_0 = 1\\ &f_1 = 1\\ &\forall n\in\N, f_{n+2} = f_{n+1}+f_n. \end{align*} \right.

Calculez les premiers termes

Vous obtenez successivement :

\left\{\begin{align*} f_2 &= f_1+f_0 = 1+1=2\\ f_3 &= f_2+f_1 = 2+1=3\\ f_4 &= f_3+f_2 = 3+2 = 5\\ f_5 &= f_4+f_3 = 5+3 = 8\\ f_6 &= f_5+ f_4 = 8+5 = 13. \end{align*} \right.

Calculez les sommes des carrés de deux nombres de Fibonacci consécutifs pour quelques valeurs :

\left\{\begin{align*} &f_0^2+f_1^2 = 1^2+1^2 = 2 = f_2\\ &f_1^2+f_2^2 = 1^2+2^2 = 5 = f_4\\ &f_2^2+f_3^2 = 2^2+3^2 =13 = f_6. \end{align*} \right.

Vu les résultats obtenus, vous conjecturez que, pour tout entier naturel $n\comma$ $f_n^2+f_{n+1}^2 = f_{2n+2}.$ Vous allez procéder par récurrence pour démontrer ce résultat, grâce aux suggestions obtenues via les égalités susmentionnées.

Construisez une démonstration par récurrence double

Pour tout entier naturel $n$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $f_n^2+f_{n+1}^2 = f_{2n+2}.$ »

Initialisation double. Pour $n=0$ vous avez :

\left\{\begin{align*} &f_{2n+2} = f_2 = 2\\ &f_n^2+f_{n+1}^2 = f_0^2+f_1^2 = 1^2+1^2=2. \end{align*} \right.

Comme $f_0^2+f_1^2 = f_2$ la propriété $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Pour $n=1$ vous avez :

\left\{\begin{align*} &f_{2n+2} = f_4 = 5\\ &f_n^2+f_{n+1}^2 = f_1^2+f_2^2 = 1^2+2^2=5. \end{align*} \right.

Comme $f_1^2+f_2^2 = f_4$ la propriété $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel pour lequel $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1)$ sont vérifiées.

Vous avez donc :

\left\{\begin{align*} &f_n^2+f_{n+1}^2 = f_{2n+2}\\ &f_{n+1}^2+f_{n+2}^2 = f_{2n+4}. \end{align*} \right.

Il s’agit de démontrer $\mathscr{P}(n+2)\comma$ c’est-à-dire $f_{n+2}^2+f_{n+3}^2 = f_{2n+6}.$ Vous cherchez donc à évaluer $f_{2n+6}$ et à l’exprimer en fonction des nombres $f_{n+2}$ et $f_{n+3}.$ Cela étant pour l’instant trop délicat, vous allez exprimer $f_{2n+6}$ en fonction de $f_{2n+4}$ et de $f_{2n+2}.$ Cela donne ce qui suit :

\begin{align*} f_{2n+6} &= f_{2n+5}+f_{2n+4}. \end{align*}

Comme $f_{2n+4}$ convient, vous exprimez $f_{2n+5}$ en fonction des termes qui le précèdent, soit $f_{2n+5} = f_{2n+4}+f_{2n+3}.$ Du coup :

\begin{align*} f_{2n+6} &= (f_{2n+4}+f_{2n+3})+f_{2n+4}\\ &=2f_{2n+4}+f_{2n+3}. \end{align*}

Il serait tentant d’écrire $f_{2n+3} = f_{2n+2}+f_{2n+1}$ mais cela ferait apparaître $f_{2n+1}$ qui n’est pas souhaité. À la place vous utilisez $f_{2n+4} = f_{2n+3}+f_{2n+2}$ ce qui fournit $f_{2n+3} = f_{2n+4}-f_{2n+2}.$ Ainsi :

\begin{align*} f_{2n+6} &=2f_{2n+4}+f_{2n+3}\\ &= 2f_{2n+4}+(f_{2n+4}-f_{2n+2})\\ &=3f_{2n+4}-f_{2n+2}. \end{align*}

Le premier objectif a été rempli. Vous allez donc maintenant remplacer $f_{2n+4}$ par $f_{n+1}^2+f_{n+2}^2$ et $f_{2n+2}$ par $f_n^2+f_{n+1}^2.$ Cela aboutit à ce qui suit :

\begin{align*} f_{2n+6} &=3f_{2n+4}-f_{2n+2}\\ &=3(f_{n+1}^2+f_{n+2}^2) – (f_n^2+f_{n+1}^2)\\ &=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_n^2. \end{align*}

L’apparition de $f_{n+2}$ est satisfaisante. Par contre celles de $f_n$ et de $f_{n+1}$ ne conviennent pas car l’objectif principal est d’exprimer $f_{2n+6}$ en fonction de $f_{n+2}$ et de $f_{n+3}.$

Vous allez éliminer $f_n$ en utilisant le fait que $f_n = f_{n+2}-f_{n+1}.$ Du coup :

\begin{align*} f_{2n+6} &=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_n^2\\ &=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-(f_{n+2}-f_{n+1})^2\\ &=3f_{n+2}^2+2f_{n+1}^2-f_{n+2}^2-f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}\\ &=2f_{n+2}^2+f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}. \end{align*}

Il vous reste à éliminer $f_{n+1}$ en vous rappelant que $f_{n+1}=f_{n+3}-f_{n+2}.$ Les éliminations finales aboutissent à ce qui suit :

\begin{align*} f_{2n+6} &=2f_{n+2}^2+f_{n+1}^2+2f_{n+1}f_{n+2}\\ &=2f_{n+2}^2+(f_{n+3}-f_{n+2})^2+2(f_{n+3}-f_{n+2})f_{n+2}\\ &=2f_{n+2}^2+f_{n+3}^2+f_{n+2}^2-2f_{n+2}f_{n+3}+2f_{n+2}f_{n+3}-2f_{n+2}^2\\ &=f_{n+3}^2+f_{n+2}^2. \end{align*}

Comme $2(n+2)+2 = 2n+6\comma$ la propriété $\mathscr{P}(n+2)$ est vérifiée.

Conclusion. Il a été montré par récurrence double que :

\boxed{\forall n\in\N, f_{2n+2} = f_n^2+f_{n+1}^2.}