370. Caractérisez les nombres réels dont le développement est périodique en base b

Soit $b$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ qui sera appelé base et soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$

Un exemple en base $10\comma$ l’écriture décimale de $\frac{3}{22}$

Vous allez déterminer le développement en base $10$ du nombre $\frac{3}{22}.$

Une première idée consiste à effectuer la division de $3$ par $22.$

\begin{array}{cccc|c} 3{,}&0 & 0 & 0& 22 \\ \hline 3 &0& & &0{,}136 \\ 0 & 8 &0& & \\ 0 & 1 & 4 &0 \\ & & & 8 \end{array}

Vous constatez que, lorsque vous allez abaisser un zéro pour trouver le quatrième chiffre après la virgule, vous allez devoir diviser $80$ par $22$ or ce calcul a déjà été effectué précédemment, le quotient est $3.$ Puis vous allez trouver un reste de $14$ ce qui va aboutir à la division de $140$ par $22$ qui fournira $6$ de quotient, et ainsi de suite.

Ainsi :

\frac{3}{22} = 0{,}13636363636\dots

Les pointillés signifient ici que la séquence $36$ se répète indéfiniment. Vous la noterez ainsi :

\frac{3}{22} = 0{,}1\overline{36}.

Dans le développement précédent, le chiffre $1$ constitue la prépériode et la séquence $36$ constitue la période. Le nombre de chiffres de la prépériode est $1$ et le nombre de chiffres de la période est $2.$

Note. Vous pouvez aussi considérer que :

\frac{3}{22} = 0{,}13\overline{63}.

Vous avez changé de prépériode et de période.

Analyse : cas où le nombre $x$ admet un développement périodique

Dans le cas général, vous allez supposer que $x$ admet un développement propre, périodique de longueur $k\geq 1$ précédé d’une prépériode de longueur $N\geq 0.$

En base $b$ le nombre $x$ s’écrit :

x = (0{,}c_1\dots c_N\overline{c_{N+1}\dots c_{N+k}} )_b.

Les entiers $c_1,\dots, c_{N+k}$ vérifient :

\forall i\in\llbracket 1, N+k\rrbracket, 0\leq c_i \leq b-1.

De plus, comme le développement est propre, il est impossible d’avoir $\forall i\in\llbracket N+1,N+k\rrbracket, c_i = b-1.$ Autrement dit :

\exists \ell\in\llbracket N+1,N+k\rrbracket, c_{\ell} \neq b-1.

Vous pouvez maintenant procéder au calcul de $x$ à l’aide des sommes suivantes :

\begin{align*} x &= \frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N}+\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\\ &\quad +\frac{c_{N+1}}{b^{N+k+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+2k}}\\ &\quad +\frac{c_{N+1}}{b^{N+2k+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+3k}}\\ &\quad +\cdots \\ &=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N} \\ &\quad+ \frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}\left(1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots\right) \\ &\quad + \cdots + \frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\left(1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots\right) \\ &=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N} \\ &\quad + \left(\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+ \cdots +\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}} \right)\left(1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots\right). \end{align*}

Vous évaluez la somme infinie en utilisant le fait qu’il s’agit de la somme d’une série géométrique de raison $\frac{1}{b^k}\comma$ qui converge puisque $0\lt\frac{1}{b^k}\lt1.$

\begin{align*} 1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots &= \sum_{i=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{b^k}\right)^i \\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{b^k}}\\ &=\frac{b^k}{b^k-1}. \end{align*}

Du coup, vous déduisez :

\begin{align*} x &= \sum_{i=1}^N \frac{c_i}{b^i} + \frac{b^k}{b^k-1} \sum_{i=1}^k \frac{c_{N+i}}{b^{N+i}} \\ &= \sum_{i=1}^N \frac{b^{N-i}c_i} {b^N} + \frac{b^k}{b^k-1} \sum_{i=1}^k \frac{b^{k-i}c_{N+i}}{b^{N+k}} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N b^{N-i}c_i} {b^N} +\frac{1}{b^k-1} \sum_{i=1}^k \frac{b^{k-i}c_{N+i}}{b^{N}} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N b^{N-i}c_i} {b^N} +\frac{1}{b^k-1} \times \frac{\sum_{i=1}^k b^{k-i}c_{N+i}}{b^{N}} \\ &= \frac{(b^k-1)\sum_{i=1}^N b^{N-i}c_i + \sum_{i=1}^k b^{k-i}c_{N+i}} {b^N(b^k-1) }. \end{align*}

En posant $a = (b^k-1)\sum_{i=1}^N b^{N-i}c_i + \sum_{i=1}^k b^{k-i}c_{N+i}$ vous constatez que $a\in\N$ et que $x=\frac{a}{b^N(b^k-1)}$ qui est le quotient de deux entiers. Le nombre $x$ est donc rationnel. Avant d’effectuer la synthèse, vous allez démontrer un lemme bien utile.

Un lemme

Soient $u$ un réel et $m$ un nombre entier relatif.

La partie entière de $u$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $u$ donc :

\lfloor u\rfloor \leq u \lt \lfloor u\rfloor +1.

En ajoutant $m$ il vient :

\lfloor u\rfloor + m \leq u+m \lt (\lfloor u\rfloor + m) +1.

Comme $\lfloor u\rfloor$ et $m$ sont des entiers, la somme $\lfloor u\rfloor + m$ est un entier.

D’après ce qui précède $\lfloor u\rfloor + m$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $u+m.$ Donc :

\lfloor u\rfloor+m = \lfloor u+m\rfloor.

Il a été démontré que :

\boxed{\forall u\in\R, \forall m\in\Z, \lfloor u+m\rfloor = \lfloor u \rfloor + m.}

Synthèse : cas où le nombre $x$ est rationnel

Comme $0\lt x\lt1\comma$ $x$ admet une unique forme irréductible : il existe un unique couple $(r,s)$ d’entiers naturels non nuls tel que :

\left\{\begin{align*} &x=\frac{r}{s}\\ &\pgcd(r,s)=1. \end{align*} \right.

Notez que si $s=1$ alors $x$ est entier, ce qui contredit $x\in]0,1[.$ Donc $s\geq 2.$

Le but va consister à montrer que $x$ peut s’écrire comme un quotient de deux entiers avec un dénominateur égal à $b^N(b^k-1)$ où $N$ est un entier naturel et $k$ un entier naturel non nul.

Notez $B$ l’ensemble des nombres premiers qui divisent la base $b.$ En écrivant $b$ comme produit de nombres premiers, vous déduisez que pour chaque élément $p$ de $B\comma$ il existe un entier naturel non nul $\nu(p)$ de sorte que :

b = \prod_{p\in B} p^{\nu(p)}.

Le dénominateur $s$ admet une décomposition en produit de nombres premiers. Notez $S$ l’ensemble des nombres premiers qui divisent $s.$ En écrivant $s$ comme produit de nombres premiers, vous déduisez que pour chaque élément $p$ de $S\comma$ il existe un entier naturel non nul $\mu(p)$ de sorte que :

s = \prod_{p\in S} p^{\mu(p)}.

Comme $S$ est l’union disjointe de $S\cap B$ et de $S\cap \overline{B}\comma$ ce dernier ensemble étant formé par les nombres premiers $p$ qui divisent $s$ mais pas $b\comma$ vous avez :

s = \prod_{p\in S\cap B} p^{\mu(p)} \times \prod_{p\in S\cap \overline{B}} p^{\mu(p)}.

Vous posez $T = \prod_{p\in S\cap B} p^{\mu(p)}$ et $U = \prod_{p\in S\cap \overline{B}} p^{\mu(p)}.$

Notez que si $S\cap B$ est vide, par définition, $T$ est égal à $1.$ De même, si $S\cap \overline{B}$ est vide, alors $U=1.$

Dans les autres cas, si $T\geq 2$ (ce qui correspond au cas où $S\cap B$ est non vide) les facteurs premiers de $T$ apparaissent tous dans la décomposition en facteurs premiers de $b.$ D’autre part, si $U\geq 2$ (ce qui correspond au cas où $S\cap \overline{B}$ est non vide) les facteurs premiers de $U$ sont tous différents de ceux apparaissant dans $b.$

Vous déduisez de ces observations que $\pgcd(U,b)=1.$ D’autre part, pour tout $p\in S\cap B\comma$ $p$ divise $b$ donc $p^{\mu(p)}$ divise $b^{\mu(p)}.$ En choisissant un entier naturel supérieur ou égal à tous les $\mu(p)\comma$ vous constatez que $T$ divise une puissance de $b.$ Il existe donc un entier naturel $N$ tel que $T$ divise $b^N\comma$ et vous choisissez pour $N$ le plus petit d’entre eux.

Comme $U$ et $b$ sont premiers entre eux, en notant $k$ l’ordre de $b$ modulo $U\comma$ vous avez :

b^k\equiv 1 \mod U.

Il en résulte qu’il existe un entier $\alpha$ et un entier $\beta$ tels que :

\begin{align*} b^N &= \alpha T\\ b^k-1 &= \beta U. \end{align*}

Reprenant l’écriture de $x$ vous obtenez :

\begin{align*} x &= \frac{r}{s}\\ &= \frac{r}{TU}\\ &= \frac{\alpha\beta r}{\alpha T \beta U}\\ &=\frac{\alpha\beta r}{b^N(b^k-1)}. \end{align*}

Maintenant que cette écriture est acquise, vous allez pouvoir démontrer que le développement en base $b$ de $x$ est $k$-périodique à partir du rang $N+1.$

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $N+1.$ D’après les résultats établis dans un autre article, les chiffres du développement propre de $x$ en base $b$ vérifient :

\left\{\begin{align*} c_n &= \lfloor b^nx \rfloor-b \lfloor b^{n-1}x \rfloor\\ c_{n+k} &= \lfloor b^{n+k}x \rfloor-b \lfloor b^{n+k-1}x \rfloor. \end{align*} \right.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 368.

Note. Remarquez que $c_1 = \lfloor b x \rfloor = \lfloor b^1 x \rfloor – b \lfloor b^0 x \rfloor$ vu que $\lfloor x \rfloor = 0.$

Comme $b^N(b^k-1)x = \alpha \beta r$ vous déduisez que $b^N(b^k-1)x$ est un entier, donc $b^{N+k} x-b^N x$ est un entier. Comme $n\geq N\comma$ $b^{n-N}$ est un entier et par produit $b^{n-N}(b^{N+k} x-b^N x)$ est entier donc $b^{n+k} x-b^n x$ est un entier.

D’après le lemme :

\begin{align*} \lfloor b^{n+k}x \rfloor &= \lfloor (b^{n+k}x – b^n x) + b^n x\rfloor \\ &=b^{n+k}x – b^n x + \lfloor b^{n}x \rfloor. \end{align*}

De même, $n\geq N+1$ donc $b^{n-N-1}$ est un entier et par produit $b^{n-N-1}(b^{N+k} x-b^N x)$ est entier donc $b^{n+k-1} x-b^{n-1} x$ est un entier.

Du coup, toujours d’après le lemme :

\begin{align*} \lfloor b^{n+k-1}x \rfloor &= \lfloor (b^{n+k-1}x – b^{n-1} x) + b^{n-1} x\rfloor \\ &=b^{n+k-1}x – b^{n-1} x + \lfloor b^{n-1}x \rfloor. \end{align*}

En multipliant par $b$ vous avez :

\begin{align*} b\lfloor b^{n+k-1}x \rfloor &=b^{n+k}x – b^{n} x + b\lfloor b^{n-1}x \rfloor. \end{align*}

Par soustraction vous avez obtenu :

\begin{align*} \lfloor b^{n+k}x \rfloor – b\lfloor b^{n+k-1}x \rfloor &=b^{n+k}x – b^n x + \lfloor b^{n}x \rfloor – (b^{n+k}x – b^{n} x + b\lfloor b^{n-1}x \rfloor)\\ &= \lfloor b^{n}x \rfloor – b \lfloor b^{n-1}x \rfloor. \end{align*}

Du coup $c_{n+k} = c_n.$

Il vient d’être démontré que :

\forall n\geq N+1, c_{n+k} = c_n.

Le développement propre de $x$ en base $b$ est bien $k$-périodique à partir du rang $N+1.$

Compléments sur la prépériode et la période

D’après ce qui précède, $x$ est rationnel, si et seulement si, son développement propre en base $b$ est périodique à partir d’un certain rang.

Vous supposez maintenant que $x = \frac{r}{TU}$ est rationnel, de sorte qu’il existe un entier naturel $N$ minimal tel que $T$ divise $b^N\comma$ $U$ un entier naturel non nul premier avec $b$ et $\pgcd(r, TU)=1.$ Vous développez $x$ en base $b\comma$ vous notez $M$ la longueur de la prépériode de ce développement (éventuellement nulle) et $\ell$ la longueur de la période de celui-ci, qui est supérieure ou égale à $1.$

Alors :

x = (0{,}c_1\dots c_M\overline{c_{M+1}\dots c_{M+\ell}} )_b.

Les calculs effectués précédemment ont montré que :

x= \frac{(b^{\ell}-1)\sum_{i=1}^M b^{M-i}c_i + \sum_{i=1}^{\ell} b^{\ell-i}c_{M+i}} {b^M(b^{\ell}-1) } = \frac{r}{TU}.

Par produit, cela devient :

TU\left((b^{\ell}-1)\sum_{i=1}^M b^{M-i}c_i + \sum_{i=1}^{\ell} b^{\ell-i}c_{M+i}\right) = rb^M(b^{\ell}-1).

Donc $T$ divise le produit $rb^M(b^{\ell}-1).$ Comme $\pgcd(r,TU)=1$ vous avez aussi $\pgcd(r,T)=1.$ D’après le théorème de Gauss, $T$ divise $b^M(b^{\ell}-1).$ Supposez $\pgcd(T, b^{\ell}-1) \gt 1.$ Il existe un nombre premier $p$ qui divise $\pgcd(T, b^{\ell}-1).$ Alors $p$ divise $T.$ Par définition de $T\comma$ $p$ divise $b\comma$ donc $p$ divise $b^{\ell}.$ Or $p$ divise aussi $b^{\ell}-1$ donc par différence $p$ divise $1$ ce qui est absurde. Donc $\pgcd(T, b^{\ell}-1)=1.$ Toujours par le théorème de Gauss, $T$ divise $b^M.$ Or $N$ est le plus petit entier naturel tel que $T$ divise $b^N\comma$ par suite $M\geq N.$

La longueur de la prépériode est toujours supérieure ou égale à $N\comma$ où :

N = \min\{\xi\in\N, T\mid b^{\xi}\}.

Reprenant l’égalité $TU\left((b^{\ell}-1)\sum_{i=1}^M b^{M-i}c_i + \sum_{i=1}^{\ell} b^{\ell-i}c_{M+i}\right) = rb^M(b^{\ell}-1)$ vous déduisez que $U$ divise $rb^M(b^{\ell}-1).$ Comme $\pgcd(r,TU)=1$ vous avez $\pgcd(r,U)=1.$ Le théorème de Gauss permet d’affirmer que $U$ divise $b^M(b^{\ell}-1).$ Or, $\pgcd(U,b)=1$ donc $\pgcd(U,b^M)=1$ et via le théorème de Gauss, $U$ divise $b^{\ell}-1$ donc $b^{\ell}\equiv 1 \mod U$ donc $\ell$ est un multiple de l’ordre de $b$ modulo $U.$

En notant $k$ l’ordre de $b$ modulo $U\comma$ il apparaît que la longueur de la période est toujours un multiple de $k.$

Conclusion

Soit $b$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ qui sera appelé base et soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$

Le développement propre de $x$ en base $b$ est périodique à partir d’un certain rang, si et seulement si, $x$ est rationnel.

Si $x$ est rationnel, il existe un unique couple $(r,s)$ d’entiers naturels non nuls, avec $s\geq 2$ et $\pgcd(r,s)=1\comma$ tel que :

x = \frac{r}{s}.

Vous décomposez $s$ sous la forme $s = TU$ où l’entier non nul $T$ est formé par la partie de la décomposition en facteurs premiers de $s$ comportant tous les nombres premiers qui divisent la base $b\comma$ avec $T=1$ s’il n’y en a pas, et où l’entier non nul $U$ est formé par la partie de la décomposition en facteurs premiers de $s$ comportant tous les nombres premiers qui ne divisent pas la base $b\comma$ avec $U=1$ s’il n’y en a pas.

En notant $\boxed{N = \min\{\xi\in\N, T\mid b^{\xi}\} }$ et $\boxed{k = \text{l’ordre de } b\text{ modulo }U}\comma$ le développement propre de $x$ en base $b$ est $k$-périodique, avec une prépériode de longueur $N.$

De plus, si vous choisissez une autre prépériode ou une autre période dans le développement de $x$ en base $b\comma$ alors la longueur de cette prépériode sera supérieure ou égale à $N$ et la longueur de la période sera un multiple de $k\comma$ donc supérieure ou égale à $k.$

Reprise de l’exemple du début, calcul préalable de la prépériode et de la période de $\frac{3}{22}$

Sans poser de division, vous pouvez savoir que $\frac{3}{22}$ admet un développement décimal propre périodique et déterminer sa prépériode la plus courte ainsi que sa période la plus courte.

En décimal, l’écriture de la base $b$ en produit de nombres premiers est égale à $10 = 2\times 5.$

Vous écrivez maintenant $22$ en produit de nombres premiers :

22 = 2\times 11.

Vous séparez ceux qui apparaissent dans la décomposition de $b$ des autres.

Vous obtenez $T = 2$ et $U = 11.$ Vous avez $N = \min\{\xi\in\N, T\mid 10^{\xi}\} = 1.$ La prépériode a pour longueur $1.$

Il reste maintenant à chercher l’ordre $k$ de $10$ modulo $11$.

\left\{\begin{align*} 10^1 \equiv -1 \mod 11\\ 10^2 \equiv 1 \mod 11. \end{align*} \right.

Vous avez obtenu $k = 2$ donc la période sera de longueur $2.$

Vous allez maintenant utiliser $3$ divisions pour obtenir les chiffres intervenant dans le développement de $\frac{3}{22}.$

D’après ce qui précède, il suffit de calculer $c_1, c_2$ et $c_3.$

c_1 = \left\lfloor 10 \times \frac{3}{22}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{30}{22}\right\rfloor = 1.

Puis :

\begin{align*} c_2 &= \left\lfloor 100 \times \frac{3}{22}\right\rfloor – 10 \left\lfloor 10 \times \frac{3}{22}\right\rfloor\\ &= \left\lfloor \frac{300}{22}\right\rfloor – 10\times 1\\ &=13-10\\ &=3. \end{align*}

Enfin :

\begin{align*} c_3 &= \left\lfloor 1000 \times \frac{3}{22}\right\rfloor – 10 \left\lfloor 100 \times \frac{3}{22}\right\rfloor\\ &= \left\lfloor \frac{3000}{22}\right\rfloor – 10\times 13\\ &=136-130\\ &=6. \end{align*}

Par conséquent :

\frac{3}{22} = 0{,}c_1\overline{c_2c_3} = 0{,}1\overline{36}.