369. Nombres dont le développement se termine en base b

Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$ appelé base et soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$

Il a été démontré dans deux autres articles que $x$ admet un unique développement propre en base $b.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 368.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 367.

Il existe une unique suite $(c_i)_{i\geq 1}$ telle que :

\left\{ \begin{align*} &\forall i\geq 1, 0\leq c_i \leq b-1\\ &\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1\\ &x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}. \end{align*} \right.

Par définition, vous direz que la représentation de $x$ en base $b$ donnée par $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ se termine, si et seulement si, tous les $c_i$ sont nuls à partir d’un certain rang, soit $\exists M\in\NN, \forall n\geq M, c_n = 0.$

Analyse

Supposez que la représentation de $x$ en base $b$ se termine.

Il existe un entier $M$ non nul tel que :

\forall n\geq M, c_n = 0.

Si $M$ était égal à $1\comma$ alors $x$ serait nul ce qui est absurde. Donc $M$ est supérieur ou égal à $2.$

Vous écrivez maintenant :

\begin{align*} x &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + \sum_{i=M}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}\\ &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + \sum_{i=M}^{+\infty}\frac{0}{b^i}\\ &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + 0\\ &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} \\ &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{b^{M-1-i}c_i}{b^{M-1}} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{M-1}b^{M-1-i}c_i}{b^{M-1}}. \end{align*}

Vous posez :

\left\{\begin{align*} r &= \sum_{i=1}^{M-1}b^{M-1-i}c_i\\ s &= b^{M-1}. \end{align*} \right.

Ainsi vous avez $x=\frac{r}{s}.$ Comme $M\geq 2\comma$ vous avez $s \geq b\geq 2$ donc $s$ est un entier non nul. L’entier $r$ est un entier naturel comme somme d’entiers naturels, et comme $r = sx$ où $x$ est strictement supérieur à $0\comma$ vous déduisez que $s$ et $r$ sont deux entiers strictement positifs. Notez maintenant $d = \pgcd(r,s).$ Il existe deux entiers strictement positifs $r’$ et $s’$ tels que $r =dr’$ et $s = ds’.$

D’une part $x = \frac{r}{s} = \frac{dr’}{ds’} = \frac{r’}{s’}$ avec $d = \pgcd(dr’,ds’) = d\, \pgcd(r’,s’)$ et donc $1 = \pgcd(r’,s’).$

Notez que si $s’ = 1$ alors $x = r’$ et $x$ est entier ce qui est absurde puisque $x\in]0,1[.$ Donc $s’\geq 2.$

Soit maintenant $p$ un facteur premier de $s’.$ Le nombre $p$ divise $s’$ or $s’$ divise $s = b^{M-1}$ donc $p$ divise $b^{M-1}.$ Par le lemme d’Euclide, $p$ divise $b.$

Par conséquent tous les facteurs premiers de $s’$ sont aussi des facteurs premiers de $b.$

L’analyse est achevée. Si $x$ admet un développement en base $b$ qui se termine, alors il existe deux entiers naturels non nuls $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x = \frac{r’}{s’}$ et $\pgcd(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$

Synthèse

Supposez qu’il existe deux entiers naturels non nuls $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x=\frac{r’}{s’}$ et $\pgcd(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$

Comme $s’$ est un entier supérieur ou égal à $2$ il admet une décomposition en produit de nombres premiers. Notez $t$ le nombre de nombres premiers distincts qui apparaissent dans cette décomposition, où $t$ est un entier naturel non nul, et $p_1, \dots, p_t$ ces nombres premiers deux à deux distincts. Il existe des entiers naturels non nuls $u_1, \dots, u_t$ tels que :

s' = p_1^{u_1}\times\cdots\times p_t^{u_t}.

Par hypothèse, $p_1,\dots, p_t$ sont des nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition de $b.$ Il existe un entier naturel non nul $q$ et des entiers naturels non nuls $v_1, \dots, v_t$ tels que :

b = p_1^{v_1}\times\cdots\times p_t^{v_t}\times q.

Soit $M$ l’entier naturel non nul défini par :

M =\left\lfloor \max\left\{\frac{u_i}{v_i}, 1\leq i\leq t\right\}\right\rfloor+1.

Par définition de la partie entière, vous avez :

M\gt\max\left\{\frac{u_i}{v_i}, 1\leq i\leq t\right\}.

Du coup :

\forall i\in\llbracket 1, t\rrbracket, \frac{u_i}{v_i}\lt M.

Ainsi :

\forall i\in\llbracket 1, t\rrbracket, u_i\lt Mv_i.

Les exposants $Mv_1-u_1,\dots,Mv_t-u_t$ sont donc des entiers naturels non nuls. En élevant $b$ à la puissance $M$ il vient :

\begin{align*} b^M &= p_1^{Mv_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t}\times q^M\\ &=(p_1^{u_1}\times\cdots\times p_t^{u_t})\times (p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M)\\ &=s' \times (p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M). \end{align*}

Vous notez $a$ l’entier naturel non nul défini par $p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M$ pour avoir :

b^M = s' a.

Vous écrivez alors :

\begin{align*} x &= \frac{r'}{s'}\\ &=\frac{ar'}{as'}\\ &=\frac{ar'}{b^M}. \end{align*}

Comme $0\lt x\lt1$ vous déduisez que $0 \lt ar’ \lt b^M.$ En décomposant l’entier non nul $ar’$ en base $b\comma$ il existe des entiers $d_0, \dots, d_{M-1}$ vérifiant :

\begin{align*} &ar' = d_{M-1}b^{M-1}+\cdots+d_0\\ &\forall i\in\llbracket 0, M-1\rrbracket, 0\leq d_i\leq b-1. \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} x &= \frac{d_{M-1}b^{M-1}+\cdots+d_0}{b^M}\\ &= \frac{\sum_{i=0}^{M-1}d_i b^i}{b^M}\\ &= \sum_{i=0}^{M-1}\frac{d_i }{b^{M-i}}\\ &= \sum_{j=1}^{M}\frac{d_{M-j} }{b^{j}}. \end{align*}

En complétant par des chiffres nuls au-delà du rang $M\comma$ vous obtenez une écriture de $x$ en base $b$ dont tous les chiffres sont compris entre $0$ et $b-1.$ Comme $b-1\geq 1\comma$ ses chiffres ne sont pas tous égaux à $b-1$ à partir d’un certain rang : il s’agit d’un développement propre en base $b.$ Par unicité de celui-ci :

\left\{\begin{align*} &\forall j\in\llbracket 1, M\rrbracket, c_j = d_{M-j}\\ &\forall j\geq M+1, c_j = 0. \end{align*} \right.

Il a bien été démontré que $x$ admet une écriture en base $b$ qui se termine.

Concluez

Soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$

Le développement propre de $x$ en base $b$ se termine, si et seulement si, il existe deux entiers naturels non nuls $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x = \frac{r’}{s’}$ et $\pgcd(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$