Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$ appelé base et soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$
Il a été démontré dans le contenu rédigé dans l'article 368 et dans celui rédigé dans l'article 367 que $x$ admet un unique développement propre en base $b.$
Il existe une unique suite $(c_i)_{i\geq 1}$ telle que :
\left\{
\begin{align*}
&\forall i\geq 1, 0\leq c_i \leq b-1\\
&\forall N\in\NN, \exists n\geq N, c_n\neq b-1\\
&x = \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}.
\end{align*}
\right.Par définition, vous direz que la représentation de $x$ en base $b$ donnée par $\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}$ se termine, si et seulement si, tous les $c_i$ sont nuls à partir d’un certain rang, soit $\exists M\in\NN, \forall n\geq M, c_n = 0.$
Analyse
Supposez que la représentation de $x$ en base $b$ se termine.
Il existe un entier $M$ non nul tel que :
\forall n\geq M, c_n = 0.
Si $M$ était était égal à $1$, alors $x$ serait nul ce qui est absurde. Donc $M$ est supérieur ou égal à $2.$
Vous écrivez maintenant :
\begin{align*}
x &=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + \sum_{i=M}^{+\infty}\frac{c_i}{b^i}\\
&=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + \sum_{i=M}^{+\infty}\frac{0}{b^i}\\
&=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} + 0\\
&=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{c_i}{b^i} \\
&=\sum_{i=1}^{M-1}\frac{b^{M-1-i}c_i}{b^{M-1}} \\
&= \frac{\sum_{i=1}^{M-1}b^{M-1-i}c_i}{b^{M-1}}.
\end{align*} Vous posez :
\left\{\begin{align*}
r &= \sum_{i=1}^{M-1}b^{M-1-i}c_i\\
s &= b^{M-1}.
\end{align*}
\right.Ainsi vous avez $x=frac{r}{s}.$ $s \geq b\geq 2$ vous avez $s$ qui est non nul. Comme $r = sx$ où $x$ est strictement supérieur à $0$, vous déduisez que $s$ et $r$ sont deux entiers strictement positifs. Notez maintenant $d = PGCD(r,s).$ Il existe deux entiers strictement positifs $r’$ et $s’$ tels que $r =dr’$ et $s = ds’.$
D’une part $x = \frac{r}{s} = \frac{dr’}{ds’} = \frac{r’}{s’}$ avec $d = PGCD(dr’,ds’) = d PGCD(r’,s’)$ et donc $1 = PGCD(r’,s’).$
Notez que si $s’ = 1$ alors $x = r’$ et $x$ est entier ce qui est absurde puisque $x\in]0,1[.$ Donc $s’\geq 2.$
Soit maintenant $p$ un facteur premier de $s’.$ $p$ divise $s’$ or $s’$ divise $s = b^{M-1}$ donc $p$ divise $b^{M-1}.$ Par le lemme d’Euclide, $p$ divise $b.$
Par conséquent tous les facteurs premiers de $s’$ sont aussi des facteurs premiers de $b.$
L’analyse est achevée. Si $x$ admet un développement en base $b$ qui se termine, alors il existe deux entiers $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x = \frac{r’}{s’}$ et $PGCD(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$
Synthèse
Supposez qu’il existe deux entiers $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x=\frac{r’}{s’}$ et $PGCD(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$
Comme $s’$ est un entier supérieur ou égal à $2$ il admet une décomposition en produit de $t$ nombres premiers où $t$ est un entier naturel non nul. Notez $p_1, \dots, p_t$ les $t$ nombres premiers deux à deux distincts qui apparaissent dans cette décomposition. Il existe des entiers naturels non nuls $u_1, \dots, u_t$ tels que :
s' = p_1^{u_1}\times\cdots\times p_t^{u_t}.Par hypothèse, $p_1,\dots, p_t$ sont des nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition de $b.$ Il existe un entier naturel non nul $q$ et des entiers naturels non nuls $v_1, \dots, v_t$ tels que :
b = p_1^{v_1}\times\cdots\times p_t^{v_t}\times q.Soit $M$ l’entier naturel non nul défini par :
M =\left\lfloor \max\left\{\frac{u_i}{v_i}, 1\leq i\leq t\right\}\right\rfloor+1.Par définition de la partie entière, vous avez :
M>\max\left\{\frac{u_i}{v_i}, 1\leq i\leq t\right\}.Du coup :
\forall i\in\llbracket 1, t\rrbracket, \frac{u_i}{v_i}< M.Ainsi :
\forall i\in\llbracket 1, t\rrbracket, u_i< Mv_i.
En élevant $b$ à la puissance $M$ il vient :
\begin{align*}
b^M &= p_1^{Mv_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t}\times q^M\\
&=(p_1^{u_1}\times\cdots\times p_t^{u_t})\times (p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M)\\
&=s' \times (p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M).
\end{align*} Vous notez $a$ l’entier naturel non nul défini par $p_1^{Mv_1-u_1}\times\cdots\times p_t^{Mv_t-u_t}\times q^M$ pour avoir :
b^N = s' a.
Vous écrivez alors :
\begin{align*}
x &= \frac{r'}{s'}\\
&=\frac{ar'}{as'}\\
&=\frac{ar'}{b^M}.
\end{align*} Comme $0<x<1$ vous déduisez que $0 <ar’ < b^M.$ En décomposant l’entier non nul $ar’$ en base $b$, il existe des entiers $d_0, \dots, d_{M-1}$ vérifiant :
\begin{align*}
&ar' = d_{M-1}b^{M-1}+\cdots+d_0\\
&\forall i\in\llbracket 0, M-1\rrbracket, 0\leq d_i\leq b-1.
\end{align*}Ainsi :
\begin{align*}
x &= \frac{d_{M-1}b^{M-1}+\cdots+d_0}{b^M}\\
&= \frac{\sum_{i=0}^{M-1}d_i b^i}{b^M}\\
&= \sum_{i=0}^{M-1}\frac{d_i }{b^{M-i}}\\
&= \sum_{j=1}^{M}\frac{d_{M-j} }{b^{j}}.
\end{align*} L’écriture obtenue de $x$ est un développement propre en base $b.$ Par unicité de celui-ci :
\left\{\begin{align*}
&\forall j\in\llbracket 1, M\rrbracket, c_j = d_{M-j}\\
&\forall j\geq M+1, c_j = 0.
\end{align*}
\right.Il a bien été démontré que $x$ admet une écriture en base $b$ qui se termine.
Concluez
Soit $x$ un nombre réel strictement compris entre $0$ et $1.$
Le développement propre de $x$ en base $b$ qui se termine, si et seulement si, il existe deux entiers $r’$ et $s’$ avec $s’\geq 2$ tels que $x = \frac{r’}{s’}$ et $PGCD(r’,s’)=1$ et tous les facteurs premiers de $s’$ sont des facteurs premiers de $b.$
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