Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :
\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \mathrm{PGCD}(k,n)=1\}.Quand on arrive à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, on détermine $\varphi(n)$ grâce au contenu rédigé dans l'article 372.
Dans ce qui suit, vous allez déterminer tous les entiers naturels $n$ non nuls tels que $\varphi(n)=6.$
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Lemme préliminaire
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit $p$ un nombre premier divisant $n.$
L’entier $n$ s’écrit comme un produit de nombres premiers.
Il existe un entier naturel non nul $k$ des nombres premiers $p_1,\dots,p_k$ deux à deux distincts et des entiers naturel non nuls $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ tels que :
n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}.Comme $p$ apparaît dans cette décomposition, il existe $j\in\llbracket 1, k\rrbracket$ tel que $p_j = p.$En utilisant la multiplicativité de la fonction $\varphi$ et en notant que les nombres $p_1^{\alpha_1}, \dots, p_k^{\alpha_k}$ sont premiers entre eux deux à deux, vous obtenez :
\begin{align*}
\varphi(n)&=\prod_{i=1}^k \varphi(p_i^{\alpha_i})\\
&=\varphi(p_j^{\alpha_j}) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i})\\
&= p_j^{\alpha_j-1}(p_j-1) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i})\\
&= p_j^{\alpha_j-1}(p-1) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i}).
\end{align*}Ainsi :
p-1 \mid \varphi(n).
Déterminez tous les antécédents de $1$ par la fonction $\varphi$
Notez déjà que pour $n=1$ ou $n=2$ vous avez $\varphi(n)=1.$
Réciproquement, soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ tel que $\varphi(n)=1.$
Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après le lemme préliminaire $p-1$ divise $\varphi(n)$ donc $p-1$ divise $1$ donc $p-1=1$ et $p=2.$
Il s’ensuit qu’il existe un entier naturel non nul $a$ tel que $n = 2^a.$ Alors $\varphi(n) = 2^{a-1}$ et $1 = 2^{a-1}$ d’où $a=1$ puis $n=2.$
Il a été démontré ce qui suit :
\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)=1\Longleftrightarrow n\in\{1,2\}.}Analyse : recherchez les antécédents de $6$ par la fonction $\varphi$
Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $\varphi(n)=6.$ Comme $\varphi(n)\neq 1$ vous avez $n\geq 3.$
Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après le lemme préliminaire, $p -1$ divise $\varphi(n).$ Comme il est supposé que $\varphi(n)=6$ vous déduisez que $p-1$ est inférieur ou égal à $6$ donc $p$ est inférieur ou égal à $7.$
Or il n’y a que quatre nombres premiers inférieurs ou égaux à $7$ qui sont $2, 3, 5$ et $7.$ Du coup :
p\in\{2,3,5,7\}.Notez que si $p=5$ alors vous obtenez que $4$ divise $\varphi(n)$ soit $4$ qui divise $6$ ce qui est impossible. Finalement :
p\in\{2,3,7\}.Vous déduisez qu’il existe des entiers naturels (pas forcément non nuls) $a, b, c$ et $d$ tels que :
n =2^a3^b7^d.
Supposez que $d$ soit supérieur ou égal à $2.$ Vous avez :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(2^a 3^b) \varphi(7^d)\\
&= \varphi(2^a 3^b) \times 7^{d-1} \times 6.
\end{align*}Comme $d-1\geq 1$ vous déduisez que $7^{d-1}\times 6 \geq 42$ donc $\varphi(n)\geq 42$ ce qui est absurde.
Du coup vous avez obtenu :
d\in\{0,1\}.Supposez que $d=1$
Dans ce cas $n =7\times 2^a3^b.$ Il vient alors :
\varphi(n) = 6\times \varphi(2^a 3^b).
Du coup :
\varphi(2^a 3^b) = 1.
Donc :
2^a 3^b \in\{1, 2\}.En multipliant par $7$ vous en déduisez que :
\boxed{n\in\{7,14\}.}Supposez que $d=0$
Dans ce cas $n =2^a3^b.$
Supposez que $b$ soit supérieur ou égal à $2.$ Alors :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(2^a)\times 3^{b-1} \times 2 \\
6 &= \varphi(2^a)\times 3^{b-1} \times 2 \\
3 &= \varphi(2^a)\times 3^{b-1}\\
1 &= \varphi(2^a)\times 3^{b-2}.
\end{align*}Du coup $3^{b-2} = 1$ et $b=2.$
Vous en déduisez que :
b\in\{0,1, 2\}.Supposez que $b=2$
Il vient $n =9\times 2^a.$ Du coup :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(9)\times \varphi(2^a)\\
6 &= 6\times \varphi(2^a)\\
1 &= \varphi(2^a).
\end{align*}Ainsi :
\begin{align*}
2^a\in\{1,2\}\\
9\times 2^a \in\{9,18\}.
\end{align*} Finalement :
\boxed{n\in\{9,18\}.}Supposez que $b=1$
Il vient $n =3\times 2^a.$ Comme $n\geq 3$ vous avez $a\geq 1$. Or :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(3)\times \varphi(2^a)\\
6 &= 2\times \varphi(2^a)\\
3 &= \varphi(2^a).
\end{align*}Si $a = 1$, alors $2^a = 1$ et $\varphi(2^a) = \varphi(2) = 1$ contradiction.
Si $a\geq 2$ alors $\varphi(2^a) = 2^{a-1}.$ Comme $a-1\geq 1$ vous savez que $2^{a-1}$ est pair. Donc $\varphi(2^a)$ est pair, contradiction.
Il en résulte que $b$ ne peut être égal à $1.$
Supposez que $b=0$
Il vient $n = 2^a.$ Comme $n\geq 3$ vous avez $a\geq 2.$ Or :
6 = \varphi(2^a).
Donc $\varphi(2^a) = 2^{a-1}$ et $6 = 2^{a-1}.$ En simplifiant par $2$, il vient $3 = 2^{a-2}.$ Or $2^{a-2}$ vaut $1$ si $a=2$ et est un entier pair si $a\geq 3$. On aboutit encore à une contradiction.
Donc $b$ ne peut pas être nul.
L’analyse est terminée. Il a été démontré l’implication suivante :
\forall n\in\NN, \varphi(n)=6\implies n\in\{7, 9,14,18\}.Synthèse
Pour $n=7$ comme $7$ est premier vous avez $\varphi(7)=7-1=6.$
Pour $n=9$ comme $n = 3^2$ qui est une puissance d’un nombre premier vous avez $\varphi(9) = 3^1\times (3-1) = 6.$
Pour $n=14$ comme $n = 2\times 7$ qui est le produit de deux nombres premiers il vient :
\begin{align*}
\varphi(14)&=\varphi(2) \times \varphi(7) \\
&=1\times 6\\
&=6.
\end{align*}Pour $n=18$ comme $n = 2\times 9$ qui est le produit de deux nombres premiers entre eux, il vient :
\begin{align*}
\varphi(18)&=\varphi(2) \times \varphi(9) \\
&=1\times 6\\
&=6.
\end{align*}Concluez
L’équivalence suivante a été obtenue :
\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)=6\Longleftrightarrow n\in\{7, 9,14,18\}.}Prolongement
Pourriez-vous démontrer que pour tout entier naturel $k$ l’équation $\varphi(n)=k$ d’inconnue $n\in\NN$ admet un nombre fini de solutions ?
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