373. Trouvez tous les antécédents de 6 par l’indicatrice d’Euler

Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :

\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \pgcd(k,n)=1\}.

Quand vous parvenez à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, vous pouvez déterminer $\varphi(n)$ grâce à la formule établie dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 372.

Dans ce qui suit, vous allez déterminer tous les entiers naturels $n$ non nuls tels que $\varphi(n)=6.$

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Lemme préliminaire

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soit $p$ un nombre premier divisant $n.$

L’entier $n$ s’écrit comme un produit de nombres premiers.

Il existe un entier naturel non nul $k\comma$ des nombres premiers $p_1,\dots,p_k$ deux à deux distincts et des entiers naturels non nuls $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ tels que :

n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}.

Comme $p$ apparaît dans cette décomposition, il existe $j\in\llbracket 1, k\rrbracket$ tel que $p_j = p.$ En utilisant la multiplicativité de la fonction $\varphi$ et en notant que les nombres $p_1^{\alpha_1}, \dots, p_k^{\alpha_k}$ sont premiers entre eux deux à deux, puis l’égalité $\varphi(p_j^{\alpha_j}) = p_j^{\alpha_j-1}(p_j-1)\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \varphi(n)&=\prod_{i=1}^k \varphi(p_i^{\alpha_i})\\ &=\varphi(p_j^{\alpha_j}) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i})\\ &= p_j^{\alpha_j-1}(p_j-1) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i})\\ &= p_j^{\alpha_j-1}(p-1) \prod_{\substack{1\leq i \leq k\\i\neq j}} \varphi(p_i^{\alpha_i}). \end{align*}

Ainsi :

p-1 \mid \varphi(n).

Déterminez tous les antécédents de $1$ par la fonction $\varphi$

Notez déjà que pour $n=1$ ou $n=2$ vous avez $\varphi(n)=1.$

Réciproquement, soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ tel que $\varphi(n)=1.$

Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après le lemme préliminaire $p-1$ divise $\varphi(n)$ donc $p-1$ divise $1$ donc $p-1=1$ et $p=2.$

Il s’ensuit qu’il existe un entier naturel non nul $a$ tel que $n = 2^a.$ Alors $\varphi(n) = 2^{a-1}$ et $1 = 2^{a-1}$ d’où $a=1$ puis $n=2.$

Il a été démontré ce qui suit :

\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)=1\Longleftrightarrow n\in\{1,2\}.}

Analyse : recherchez les antécédents de $6$ par la fonction $\varphi$

Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $\varphi(n)=6.$ Comme $\varphi(n)\neq 1$ vous avez $n\geq 3.$

Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après le lemme préliminaire, $p -1$ divise $\varphi(n).$ Comme il est supposé que $\varphi(n)=6$ vous déduisez que $p-1$ est inférieur ou égal à $6$ donc $p$ est inférieur ou égal à $7.$

Or il n’y a que quatre nombres premiers inférieurs ou égaux à $7$ qui sont $2, 3, 5$ et $7.$ Du coup :

p\in\{2,3,5,7\}.

Notez que si $p=5$ alors vous obtenez que $4$ divise $\varphi(n)$ soit $4$ qui divise $6$ ce qui est impossible. Finalement :

p\in\{2,3,7\}.

Vous déduisez qu’il existe des entiers naturels (pas forcément non nuls) $a, b$ et $d$ tels que :

n =2^a3^b7^d.

Supposez que $d$ soit supérieur ou égal à $2.$ Les entiers $2^a 3^b$ et $7^d$ étant premiers entre eux, vous avez :

\begin{align*} \varphi(n) &= \varphi(2^a 3^b) \varphi(7^d)\\ &= \varphi(2^a 3^b) \times 7^{d-1} \times 6. \end{align*}

Comme $d-1\geq 1$ vous déduisez que $7^{d-1}\times 6 \geq 42.$ Comme de plus $\varphi(2^a 3^b)\geq 1\comma$ il vient $\varphi(n)\geq 42$ ce qui est absurde.

Du coup vous avez obtenu :

d\in\{0,1\}.

Supposez que $d=1$

Dans ce cas $n =7\times 2^a3^b.$ Par multiplicativité, puisque $7$ et $2^a 3^b$ sont premiers entre eux, il vient alors :

\varphi(n) = 6\times \varphi(2^a 3^b).

Du coup :

\varphi(2^a 3^b) = 1.

Donc, d’après le résultat sur les antécédents de $1\comma$ vous obtenez :

2^a 3^b \in\{1, 2\}.

En multipliant par $7$ vous en déduisez que :

\boxed{n\in\{7,14\}.}

Supposez que $d=0$

Dans ce cas $n =2^a3^b.$

Supposez que $b$ soit supérieur ou égal à $2.$ Alors :

\begin{align*} 6 &= \varphi(n)\\ &= \varphi(2^a)\times 3^{b-1} \times 2. \end{align*}

En divisant par $6\comma$ vous obtenez :

1 = \varphi(2^a)\times 3^{b-2}.

Un produit de deux entiers naturels non nuls ne peut valoir $1$ que si chacun d’eux vaut $1.$ Du coup $3^{b-2} = 1$ et $b=2.$

Vous en déduisez que :

b\in\{0,1, 2\}.

Supposez que $b=2$

Il vient $n =9\times 2^a.$ Du coup :

\begin{align*} 6 &= \varphi(n)\\ &= \varphi(9)\times \varphi(2^a)\\ &= 6\times \varphi(2^a). \end{align*}

Donc $\varphi(2^a) = 1.$ Ainsi :

\begin{align*} 2^a\in\{1,2\}\\ 9\times 2^a \in\{9,18\}. \end{align*}

Finalement :

\boxed{n\in\{9,18\}.}

Supposez que $b=1$

Il vient $n =3\times 2^a.$ Or :

\begin{align*} 6 &= \varphi(n)\\ &= \varphi(3)\times \varphi(2^a)\\ &= 2\times \varphi(2^a). \end{align*}

Donc $\varphi(2^a) = 3.$

Si $a\in\{0,1\}\comma$ alors $2^a\in\{1,2\}$ et $\varphi(2^a) = 1\comma$ contradiction.

Si $a\geq 2$ alors $\varphi(2^a) = 2^{a-1}.$ Comme $a-1\geq 1$ vous savez que $2^{a-1}$ est pair. Donc $\varphi(2^a)$ est pair, contradiction.

Il en résulte que $b$ ne peut être égal à $1.$

Supposez que $b=0$

Il vient $n = 2^a.$ Comme $n\geq 3$ vous avez $a\geq 2.$ Or :

6 = \varphi(2^a).

Donc $\varphi(2^a) = 2^{a-1}$ et $6 = 2^{a-1}.$ En simplifiant par $2\comma$ il vient $3 = 2^{a-2}.$ Or $2^{a-2}$ vaut $1$ si $a=2$ et est un entier pair si $a\geq 3$. Vous aboutissez encore à une contradiction.

Donc $b$ ne peut pas être nul.

L’analyse est terminée. Il a été démontré l’implication suivante :

\forall n\in\NN, \varphi(n)=6\implies n\in\{7, 9,14,18\}.

Synthèse

Pour $n=7$ comme $7$ est premier vous avez $\varphi(7)=7-1=6.$

Pour $n=9$ comme $n = 3^2$ qui est une puissance d’un nombre premier vous avez $\varphi(9) = 3^1\times (3-1) = 6.$

Pour $n=14$ comme $n = 2\times 7$ qui est le produit de deux nombres premiers distincts il vient :

\begin{align*} \varphi(14)&=\varphi(2) \times \varphi(7) \\ &=1\times 6\\ &=6. \end{align*}

Pour $n=18$ comme $n = 2\times 9$ qui est le produit de deux nombres premiers entre eux, il vient :

\begin{align*} \varphi(18)&=\varphi(2) \times \varphi(9) \\ &=1\times 6\\ &=6. \end{align*}

Concluez

L’équivalence suivante a été obtenue :

\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)=6\Longleftrightarrow n\in\{7, 9,14,18\}.}

Prolongement

Pourriez-vous démontrer que pour tout entier naturel $k$ l’équation $\varphi(n)=k$ d’inconnue $n\in\NN$ admet un nombre fini de solutions ?