Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :
\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \mathrm{PGCD}(k,n)=1\}.Quand on arrive à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, on détermine $\varphi(n)$ grâce au contenu rédigé dans l'article 372.
Dans ce qui suit, vous allez déterminer tous les entiers naturels $n$ non nuls tels que $\varphi(n)=14.$
Trouvez tous les antécédents de $14$ par l’indicatrice d’Euler
Soit $n$ un entier naturel non nul tel que :
\varphi(n)=14.
Comme $\varphi(1)=1$, vous avez $n\neq 1$ donc $n\geq 2.$
Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après le lemme explicité dans le contenu rédigé dans l'article 373, $p-1$ divise $\varphi(n).$
Donc $p-1\leq 14$ d’où $p\leq 15.$ Comme $p$ est premier, vous avez :
p\in\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}.Si $p=13$ alors $p-1$ divise $14$ et $12$ divise $14$ ce qui est absurde.
Si $p=11$ alors $p-1$ divise $14$ et $10$ divise $14$ ce qui est absurde.
Si $p=7$ alors $p-1$ divise $14$ et $6$ divise $14$ ce qui est absurde.
Si $p=5$ alors $p-1$ divise $14$ et $4$ divise $14$ ce qui est absurde.
Vous déduisez de ces situations que :
p\in\{2,3\}.Vous écrivez l’entier $n$ comme produit de nombres premiers. Vu ce qui a été établi, il existe deux entiers naturel $a$ et $b$ tels que :
n = 2^a3^b.
Supposez que $b\geq 1$ et trouvez la valeur de $b$
Utilisant la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler, vous avez :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(2^a)\varphi(3^b)\\
14 &= \varphi(2^a)\times3^{b-1} \times 2.
\end{align*}En divisant par $2$, vous avez :
7 = \varphi(2^a)\times3^{b-1}.Si $b\geq 2$ alors vous écrivez :
7 = \varphi(2^a)\times3^{b-2}\times 3.Donc $3$ divise $7$ ce qui est absurde.
Donc $b=1$ ce qui fournit $7 = \varphi(2^a).$
Si $a\in\{0,1\}$ alors $7 = 1$ ce qui absurde, donc $a\geq 2.$ Il vient alors :
\begin{align*}
7 &= \varphi(2^a)\\
&= 2^{a-1}\\
&= 2^{a-2}\times 2.
\end{align*} Donc $2$ divise $7$ ce qui est absurde.
Vous déduisez de cette section que $b=0.$
Étudiez la situation avec l’entier $a$
Il s’ensuit que $n = 2^a.$ Comme $n\geq 2$ vous avez $a\geq 1.$ Du coup :
\begin{align*}
\varphi(n) &= 2^{a-1}\\
14 &= 2^{a-1}.
\end{align*}Si $a=1$ alors $14 = 2^0 = 1$ ce qui est absurde. Donc $a\geq 2.$ En divisant l’égalité obtenue par $2$ vous obtenez :
7 = 2^{a-2}.Si $a=2$ alors $7 = 2^0 = 1$ ce qui est absurde. Donc $a\geq 3$ ce qui permet d’écrire :
7 = 2^{a-3}\times 2.Donc $2$ divise $7$ ce qui est absurde.
Concluez
$14$ n’admet pas d’antécédent par la fonction d’Euler. Autrement dit :
\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)\neq 14.}Partagez maintenant !
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