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374. Trouvez tous les antécédents de 14 par l’indicatrice d’Euler

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :

\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \pgcd(k,n)=1\}.

Quand vous parvenez à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, vous pouvez déterminer $\varphi(n)$ grâce à la formule établie dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 372.

Dans ce qui suit, vous allez déterminer tous les entiers naturels $n$ non nuls tels que $\varphi(n)=14.$

Trouvez tous les antécédents de $14$ par l’indicatrice d’Euler

Soit $n$ un entier naturel non nul tel que :

\varphi(n)=14.

Comme $\varphi(1)=1\comma$ vous avez $n\neq 1$ donc $n\geq 2.$

Soit $p$ un nombre premier divisant $n.$ D’après un lemme démontré dans un autre article, $p-1$ divise $\varphi(n).$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 373.

Donc $p-1\leq 14$ d’où $p\leq 15.$ Comme $p$ est premier, vous avez :

p\in\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}.

Si $p=13$ alors $p-1$ divise $14$ et $12$ divise $14$ ce qui est absurde.

Si $p=11$ alors $p-1$ divise $14$ et $10$ divise $14$ ce qui est absurde.

Si $p=7$ alors $p-1$ divise $14$ et $6$ divise $14$ ce qui est absurde.

Si $p=5$ alors $p-1$ divise $14$ et $4$ divise $14$ ce qui est absurde.

Vous déduisez de ces situations que :

p\in\{2,3\}.

Vous écrivez l’entier $n$ comme produit de nombres premiers. Vu ce qui a été établi, il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que :

n = 2^a3^b.

Supposez que $b\geq 1$ et aboutissez à une contradiction

Les entiers $2^a$ et $3^b$ sont premiers entre eux. En utilisant la multiplicativité de l’indicatrice d’Euler, ainsi que l’égalité $\varphi(3^b) = 3^{b-1}\times 2$ valable puisque $b\geq 1\comma$ vous avez :

\begin{align*} 14 &= \varphi(n)\\ &= \varphi(2^a)\varphi(3^b)\\ &= \varphi(2^a)\times3^{b-1} \times 2. \end{align*}

En divisant par $2\comma$ vous avez :

7 = \varphi(2^a)\times3^{b-1}.

Si $b\geq 2$ alors vous écrivez :

7 = \varphi(2^a)\times3^{b-2}\times 3.

Donc $3$ divise $7$ ce qui est absurde.

Donc $b=1$ ce qui fournit $7 = \varphi(2^a).$

Si $a\in\{0,1\}$ alors $\varphi(2^a) = 1$ et $7 = 1$ ce qui est absurde, donc $a\geq 2.$ Il vient alors :

\begin{align*} 7 &= \varphi(2^a)\\ &= 2^{a-1}\\ &= 2^{a-2}\times 2. \end{align*}

Donc $2$ divise $7$ ce qui est absurde.

Vous déduisez de cette section que $b=0.$

Étudiez la situation avec l’entier $a$

Il s’ensuit que $n = 2^a.$ Comme $n\geq 2$ vous avez $a\geq 1.$ Du coup :

\begin{align*} 14 &= \varphi(n)\\ &= 2^{a-1}. \end{align*}

Si $a=1$ alors $14 = 2^0 = 1$ ce qui est absurde. Donc $a\geq 2.$ En divisant l’égalité obtenue par $2$ vous obtenez :

7 = 2^{a-2}.

Si $a=2$ alors $7 = 2^0 = 1$ ce qui est absurde. Donc $a\geq 3$ ce qui permet d’écrire :

7 = 2^{a-3}\times 2.

Donc $2$ divise $7$ ce qui est absurde.

Toutes les situations aboutissent à une contradiction : il n’existe donc aucun entier naturel $n$ non nul tel que $\varphi(n)=14.$

Concluez

$14$ n’admet pas d’antécédent par l’indicatrice d’Euler. Autrement dit :

\boxed{\forall n\in\NN, \varphi(n)\neq 14.}