École AVOSZ

388. Ordre du produit de deux éléments qui commutent dans un groupe

18 novembre 2025

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $G$ un groupe muni d’une loi interne notée multiplicativement. Le neutre de $G$ est noté $e.$

Soit $a$ un élément de $G$ admettant pour ordre $r$ où $r$ est un entier strictement positif. De même, soit $b$ un élément de $G$ admettant pour ordre $s$ où $s$ est un entier strictement positif. Vous supposez que $ab = ba.$

Qu’en est-il du produit de ces deux éléments ? Est-il d’ordre fini ? Et si oui, quel est son ordre ?

Vous allez étudier le cas où les entiers $r$ et $s$ sont premiers entre eux.

Montrez que $ab$ est d’ordre fini

D’une part, $a^r = e\comma$ d’autre part, $b^s =e.$

Comme $a$ et $b$ commutent :

\begin{align*} (ab)^{rs} &= a^{rs}b^{rs}\\ &=(a^r)^s (b^s)^r\\ &=e^s e^r\\ &= e e\\ &=e. \end{align*}

Comme $rs \geq 1$ vous déduisez que l’ensemble $A=\{k\in\NN, (ab)^k = e\}$ est non vide, puisqu’il contient $rs.$

Donc $ab$ est d’ordre fini. Vous notez $d$ son ordre qui est le plus petit élément de l’ensemble $A.$

Montrez que $d$ divise le produit $rs$

Effectuez la division euclidienne de $rs$ par $d.$ Il existe deux entiers naturels $q$ et $u$ avec $u\lt d$ tels que :

rs = dq+u.

Cela fournit :

\begin{align*} (ab)^{rs} &= (ab)^{dq+u}\\ &= (ab)^{dq} (ab)^{u}\\ &= ((ab)^{d})^q (ab)^{u}\\ &= e^q (ab)^{u}\\ &= e (ab)^{u}\\ &=(ab)^u. \end{align*}

Or, $(ab)^{rs} =e$ donc $(ab)^u=e.$ Si $u$ n’est pas nul, vous déduisez que $u\in A.$ Comme $d$ est le plus petit élément de $A$ cela entraîne $u\geq d.$ Or cela contredit l’inégalité $u\lt d.$ Donc $u=0$ et par suite $rs = dq$ ce qui prouve que $d\mid rs.$

Montrez que le produit $rs$ divise $d$

Puisque $(ab)^d = e$ et que $a$ et $b$ commutent, vous avez $a^d b^d = e.$ En élevant à la puissance $r$ vous avez :

\begin{align*} (a^d b^d)^r &= e\\ a^{dr} b^{dr} &= e\\ (a^r)^d b^{dr} &= e\\ e^d b^{dr} &= e\\ b^{dr} &= e. \end{align*}

Or, $b$ est d’ordre $s.$ En effectuant le même raisonnement que celui effectué ci-dessus, vous divisez $dr$ par $s$ et trouvez un reste nul, donc $s$ divise $dr.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $s$ divise $d.$

De même, en élevant $a^d b^d = e$ à la puissance $s$ il vient :

\begin{align*} (a^d b^d)^s &= e\\ a^{ds} b^{ds} &= e\\ a^{ds} (b^{s})^d &= e\\ a^{ds} e^d &= e\\ a^{ds} &= e. \end{align*}

Comme $a$ est d’ordre $r$ vous déduisez que $r$ divise $ds.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $r$ divise $d.$

Il existe un entier $r’$ tel que $d = rr’.$

Comme $s$ divise $d$ vous déduisez que $s$ divise $rr’.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, vous appliquez le théorème de Gauss encore une fois et aboutissez à $s \mid r’.$ En multipliant par $r\comma$ vous avez $rs \mid rr’$ donc $rs\mid d.$

Concluez

Les parties précédentes ont permis de montrer que $d\mid rs$ et que $rs\mid d.$ Comme $d$ et $rs$ sont des entiers naturels non nuls, vous en déduisez que $d=rs.$

Ainsi, $ab$ est d’ordre fini et son ordre vaut $rs.$

Prolongement

Qu’en est-il si $r$ et $s$ ne sont pas premiers entre eux ? L’ordre de $ab$ est-il alors égal au $\ppcm$ de ces deux entiers ?

Pour y répondre, prenez $G = \Z/30\Z$ muni de l’addition et posez $a=5$ et $b=3$ de sorte que $a$ et $b$ soient deux éléments de $G.$ Calculez les ordres des éléments $a\comma$ $b$ et $a+b.$ Qu’en déduisez-vous ?