Soit $G$ un groupe muni d’une loi interne notée multiplicativement. Le neutre de $G$ est noté $e.$
Soit $a$ un élément de $G$ admettant pour ordre $r$ où $r$ est un entier strictement positif. De même, soit $b$ un élément de $G$ admettant pour ordre $s$ où $s$ est un entier strictement positif. Vous supposez que $ab = ba.$
Qu’en est-il du produit $ab$ ? Est-il d’ordre fini ? Et si oui, quel est son ordre ?
Vous allez étudier le cas où les entiers $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
Montrez que $ab$ est d’ordre fini
D’une part, $a^r = e$ d’autre part, $b^s =e.$
Comme $a$ et $b$ commutent :
\begin{align*}
(ab)^{rs} &= a^{rs}b^{rs}\\
&=(a^r)^s (b^s)^r\\
&=e^s e^r\\
&= e e\\
&=e.
\end{align*}Comme $rs \geq 1$ vous déduisez que l’ensemble $A=\{k\in\NN, (ab)^k = e\}$ est non vide.
Donc $ab$ est d’ordre fini. Vous notez $d$ son ordre qui est le plus petit élément de l’ensemble $A.$
Montrez que $d$ divise le produit $rs$
Effectuez la division euclidienne de $rs$ par $d.$ Il existe deux entiers naturels $q$ et $u$ avec $u<d$ tels que :
rs = dq+u.
Cela fournit :
\begin{align*}
(ab)^{rs} &= (ab)^{dq+u}\\
&= (ab)^{dq} (ab)^{u}\\
&= ((ab)^{d})^q (ab)^{u}\\
&= e^q (ab)^{u}\\
&= e (ab)^{u}\\
&=(ab)^u.
\end{align*}Or, $(ab)^{rs} =e$ donc $(ab)^u=e.$ Si $u$ n’est pas nul, vous déduisez que $u\in A.$ Comme $d$ est le plus petit élément de $A$ cela entraîne $u\geq d.$ Or cela contredit l’inégalité $u< d.$ Donc $u=0$ et par suite $rs = dq$ ce qui prouve que $d\mid rs.$
Montrez que le produit $rs$ divise $d$
Puisque $(ab)^d = e$ vous avez $a^d b^d = e.$ En élevant à la puissance $r$ vous avez :
\begin{align*}
(a^d b^d)^r &= e\\
a^{dr} b^{dr} &= e\\
(a^r)^d b^{dr} &= e\\
e^d b^{dr} &= e\\
b^{dr} &= e.
\end{align*}Or, $b$ est d’ordre $s.$ En effectuant le même raisonnement que celui effectué ci-dessus, vous divisez $dr$ par $s$ et trouvez un reste nul, donc $s$ divise $dr.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $s$ divise $d.$
De même, en élevant $a^d b^d = e$ à la puissance $s$ il vient :
\begin{align*}
(a^d b^d)^s &= e\\
a^{ds} b^{ds} &= e\\
a^{ds} (b^{s})^d &= e\\
a^{ds }e^d &= e\\
a^{ds} &= e.
\end{align*}Comme $a$ est d’ordre $r$ vous déduisez que $r$ divise $ds.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que $r$ divise $d.$
Il existe un entier $r’$ tel que $d = rr’.$
Comme $s$ divise $d$ vous déduisez que $s$ divise $rr’.$ Comme $s$ et $r$ sont premiers entre eux, vous appliquez le théorème de Gauss encore une fois et aboutissez à $s \mid r’.$ En multipliant par $r$, vous avez $rs \mid rr’$ donc $rs\mid d.$
Concluez
Les parties précédentes ont permis de montrer que $d=rs.$
Ainsi, $ab$ est d’ordre fini et son ordre vaut $rs.$
Prolongement
Qu’en est-il si $r$ et $s$ ne sont pas premiers entre eux ? L’ordre de $ab$ est-il égal à $PPCM(r,s)$ ?
Pour y répondre, prenez $G = \Z/30\Z$ muni de l’addition et posez $a=5$ et $b=3$ de sorte que $a$ et $b$ soient deux éléments de $G.$ Calculez les ordres des éléments $a$, $b$ et $a+b.$ Qu’en déduisez-vous ?
Partagez maintenant !
Aidez vos amis à découvrir cet article et à mieux comprendre le sujet.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !