Première partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c$

Pour rappel, vous avez :

\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c = ]-\infty,0[\cup ]2, +\infty[.

La frontière de $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c$ est égale à :

\partial \left(\overline{\mathring{K}}\right)^c = \{0\} \cup \{2\}.

L’intérieur de $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c$ est égal à lui-même.

L’adhérence de $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c$ est égale à :

\overline{\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c} = ]-\infty, 0] \cup [2, +\infty[.

Le complémentaire de $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c$ est égal à $\overline{\mathring{K}}.$

Un nouvel ensemble apparaît.

Note n°1. Vous remarquez que :

• l’intérieur de $\overline{\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c}$ est égal à $\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c\comma$
• l’adhérence $\overline{\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c}$ est égale à elle-même,
• le complémentaire de $\overline{\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c}$ est égal à $\mathring{\overline{\mathring{K}}}.$

Note n°2. Vous remarquez que :

• l’intérieur de $\mathring{\overline{\mathring{K}}}$ est égal à lui-même,
• l’adhérence de $\mathring{\overline{\mathring{K}}}$ est égale à $\overline{\mathring{K}}\comma$
• le complémentaire de $\mathring{\overline{\mathring{K}}}$ est égal à $\overline{\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c}.$

Deuxième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{(\overline{K})^c}$

La frontière de $\overline{(\overline{K})^c}$ est égale à :

\partial \overline{(\overline{K})^c} = \{0\}\cup\{2\}\cup\{4\}\cup\{5\}.

L’intérieur de $\overline{(\overline{K})^c}$ est égal :

\mathring{\overline{(\overline{K})^c}} = ]-\infty,0[\cup]2, 4[\cup ]5, +\infty[.

L’adhérence de $\overline{(\overline{K})^c}$ est égale à elle-même.

Le complémentaire de $\overline{(\overline{K})^c}$ est égal à $\mathring{\overline{K}}.$

Un nouvel ensemble apparaît, et vous allez montrer que c’est le dernier.

Note. Vous remarquez que :

• l’intérieur de $\mathring{\overline{(\overline{K})^c}}$ est égal à lui-même,
• l’adhérence de $\mathring{\overline{(\overline{K})^c}}$ est égale à $\overline{(\overline{K})^c}\comma$
• le complémentaire de $\mathring{\overline{(\overline{K})^c}}$ est égal à $\overline{\mathring{\overline{K}}}.$

Dernière partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{\mathring{\overline{K}}}$

Aucun nouvel ensemble n’apparaît. En effet :

• l’intérieur de $\overline{\mathring{\overline{K}}}$ est égal à $\mathring{\overline{K}}\comma$
• l’adhérence de $\overline{\mathring{\overline{K}}}$ est égale à elle-même,
• le complémentaire de $\overline{\mathring{\overline{K}}}$ est égal à $\mathring{\overline{(\overline{K})^c}}.$

Concluez

Vous avez illustré le maximum d’ensembles possibles, en vertu du théorème de Kuratowski, qui stipule qu’à partir d’une partie $K$ quelconque d’un ensemble topologique, si vous lui appliquez uniquement les opérations de prise d’intérieur, de prise d’adhérence et de prise du complémentaire, vous pouvez obtenir 14 ensembles au maximum.

Prolongement

Pourriez-vous démontrer que les 14 ensembles précités dans le schéma ne génèrent pas d’autre ensemble en utilisant les opérations de prise d’intérieur, de prise d’adhérence et de prise du complémentaire ?