Ce contenu est le prolongement de celui rédigé dans l'article 391. Les mêmes notations y sont reprises.
Première partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{\mathring{K}}$
Vous avez :
\overline{\mathring{K}} = [0,2].La frontière de $\overline{\mathring{K}}$ est :
\partial \overline{\mathring{K}} = \{0\}\cup \{2\}.L’intérieur de $\overline{\mathring{K}}$ est égal à :
\mathring{\overline{\mathring{K}}} = \overline{\mathring{K}} \setminus \partial \overline{\mathring{K}} = ]0,2[.L’adhérence de $\overline{\mathring{K}}$ est égale à:
\overline{\overline{\mathring{K}}} = \overline{\mathring{K}} \cup \partial \overline{\mathring{K}} = [0,2] = \overline{\mathring{K}} .Le complémentaire de $\overline{\mathring{K}}$ est égal à :
\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c = ]-\infty,0[\cup ]2, +\infty[.Deux nouveaux ensembles apparaissent dans la schématisation.
Deuxième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $(\mathring{K})^c$
La frontière de $(\mathring{K})^c$ est:
\partial (\mathring{K})^c = \{0\}\cup\{1\}\cup\{2\}.L’intérieur de $(\mathring{K})^c$ est égal à:
\mathring{\widehat{(\mathring{K})^c}} = ]-\infty, 0[\cup]2,+\infty[ = \left(\overline{\mathring{K}}\right)^c.L’adhérence de $(\mathring{K})^c$ est égale à:
\overline{(\mathring{K})^c} = ]-\infty, 0[\cup\{1\}\cup [2, +\infty[ = (\mathring{K})^c.Le complémentaire de $(\mathring{K})^c$ est égal à:
((\mathring{K})^c)^c =]0,1[\cup]1,2[= \mathring{K}.Aucun nouvel ensemble n’apparaît.
Troisième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $(\overline{K})^c$
La frontière de $(\overline{K})^c$ est:
\partial (\overline{K})^c = \{0\}\cup \{2\} \cup\{3\}\cup\{4\}\cup\{5\}.L’intérieur de $(\overline{K})^c$ est égal à:
\mathring{\widehat{(\overline{K})^c}} = ]-\infty, 0[ \cup ]2, 3[\cup ]3, 4[\cup ]5, +\infty[ = (\overline{K})^c.L’adhérence de $(\overline{K})^c$ est égale à:
\overline{(\overline{K})^c} = ]-\infty, 0]\cup [2, 4]\cup [5, +\infty[.Le complémentaire de $(\overline{K})^c$ est égal à $\overline{K}.$
Un nouvel ensemble apparaît.
Quatrième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\mathring{\overline{K}}$
La frontière de $\mathring{\overline{K}}$ est:
\partial \mathring{\overline{K}} = \{0\}\cup \{2\}\cup \{4\}\cup \{5\}.L’intérieur de $\mathring{\overline{K}}$ est égal à:
\mathring{\widehat{\mathring{\overline{K}}}} = ]0,2[\cup ]4,5[ = \mathring{\overline{K}}.L’adhérence de $\mathring{\overline{K}}$ est égale à:
\overline{\mathring{\overline{K}}} = [0,2]\cup [4,5].Le complémentaire de $\mathring{\overline{K}}$ est égal à :
\left(\mathring{\overline{K}}\right)^c = ]-\infty, 0]\cup [2,4]\cup [5, +\infty[ = \overline{(\overline{K})^c}.Un nouvel ensemble apparaît.
Prolongement
Vous constatez qu’avec les notions d’intérieur, d’adhérence et de complémentaire, il a été possible de construire en tout douze ensembles.
Dans le contenu rédigé dans un autre article (qui sera prochainement mis en ligne) vous verrez ce qu’il advient si on poursuit ce processus.
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