Vous définissez une suite de polynômes de la façon suivante :
\forall n\in \N, \mathscr{P}_n(X) =\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].L’objectif de ce contenu est de démontrer que, pour tout entier naturel $n\comma$ l’équation différentielle suivante est vérifiée par les polynômes précédents :
(X^2-1)\mathscr{P}_n^{\pprime}(X)+2X\mathscr{P}_n^{\prime}(X)-n(n+1)\mathscr{P}_n(X) = 0.Il sera utile de définir, pour tout entier naturel $n\comma$ le polynôme $P_n$ par :
P_n(X) = (X^2-1)^n.
Le point clé va être de démontrer d’abord que $P_n$ est solution d’une équation différentielle. Puis, en dérivant un certain nombre de fois, cette équation différentielle permettra de déterminer celle vérifiée par $\mathscr{P}_n.$
Montrez que $P_n$ est solution d’une équation différentielle
Soit $n\in\NN.$ Vous dérivez le polynôme $P_n$ ce qui fournit :
\begin{align*}
P_n^{\prime}(X) &= n(X^2-1)^{n-1}\times 2X\\
&=2nX(X^2-1)^{n-1}.
\end{align*}En multipliant par $X^2-1$ vous obtenez :
(X^2-1)P_n^{\prime}(X) = 2nX(X^2-1)^n.Ainsi le polynôme $P_n$ réapparaît et vous en tirez que :
\boxed{\forall n\in\NN, (X^2-1)P_n^{\prime}(X) = 2nXP_n(X).}Utilisez la formule de Leibniz une première fois
Soit $n\in\NN.$ Le membre de gauche l’égalité précédente est un produit formé par $X^2-1$ multiplié par $P_n^{\prime}(X).$ Pour faire apparaître le début $(X^2-1)\mathscr{P}_n^{\pprime}(X)$ de l’équation différentielle préconisée, il convient de dériver $P_n$ exactement $n+2$ fois. Cela revient à dériver $P_n^{\prime}$ exactement $n+1$ fois comme le montre ce qui suit :
\begin{align*}
\mathscr{P}_n^{\pprime}(X) &=\frac{\mathrm{d}^{n+2}}{\mathrm{d}X^{n+2}}\left[(X^2-1)^n\right] \\
&=\frac{\mathrm{d}^{n+2}}{\mathrm{d}X^{n+2}}\left[P_n(X)\right] \\
&=\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[P_n^{\prime}(X)\right].
\end{align*}Vous dérivez ainsi $n+1$ fois le produit $(X^2-1)P_n^{\prime}(X)$ ce qui fournit :
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ (X^2-1)P_n^{\prime}(X) \right] &= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}X^{k}}\left[X^2-1\right] \frac{\mathrm{d}^{n+1-k}}{\mathrm{d}X^{n+1-k}}\left[P_n^{\prime}(X)\right] \\
&= \sum_{k=0}^{2}\binom{n+1}{k} \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}X^{k}}\left[X^2-1\right] \frac{\mathrm{d}^{n+1-k}}{\mathrm{d}X^{n+1-k}}\left[P_n^{\prime}(X)\right].
\end{align*}En effet, la somme est tronquée, compte tenu du fait que $\forall k\geq 3, \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}X^{k}}\left[X^2-1\right] = 0.$
Vous obtenez :
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ (X^2-1)P_n^{\prime}(X) \right] &= (X^2-1) \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[P_n^{\prime}(X)\right] \\ &\quad+ (n+1)\times 2X\times \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n^{\prime}(X)\right] + \frac{n(n+1)}{2}\times 2\times \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}X^{n-1}}\left[P_n^{\prime}(X)\right] \\
&= (X^2-1) \frac{\mathrm{d}^{n+2}}{\mathrm{d}X^{n+2}}\left[P_n(X)\right]\\
&\quad +2(n+1)X \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[P_n(X)\right] +n(n+1) \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n(X)\right] \\
&= (X^2-1) \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}X^{2}}\left[ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n(X)\right] \right]\\
&\quad+2(n+1)X \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}X}\left[ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n(X)\right] \right] +n(n+1) \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n(X)\right] \\
&= (X^2-1) \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}X^{2}}\left[\mathscr{P}_n(X) \right]+2(n+1)X \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}X}\left[ \mathscr{P}_n(X) \right] +n(n+1) \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[P_n(X)\right] \\
&= (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2(n+1)X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) +n(n+1) \mathscr{P}_n(X).
\end{align*}En conclusion de ce paragraphe :
\boxed{\forall n\in\NN, \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ (X^2-1)P_n^{\prime}(X) \right] = (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2(n+1)X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) +n(n+1) \mathscr{P}_n(X).}Utilisez la formule de Leibniz une seconde fois
Soit $n\in\NN.$ Vous dérivez ainsi $n+1$ fois le produit $2nXP_n(X)$ ce qui fournit :
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ 2nXP_n(X) \right] &= 2nX \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ P_n(X) \right] + (n+1)\times2n\times \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[ P_n(X) \right] \\
&= 2nX \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}\left[ \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[ P_n(X) \right] \right] + (2n^2+2n)\times \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}X^{n}}\left[ P_n(X) \right] \\
&= 2nX \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}\left[ \mathscr{P}_n(X) \right] + 2n(n+1) \mathscr{P}_n(X) \\
&= 2nX \mathscr{P}^{\prime}_n(X) + 2n(n+1) \mathscr{P}_n(X).
\end{align*}Ainsi :
\boxed{\forall n\in\NN, \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}X^{n+1}}\left[ 2nXP_n(X) \right] = 2nX \mathscr{P}^{\prime}_n(X) + 2n(n+1) \mathscr{P}_n(X).}Concluez
Soit $n\in\NN.$ Comme $(X^2-1)P_n^{\prime}(X) = 2nXP_n(X)\comma$ en dérivant $n+1$ fois, il vient :
\begin{align*}
& (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2(n+1)X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) +n(n+1) \mathscr{P}_n(X) = 2nX \mathscr{P}^{\prime}_n(X) + 2n(n+1) \mathscr{P}_n(X) \\
& (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) +n(n+1) \mathscr{P}_n(X) = 2n(n+1) \mathscr{P}_n(X) \\
& (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) +(n-2n)(n+1) \mathscr{P}_n(X) = 0\\
& (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) -n(n+1) \mathscr{P}_n(X) = 0.
\end{align*}Dans le cas où $n=0$, vous avez $\mathscr{P}_0(X) = 1 $ si bien que :
\begin{align*}
(X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_0(X) +2X \mathscr{P}^{\prime}_0(X) -0(0+1) \mathscr{P}_n(X) &= (X^2-1)\times 0 + 2X\times 0 - 0 = 0.
\end{align*}
En définitive, l’égalité précitée est désormais acquise :
\boxed{\forall n\in\N, (X^2-1)\mathscr{P}^{\pprime}_n(X) +2X \mathscr{P}^{\prime}_n(X) -n(n+1) \mathscr{P}_n(X) = 0.}Dans le contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »221″ desc= »dans l’article 221″] il a été vu que les polynômes de Legendre sont définis par la formule suivante :
\forall n\in \N, \mathscr{L}_n(X) = \frac{1}{2^n n !}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].En divisant par $2^n n!$ l’équation différentielle satisfaite par la suite $(\mathscr{P}_n(X))_{n\geq 1}$ vous déduisez que :
\boxed{\forall n\in\N, (X^2-1)\mathscr{L}^{\pprime}_n(X) +2X \mathscr{L}^{\prime}_n(X) -n(n+1) \mathscr{L}_n(X) = 0.}