Très connu sous la version suivante « de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente » (vous trouverez une démonstration de ce résultat dans le contenu rédigé dans l'article 396), le théorème de Bolzano-Weierstrass admet une version équivalente que vous allez démontrer directement, à savoir : toute partie $A$ infinie et bornée de $\R$ admet au moins un point d’accumulation.
Soit $A$ une partie infinie et bornée de $\R.$ Il existe un réel $m$ et un réel $M$ tels que :
\forall a\in A, m\leq a \leq M.
Mobilisez deux notions importantes
Point d’accumulation
Par définition, la partie $A$ de $\R$ admet un point d’accumulation, si et seulement si, il existe un nombre réel $u$ tel que, pour tout $\varepsilon > 0\comma$ il existe un élément $a\in A$ distinct de $u$ vérifiant $u-\varepsilon \leq a \leq u+\varepsilon.$
Quasi-majorant
Un réel $x$ sera qualifié de quasi-majorant de $A\comma$ si et seulement si, les éléments de $A$ qui sont supérieurs ou égaux à $x$ sont en nombre fini. Autrement dit, $x$ est un quasi-majorant de $A\comma$ si et seulement si, l’ensemble $\{a\in A, a\geq x\}$ est fini.
Montrez que l’ensemble des quasi-majorants de $A$ admet une borne inférieure $\beta$
Soit $B$ l’ensemble des quasi-majorants de la partie $A.$
Comme $\forall a\in A, a\leq M\comma$ le réel $M$ est un majorant de $A.$
Si $a$ est un élément de $A$ supérieur ou égal à $M$ vous avez $a\geq M$ et $a\leq M$ donc $a=M.$
Par conséquent vous avez l’inclusion suivante :
\{a\in A, a\geq M\} \subset \{M\}.L’ensemble $\{a\in A, a\geq M\}$ est donc fini, ce qui prouve que $M$ est un quasi-majorant de $A.$
Comme $M\in B\comma$ l’ensemble $B$ est non vide.
Soit $b$ un élément de $B\comma$ c’est-à-dire un quasi-majorant de $A.$ L’ensemble $\{a\in A, a\geq b\}$ est fini. Comme $A$ est infini, il existe un réel $a_0\in A$ tel que $a_0\notin \{a\in A, a\geq b\}.$ Donc $a_0 < b.$ Comme $m$ est un minorant de $A\comma$ vous avez $m\leq a_0$ et par transitivité $m\leq b.$
Vous avez montré que :
\forall b\in B, m\leq b.
L’ensemble $B$ est minoré par $b.$
Comme $B$ est une partie non vide de $\R$ qui est minorée, elle admet une borne inférieure que vous noterez $\beta.$
Note. Le réel $\beta$ est aussi appelé limite supérieure de l’ensemble $A\comma$ il est courant de le noter $\overline{\lim} A.$
Montrez que $\beta$ est un point d’accumulation de $A$
Pour le réel $\beta\comma$ deux cas se présentent.
Le réel $\beta$ n’appartient pas à $B$
Dans ce cas, $\beta$ n’est pas un quasi-majorant de $A$ donc l’ensemble $V=\{a\in A, a\geq \beta\}$ est infini.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
D’une part, le réel $\beta$ est le plus grand des minorants de $B.$ Le réel $\beta+\varepsilon$ est strictement plus grand que le plus grand des minorants de $B.$ Donc $\beta+\varepsilon$ n’est pas un minorant de $B.$ Donc il existe un élément $b\in B\comma$ quasi-majorant de $A\comma$ tel que $b <\beta+\varepsilon.$
D’autre part, $\beta$ minore $B$ et $b\in B$ donc $\beta \leq b.$ Si l’égalité $\beta = b$ était satisfaite, vous auriez $\beta \in B$ ce qui est absurde. Donc $\beta < b.$
Or, vous avez l’inclusion :
V \subset \{\beta\}\cup \{a\in A, \beta < a <b\} \cup \{a\in A, a\geq b\}.Si l’ensemble $\{a\in A, \beta < a <b\}$ était fini, alors $V$ serait fini aussi, ce qui est absurde. Donc $\{a\in A, \beta < a <b\}$ est infini. Vous en déduisez qu’il est non vide, donc il existe $a_0\in A$ tel que $\beta < a_0 < b.$ Or, $b<\beta+\varepsilon$ d’où $\beta < a_0 < \beta+\varepsilon.$
Ainsi il a été montré que :
\forall \varepsilon > 0, \exists a\in A, \beta < a <\beta+\varepsilon.
Le réel $\beta$ appartient à $B$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
Si le réel $\beta – \varepsilon$ était un élément de $B\comma$ vous auriez $\beta \leq \beta – \varepsilon$ compte tenu du fait que $\beta$ est un minorant de $B\comma$ ce qui est absurde. Donc $\beta-\varepsilon$ n’appartient pas à $B.$ Cela signifie que l’ensemble $W = \{a\in A, a\geq \beta-\varepsilon \}$ est infini.
Comme $\beta\in B\comma$ le réel $\beta$ est un quasi-majorant de $A$ donc l’ensemble $\{a\in A, a\geq \beta\}$ est fini.
Or, vous avez l’inclusion suivante :
W\subset \{\beta - \varepsilon\}\cup \{a\in A, \beta - \varepsilon < a < \beta\} \cup \{a\in A, a\geq \beta\}.Si l’ensemble $\{a\in A, \beta – \varepsilon < a < \beta\}$ était fini, alors $W$ serait fini, ce qui est absurde. Donc l’ensemble $\{a\in A, \beta – \varepsilon < a < \beta\}$ est infini, en particulier, il est non vide.
Vous avez montré que :
\forall \varepsilon > 0, \exists a\in A, \beta-\varepsilon<a<\beta.
Concluez
De la section précédente, vous déduisez que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un élément $a\in A$ tel que $a\in ]\beta-\varepsilon, \beta+\varepsilon[\setminus \{a\}.$ Autrement dit, $\beta$ est un point d’accumulation de l’ensemble $A.$
La version « point d’accumulation » du théorème de Bolzano-Weierstrass est démontrée.
Prolongement
Pourriez-vous démontrer que les deux énoncés du théorème de Bolzano-Weierstrass sont équivalents ? À savoir que « toute suite réelle bornée admet une suite extraite convergente » équivaut à « toute partie infinie et bornée de $\R$ admet au moins un point d’accumulation » ?
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