399. Trouvez la décomposition LU d’une matrice avec des opérations élémentaires

Soit $A$ la matrice réelle définie par :

A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.

Il s’agit d’utiliser un procédé algorithmique qui permettra de mettre $A$ sous la forme $LU.$

Vous allez utiliser le fait que multiplier une matrice à gauche par une matrice élémentaire, c’est lui faire subir une opération élémentaire sur ses lignes. De même, la multiplication à droite par une matrice élémentaire produit une opération élémentaire sur les colonnes de la matrice de départ.

Faites apparaître un premier zéro

Afin de supprimer le $4$ qui est présent à la deuxième ligne et à la première colonne de la matrice $A\comma$ vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\leftarrow L_2-2L_1.$ Vous obtenez la matrice suivante :

A_1=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.

Vous remarquez que, pour passer de $A_1$ à la matrice $A\comma$ il vous suffit d’effectuer l’opération élémentaire réciproque, à savoir $L_2\leftarrow L_2+2L_1.$ Or, effectuer cette opération élémentaire sur $A_1\comma$ c’est la multiplier à gauche par la matrice élémentaire définie par :

E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

À ce stade vous avez :

A = E_1A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.

Faites apparaître un deuxième zéro

La matrice $A_1$ possède un coefficient égal à $-2$ à sa troisième ligne et à sa première colonne. Pour que celui-ci devienne $0\comma$ vous appliquez à la matrice $A_1$ l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3+L_1.$

Vous posez :

E_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Ainsi :

\begin{align*} E_2A_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}. \end{align*}

Vous posez alors :

A_2 = E_2A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}.

Pour obtenir la matrice $A$ avec la matrice $E_2\comma$ vous utilisez le fait que $E_2$ est inversible et vous écrivez :

\begin{align*} A &= E_1(E_2^{-1}E_2)A_1\\ &= (E_1E_2^{-1})(E_2A_1)\\ &= (E_1E_2^{-1})A_2. \end{align*}

Il reste à calculer le produit $E_1E_2^{-1}.$ Or, $E_2^{-1}$ se déduit de $E_2$ en considérant l’opération élémentaire réciproque, d’où :

E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.

La matrice $E_1$ est multipliée à droite par la matrice $E_2^{-1}\comma$ donc $E_1$ subit l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1-C_3.$ Donc :

E_1E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.

À cette étape, vous avez obtenu :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}.

Concluez

La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}$ va subir l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-3L_2.$

Quant à la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\comma$ elle va subir l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2+3C_3.$

Suivant la même méthode que précédemment, vous avez :

\begin{align*} A &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}\\ &= \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\right]\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}\right]\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}. \end{align*}

La matrice $A$ est le produit d’une matrice triangulaire inférieure, ne comportant que des $1$ sur sa diagonale principale, par une matrice triangulaire supérieure. $A$ a été mise sous la forme $LU.$