Soit $A$ la matrice réelle définie par :
A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.Il s’agit d’utiliser un procédé algorithmique qui permettra de mettre $A$ sous la forme $LU.$
Vous allez utiliser le fait que multiplier une matrice à gauche par une matrice élémentaire, c’est lui faire subir une opération élémentaire sur ses lignes. De même, la multiplication à droite par une matrice élémentaire produit une opération élémentaire sur les colonnes de la matrice de départ.
Faites apparaître un premier zéro
Afin de supprimer le $4$ qui est présent à la deuxième ligne et à la première colonne de la matrice $A\comma$ vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\leftarrow L_2-2L_1.$ Vous obtenez la matrice suivante :
A_1=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.Vous remarquez que, pour passer de $A_1$ à la matrice $A\comma$ il vous suffit d’effectuer l’opération élémentaire réciproque, à savoir $L_2\leftarrow L_2+2L_1.$ Or, effectuer cette opération élémentaire sur $A_1\comma$ c’est la multiplier à gauche par la matrice élémentaire définie par :
E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.À ce stade vous avez :
A = E_1A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.Faites apparaître un deuxième zéro
La matrice $A_1$ possède un coefficient égal à $-2$ à sa troisième ligne et à sa première colonne. Pour que celui-ci devienne $0\comma$ vous appliquez à la matrice $A_1$ l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3+L_1.$
Vous posez :
E_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.Ainsi :
\begin{align*}
E_2A_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}.
\end{align*}Vous posez alors :
A_2 = E_2A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}.Pour obtenir la matrice $A$ avec la matrice $E_2\comma$ vous utilisez le fait que $E_2$ est inversible et vous écrivez :
\begin{align*}
A &= E_1(E_2^{-1}E_2)A_1\\
&= (E_1E_2^{-1})(E_2A_1)\\
&= (E_1E_2^{-1})A_2.
\end{align*}Il reste à calculer le produit $E_1E_2^{-1}.$ Or, $E_2^{-1}$ se déduit de $E_2$ en considérant l’opération élémentaire réciproque, d’où :
E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.La matrice $E_1$ est multipliée à droite par la matrice $E_2^{-1}\comma$ donc $E_1$ subit l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1-C_3.$ Donc :
E_1E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.À cette étape, vous avez obtenu :
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}.Concluez
La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}$ va subir l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-3L_2.$
Quant à la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\comma$ elle subit l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2+3C_3.$
Suivant la même méthode que précédemment, vous avez :
\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}
\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}\\
&= \left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\right]\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -6\end{pmatrix}\right]\\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.
\end{align*}La matrice $A$ est le produit d’une matrice triangulaire inférieure, ne comportant que des $1$ sur sa diagonale principale, par une matrice triangulaire supérieure. $A$ a été mise sous la forme $LU.$
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