Soit $F$ une partie fermée et bornée de $\R.$ Vous supposez que $F$ est recouverte par une famille d’ouverts de $\R.$
Il existe un ensemble $I$ et une famille d’ouverts de $\R$ notée $(U_i)_{i\in I}$ tels que :
F\subset \bigcup_{i\in I} U_i.L’objectif est de démontrer que $F$ admet un sous-recouvrement fini de cette famille.
Comme $F$ est bornée, il existe un réel $M$ strictement positif tel que :
\forall x\in F, \vert x \vert \leq M.
Ainsi :
F\subset [-M,M].
Soit maintenant $x$ un élément de $[-M,M].$
Si $x\in F\comma$ alors il existe $i\in I$ tel que $x\in U_i.$
Si $x\notin F\comma$ alors $x\in F^{\complement}\comma$ où $F^{\complement} = \R \setminus F.$ Comme $F$ est une partie fermée de $\R\comma$ la partie $F^{\complement}$ est un ouvert de $\R.$
Ces observations prouvent que l’ensemble $[-M,M]$ est recouvert par une famille d’ouverts de $\R.$ En effet :
[-M,M]\subset F^{\complement} \cup \bigcup_{i\in I} U_i.D’après l’article précédent, vous déduisez qu’il existe une partie finie $J$ de $I$ telle que :
[-M,M]\subset F^{\complement} \cup \bigcup_{i\in J} U_i.Soit $f\in F$ un élément de $F.$ Comme $F\subset [-M,M]$ vous déduisez $f \in F^{\complement}\cup \bigcup_{i\in J} U_i.$ Mais comme $f\notin F^{\complement}\comma$ vous avez $f\in \bigcup_{i\in J} U_i.$
Ainsi :
F\subset \bigcup_{i\in J} U_i.Toute partie fermée et bornée de $\R$ vérifie la propriété de Heine-Borel.
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