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003. Résolution algébrique de l'équation $z^3=i$, $z\in\mathbb{C}$

Vous pouvez utiliser du calcul brut sans passer par l’exponentielle complexe pour répondre.

Soit $P$ le polynôme de $\mathbb{C}[X]$ défini par $P(X)=X^3-i$.

Remarquez déjà que $i$ est un cube.

$i^2 = -1$, c’est la base. Multipliez par $i$, $i^3 = -i$. Vous en déduisez $(-i)^3 = i$, soit $P(-i)=0$.

Le polynôme $P$ est donc factorisable par $X+i.$

Effectuez la division euclidienne de $X^3-i$ par $X+i$

Vous trouvez $X^3+i = (X+i)(X^2-iX-1)$.

Factorisez le polynôme $X^2-iX-1$

L’identité babylonienne $ab = \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2 $ permet d’écrire successivement :

$\begin{align*}
X^2-iX &= X(X-i) \\
&= \left(X-\dfrac{i}{2} \right)^2 – \left(\dfrac{i}{2}\right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 +\dfrac{1}{4}.
\end{align*}$

Vous en déduisez :

$\begin{align*}
X^2-iX-1 &=\left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 -\dfrac{3}{4} \\
&= \left(X-\dfrac{1}{2}i \right)^2 – \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\
&= \left(X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right)\left( X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i \right).
\end{align*}$

Concluez

L’équation $z^3 = i$ admet trois solutions complexes :
$\boxed{z_1 = -i}$, $\boxed{z_2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i} $ et $\boxed{z_3=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i}$.

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