École AVOSZ

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003. Trouvez algébriquement toutes les racines cubiques du nombre imaginaire i

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Résolvez algébriquement l’équation $z^3=i$, $z\in\C.$

Vous pouvez utiliser du calcul brut sans passer par l’exponentielle complexe pour répondre.

Soit $P$ le polynôme de $\C[X]$ défini par $P(X)=X^3-i.$

Remarquez déjà que $i$ est un cube.

Comme $i^2 = -1\comma$ vous multipliez cette égalité par $i\comma$ et vous obtenez $i^3 = -i.$ Vous en déduisez que $(-i)^3 = i\comma$ soit $P(-i)=0.$

Le polynôme $P$ est donc factorisable par $X+i.$

Effectuez la division euclidienne de $X^3-i$ par $X+i$

Vous trouvez $X^3+i = (X+i)(X^2-iX-1).$

Factorisez le polynôme $X^2-iX-1$

L’identité babylonienne $ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 -\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ permet d’écrire successivement :

\begin{align*} X^2-iX &= X(X-i) \\ &= \left(X-\frac{i}{2} \right)^2 – \left(\frac{i}{2}\right)^2 \\ &= \left(X-\frac{1}{2}i \right)^2 +\frac{1}{4}. \end{align*}

Vous en déduisez :

\begin{align*} X^2-iX-1 &=\left(X-\frac{1}{2}i \right)^2 -\frac{3}{4} \\ &= \left(X-\frac{1}{2}i \right)^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\ &= \left(X-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)\left( X+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right). \end{align*}

Concluez

L’équation $z^3 = i$ admet trois solutions complexes qui sont : $\boxed{z_1 = -i}\comma$ $\boxed{z_2 =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$ et $\boxed{z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}.$