Comment trouver tous les entiers relatifs $n$ tels que $\frac{n-9}{n-6}$ soit un entier relatif ?

Pour trouver une réponse à ce problème d’arithmétique, une idée consiste à effectuer un changement de variable.

Analysez la situation

Soit $n\in\Z$ différent de $6$ tel que $\frac{n-9}{n-6}\in\Z.$

Quel changement de variable effectuer ? Celui qui va simplifier la fraction.

Posez $m=n-6$, alors $m-3=n-9.$

$\frac{n-9}{n-6} \in\Z$ donc $\frac{m-3}{m} \in\Z$ donc $1-\frac{3}{m}\in\Z.$ Ainsi $\frac{3}{m}\in\Z\comma$ ce qui prouve que $m$ divise $3.$

Vous en déduisez que $m\in\{3,1,-1,-3\}$, puis que $n\in\{9,7,5,3\}.$

Vérifiez vos candidats potentiels

Si $n=9$, alors :
$\frac{n-9}{n-6} = \frac{0}{3} = 0$ qui est entier.

Si $n=7$, alors :
$\frac{n-9}{n-6} = \frac{-2}{1} = -2$ qui est entier.

Si $n=5$, alors :
$\frac{n-9}{n-6} = \frac{-4}{-1} = 4$ qui est entier.

Si $n=3$, alors :
$\frac{n-9}{n-6} = \frac{-6}{-3} = 2$ qui est entier.

Concluez

Il y a quatre valeurs de $n$ qui conviennent : $9$, $7$, $5$ et $3.$