Comment trouver $n\in\mathbb{Z}$ pour que $\dfrac{n-9}{n-6}$ soit entier ?
Pour trouver une réponse à ce problème d’arithmétique, une excellente idée consiste à effectuer un changement de variable.
Analysez la situation
Soit $n\in\mathbb{Z}$ différent de $6$ tel que $\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$.
Quel changement de variable effectuer ? Celui qui va simplifier la fraction.
Posez $m=n-6$, alors $m-3=n-9$.
$\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$ donc $\dfrac{m-3}{m} \in\mathbb{Z}$ donc $1-\dfrac{3}{m} \in\mathbb{Z}$ et par suite $m$ divise $3$, ce qui s’écrit $m \mid 3$.
Vous en déduisez que $m\in\{3,1,-1,-3\}$, puis que $n\in\{9,7,5,3\}.$
Vérifiez vos candidats potentiels
Si $n=9$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{0}{3} = 0$ qui est entier.
Si $n=7$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-2}{1} = -2$ qui est entier.
Si $n=5$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-4}{-1} = 4$ qui est entier.
Si $n=3$, alors :
$\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ qui est entier.
Concluez
Il y a quatre valeurs de $n$ qui conviennent : $9$, $7$, $5$ et $3.$
Partagez!
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook!
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles!
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira!