004. Comment trouver $n\in\mathbb{Z}$ pour que $\dfrac{n-9}{n-6}$ soit entier ?

Pour trouver une réponse à ce problème d’arithmétique, une excellente idée consiste à effectuer un changement de variable.

Analysez la situation

Soit $n\in\mathbb{Z}$ différent de $6$ tel que $\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$.

Quel changement de variable effectuer ? Celui qui va simplifier la fraction.

Posez $m=n-6$, alors $m-3=n-9$.

$\dfrac{n-9}{n-6} \in\mathbb{Z}$ donc $\dfrac{m-3}{m} \in\mathbb{Z}$ donc $1-\dfrac{3}{m} \in\mathbb{Z}$ et par suite $m$ divise $3$, ce qui s’écrit $m \mid 3$.

Vous en déduisez que $m\in\{3,1,-1,-3\}$, puis que $n\in\{9,7,5,3\}.$

Vérifiez vos candidats potentiels

  • Si $n=9$, alors :
    $\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{0}{3} = 0$ qui est entier.

  • Si $n=7$, alors :
    $\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-2}{1} = -2$ qui est entier.

  • Si $n=5$, alors :
    $\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-4}{-1} = 4$ qui est entier.

  • Si $n=3$, alors :
    $\dfrac{n-9}{n-6} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ qui est entier.

Concluez

Il y a quatre valeurs de $n$ qui conviennent : $9$, $7$, $5$ et $3.$

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