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009. Apprenez les carrés de 1 jusqu’à 25

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Pour connaître tous les carrés de $1$ jusqu’à $25\comma$ il vous est proposé de réaliser les trois étapes ci-dessous.

Les carrés de 1 jusqu’à 10

Ces derniers sont au nombre de $10$ et s’obtiennent par répétition progressive.

Vous avez :

\begin{align*} 1^2 &= 1\\ 2^2 &= 4\\ 3^2 &= 9\\ 4^2 &= 16\\ 5^2 &= 25\\ 6^2 &= 36\\ 7^2 &= 49\\ 8^2 &= 64\\ 9^2 &= 81\\ 10^2 &= 100. \end{align*}

Les carrés de 11 jusqu’à 20

Soit $n$ un entier naturel. Le carré de $n+1$ est égal à :

\begin{align*} (n+1)^2 &= (n+1)(n+1)\\ &= n^2+n+n+1\\ &= n^2+n+(n+1). \end{align*}

Cette écriture permet de calculer des carrés consécutifs, ce qui permet d’aller plus loin.

Pour calculer $11^2\comma$ vous pouvez partir de $10^2$ puis ajouter $10$ puis ajouter $11.$ Ainsi $11^2 =100+10+11 =121.$

Pour calculer $12^2\comma$ vous pouvez partir de $11^2$ puis ajouter $11$ puis ajouter $12.$ Ainsi $12^2 =121+11+12 =144.$

Pour calculer $13^2\comma$ vous pouvez encore partir de $12^2$ puis ajouter $12$ puis $13\comma$ ce qui revient à ajouter $25.$ D’où $13^2 =144+25 =169.$

Le calcul de $14^2$ peut être effectué en remarquant que $14 = 7\times 2.$ Du coup, $14^2 =7\times 7\times 2\times 2$ ce qui donne $14^2 =49\times 4.$ Comme $49 = 50-1$ vous déduisez $14^2 =4(50-1)$ d’où $14^2 =200-4$ et finalement $14^2 =196.$

Pour obtenir $15^2\comma$ vous pouvez remarquer que $15$ est la moitié de $30.$ De $15 = \frac{30}{2}\comma$ vous déduisez successivement $15^2 =\frac{30^2}{2^2}$ puis $15^2=\frac{900}{2\times 2}\comma$ ce qui s’écrit $15^2 =\frac{\frac{900}{2}}{2}.$ Vous divisez $900$ deux fois par $2$ et obtenez $450$ puis $225.$ Ainsi $15^2 =225.$

Pour $16^2\comma$ vous partez de $15^2\comma$ puis vous ajoutez $15$ puis $16\comma$ ce qui fournit $16^2 =225+15+16$ soit $16^2 =240+16$ et $16^2 =256.$

Pour $17^2\comma$ vous effectuez une démarche proche de la précédente. $17^2$ est égal à $16^2$ augmenté de la somme de $16$ et de $17$ qui est égale à $33.$ Donc $17^2=256+33$ soit $17^2=289.$

Pour $18^2\comma$ vous notez que $18 = 9\times 2$ d’où $18^2 =81\times 4.$ Ainsi $18^2 =4(80+1)$ soit $18^2=320+4$ et ainsi $18^2 =324.$

Pour $19^2\comma$ vous remarquez que $19$ est très proche de $20.$ Comme $20^2 =400$ vous obtenez $19^2$ par soustraction. Il est égal à $400$ moins $20$ moins $19\comma$ soit $400-39.$ D’où $19^2=361.$

Les carrés de 21 jusqu’à 25

Pour $21^2\comma$ vous effectuez $20^2$ plus $20$ plus $21$ d’où $21^2=441.$

Pour $22^2\comma$ vous remarquez que $22 = 11\times 2$ d’où $22^2=121\times 4$ et finalement $22^2 =484.$

Pour $23^2\comma$ vous partez de $22^2 =484$ et ajoutez la somme de $22$ et de $23$ ce qui fournit $23^2=484+45 =529.$

Pour $24^2\comma$ vous avez $24=12\times 2$ d’où $24^2 =144 \times 2\times 2$ soit $24^2 =288\times 2.$ Comme $288=300-12$ vous déduisez $24^2=2(300-12)$ soit $24^2 =600-24$ et donc $24^2 =576.$

Pour $25^2\comma$ vous notez que $25$ est la moitié de $50.$ Du coup, $25^2 =\frac{50^2}{2^2}.$ Comme $50^2 =2500\comma$ vous avez successivement $25^2 =\frac{2500}{4}$ puis $25^2=\frac{1250}{2}$ et enfin $25^2=625.$

Une alternative consiste à écrire que $25 = 20+5.$ Ainsi :

\begin{align*} 25^2 &= (20+5)(20+5)\\ &= 20\times 20 + 20\times 5+5\times 20 + 25. \end{align*}

En factorisant $20$ dans le membre de droite, il vient :

\begin{align*} 25^2 &= 20(20+5+5)+25\\ &= 20\times 30+25\\ &= 600+25\\ &= 625. \end{align*}