Dans $\R\setminus \{\frac{-9}{2}\}\comma$ résolvez l’équation $\frac{3x^2+4x}{2x+9}=5.$
Analyse et suppression du dénominateur
L’objectif est de déterminer toutes les valeurs de $x$ qui sont susceptibles de convenir.
Soit $x$ un réel différent de $\frac{-9}{2}$ tel que $\frac{3x^2+4x}{2x+9}=5.$
Vous déduisez successivement :
\begin{align*}
3x^2+4x &=5(2x+9)\\
3x^2+4x&=10x+45\\
3x^2-6x&=45\\
x^2-2x&=15\\
x^2-2x+1&=16\\
(x-1)^2&=16.
\end{align*}
Il en résulte que la valeur absolue $\vert x-1\vert$ est égale à $4.$
Si $x-1=4\comma$ alors, $x=5.$
Si $x-1\neq 4\comma$ alors $x-1 = -4$ et $x=-3.$
Vérifiez que les candidats trouvés conviennent
Pour $x=5\comma$ vous avez :
\begin{align*}
\frac{3x^2+4x}{2x+9} &= \frac{3\times 25+20}{10+9}\\
&=\frac{95}{19}\\
&=\frac{5\times 19}{19}\\
&=5.
\end{align*}
Pour $x=-3\comma$ vous avez :
\begin{align*}
\frac{3x^2+4x}{2x+9} &= \frac{3\times 9-12}{-6+9}\\
&=\frac{15}{3}\\
&=5.
\end{align*}
Concluez
Dans $\R\setminus \{\frac{-9}{2}\}\comma$ les solutions de l’équation $\frac{3x^2+4x}{2x+9}=5$ sont $5$ et $-3.$