Il s’agit de parler de la façon d’aborder les contenus mathématiques.

Nombreux sont les contenus qui se ressemblent

Vous cherchez à résoudre une équation du second degré ? Vous recherchez une solution sur Google ? Rapidement, vous arriverez à cela :

Mais ce contenu ne fait que donner une recette de gâteau et finalement, n’explique pas grand chose.
Ce qui est intéressant, ce n’est pas d’apprendre par coeur que $$\Delta = b^2-4ac.$$
Non, c’est de comprendre comment il apparaît. Et là cela demande du temps, de la recherche, des capacités calculatoires. L’intérêt ? La démarche est transposable ailleurs, alors que la recette s’applique dans une situation bien précise, qui elle-même n’est pas transposable, limitée… et finalement… dénuée d’intérêt, se rapprochant d’une forme de bachotage ou de bourrage de crâne.

Revenez à l’essence d’une démarche de réflexion

L’équation $-x^2+3x-2=0$ admet exactement deux solutions…
Je vous propose de la résoudre. Accrochez-vous, il n’y a pas de recette miracle ici.
$-x^2+3x-2=0$
est une équation difficile, parce que $x^2$ et $x$ ne sont pas regroupables. Essayer de factoriser, développer, écrire que $-x^2+3x = x(3-x)$ ne vous amènera à rien et vous fera tourner en rond.
L’idée c’est que cette équation est compliquée… parce que $x$ n’est pas la bonne inconnue.
Fort de ce constat, essayez de changer d’inconnue. Que prendre d’autre ? Essayez $y=x+1,$ ce qui signifie que $x=y-1.$ On en arrive à :
$-(y-1)^2+3(y-1)-2=0.$
Ouch cela fait mal à la tête ? Il faut développer eh… oui, mais développer est une opération que tout le monde peut faire à condition de s’entraîner suffisamment. C’est un moyen de développer son attention et ses capacités mentales.
\begin{aligned}
-y^2+2y-1+3y-3-2&=0\\
-y^2+5y-6&=0.
\end{aligned}
Stop ! Arrêtons-nous là. On retrouve $y$ et $y^2.$ Donc on retombe sur une équation que l’on ne pourra pas résoudre. Mais en dépit des apparences, on a avancé… on est passé de $-x^2+3x-2=0$ à $-y^2+5y-6=0.$
Observez. Vous êtes passé de 3 à 5. Quoi ? Comment ça ? $3x$ est devenu $5y.$ En posant $y=x+1$ vous avez augmenté le résultat de 2 : en augmentant y de 1, le résultat augmente de 2.
Peut-on passer de 3 à 0 ? Si cela se produisait, vous pourriez enfin résoudre l’équation proposée… et pour cela il vous faut chercher un peu et oser. Si vous aviez posé $y=x+2,$ vous seriez passé de 3 à 7, $3x$ serait devenu $7y$. En montant y de 2, le résultat aurait augmenté de 4.
Mais vous, vous voulez baisser de 3. Il vous semble logique d’essayer de poser $y=x-1,5.$
La bonne nouvelle c’est que quand vous choisissez $y = x-1,5$ cela va effectivement fonctionner. Vérification ci-dessous.

La résolution

Posez $y=x-1,5$ alors
$x = y+1,5.$
Les calculs s’enchaînent et se déroulent :
\begin{aligned}
-x^2+3x-2&=0\\
-(y+1,5)^2+3(y+1,5)-2&=0\\
-y^2-3y-2,25+3y+4,5-2&=0\\
-y^2+0,25&=0\\
0,25&=y^2\\
y=0,5 &\text{ ou } y=-0,5\\
x-1,5=0,5 &\text{ ou } x-1,5=-0,5\\
x=2 &\text{ ou } x=1.
\end{aligned}
L’équation a donc exactement deux solutions et elle est totalement résolue.

Le constat

J’aurais très bien pu vous dire « je me suis levé ce matin, j’ai posé y=x-1,5 et ça marche ». Allez-vous me croire ? Omettre toute la démarche qui a été faite avant pour trouver une solution, c’est cela la clé, c’est cela qui est omis…
La personne qui vous fait le cours et vous « balance » que $$\Delta=b^2-4ac$$ permet de résoudre toutes les équations de degré 2, c’est bien mignon…
Il ne s’agit pas de montrer que ça marche, mais plutôt de comprendre ce qui se cache derrière pour le faire apparaître, ce fameux $\Delta=b^2-4ac.$

Rappelez-vous des étapes importantes qui ont permis d’avancer.

• Je ne cherche pas à regrouper $x$ et $x$ au carré,
• J’utilise une autre inconnue de façon à tomber sur une équation que je sais résoudre,
• Je teste les changements d’inconnue, je comprends comment cela fonctionne,
• Je choisis la bonne inconnue,
• Je résous l’équation.

Suivez ces étapes dans le cas général et vous verrez que $\Delta=b^2-4ac$  apparaît dans les calculs.

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