Il s’agit de parler de la manière d’aborder les contenus mathématiques.

Nombreux sont les contenus qui se ressemblent

Souhaitez-vous résoudre une équation du second degré ? En quête d’une solution, vous vous tournez vers un moteur de recherche. Très rapidement, vous serez conduit à la formulation suivante :

Toutefois, un tel contenu se limite à proposer une procédure toute faite et, en définitive, n’apporte que peu d’éclairages.

L’enjeu véritable ne réside pas dans la mémorisation de la formule $\Delta = b^2-4ac.$ Il consiste bien davantage à en comprendre l’origine et la construction.

Une telle compréhension exige du temps, de la recherche ainsi que de solides compétences en calcul.

Quel en est l’intérêt ? La démarche ainsi acquise est transférable à d’autres situations, contrairement à une simple procédure, limitée à un cas particulier, et qui, à terme, se révèle restreinte dans sa portée, voire assimilable à une forme d’apprentissage mécanique.

Revenez à l’essence d’une démarche de réflexion

L’équation $-x^2+3x-2=0$ admet exactement deux solutions, il vous est proposé de déterminer lesquelles et pourquoi.

L’équation proposée possède une difficulté : $x^2$ et $x$ ne se regroupent pas aisément. Essayez de factoriser, développer ou écrire que $-x^2+3x = x(3-x)\comma$ vous tournerez en rond.

L’idée est que cette approche n’aboutit pas, parce que $x$ n’est peut-être pas la bonne inconnue.

Tentez un premier changement d’inconnue. Essayez $y = x + 1\comma$ ce qui implique $x=y- 1.$ Vous obtienez alors : $-(y-1)^2+3(y-1)-2=0.$

En développant, il vient :

Vous retrouvez $y$ et $y^2\comma$ ce qui ramène à une équation du même type. Pourtant, malgré les apparences, un progrès a été réalisé : vous êtes passé de $−x^2+3x−2=0$ à $−y^2+5y−6=0.$

Observez cela de plus près. Le coefficient de degré $1$ est passé de $3$ à $5\comma$ le terme $3x$ est devenu $5y.$ En posant $y=x+1\comma$ une augmentation de $1$ entraîne une augmentation de $2$ sur le coefficient.

L’objectif est de diminuer de $3.$ Vous allez poser $y=x−1,5$ et vérifier ce nouveau choix.

Une résolution

Posez $y=x-1,5\comma$ vous avez $x = y+1,5.$ Les calculs s’enchaînent :

L’équation a exactement deux solutions qui sont $x=1$ et $x=2.$