Pour calculez la limite de $\sqrt{x +\sqrt{x}}-\sqrt{x}$ quand $x$ tend vers $\infty\comma$ vous allez utiliser un développement asymptotique.
Tout d’abord, quand $x$ tend vers $0\comma$ vous avez :
\begin{align*}
\sqrt{1+x} &= 1+\frac{1}{2}x+O\left(\frac{1}{x^2}\right).
\end{align*}
Ainsi, après factorisation par $\sqrt{x}\comma$ vous déduisez, quand $x$ tend vers $0\comma$ que :
\begin{align*}
\sqrt{x +\sqrt{x}} &= \sqrt{x } \sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{x}}{x} } \\
&= \sqrt{x } \left(1 + \dfrac{\sqrt{x}}{2x} + O\left(\dfrac{1}{x} \right) \right) \\
&= \sqrt{x } + \dfrac{1}{2} + O\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right).
\end{align*}
Après soustraction, vous déduisez :
\boxed{\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}.}